% Banque de cartes - Mathématiques ECT1
% Syntaxe : \carte{numero}[classement facultatif]{question}{reponse}
% Numérotation réorganisée en quatre blocs : 0xx, 1xx, 2xx, 3xx.

\carte{10001}[C0-Ensembles]
  {Donner la chaîne d'inclusions entre les ensembles $\mathbb N$, $\mathbb Z$ et $\mathbb R$.}
  {$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb R$.}

\carte{10002}[C0-Ensembles]
  {Que représente $A\cap B$ ?}
  {L'ensemble des éléments appartenant à la fois à $A$ et à $B$.}

\carte{10003}[C0-Ensembles]
  {Que représente $A\cup B$ ?}
  {L'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$ (éventuellement aux deux).}

\carte{10004}[C0-Ensembles]
  {Que signifie l'étoile dans une notation comme $\mathbb R^*$ ?}
  {Elle exclut $0$ : $\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}$.}

\carte{10005}[C0-Intervalles]
  {Traduire $x\in[a;b[$ sous forme d'inégalités.}
  {$a\leq x<b$.}

\carte{10006}[C0-Intervalles]
  {Écrire $\mathbb R^*$ comme réunion de deux intervalles.}
  {$\mathbb R^*=]-\infty;0[\,\cup\,]0;+\infty[$.}

\carte{10007}[C0-Intervalles]
  {Traduire $x\in]-\infty;b]$ sous forme d'inégalité.}
  {$x\leq b$.}

\carte{10008}[C0-Inegalites]
  {Que devient $a\leq b$ lorsqu'on multiplie par un réel $c>0$ ?}
  {$ca\leq cb$ : le sens de l'inégalité est conservé.}

\carte{10009}[C0-Inegalites]
  {Que devient $a\leq b$ lorsqu'on multiplie par un réel $c<0$ ?}
  {$ca\geq cb$ : le sens de l'inégalité est renversé.}

\carte{10010}[C0-Inegalites]
  {Si $a<b$, comment une fonction monotone sur un intervalle contenant $a$ et $b$ compare-t-elle $f(a)$ et $f(b)$ ?}
  {Si $f$ est croissante, $f(a)\leq f(b)$ ; si elle est décroissante, $f(a)\geq f(b)$.}

\carte{10011}[C0-Identites]
  {Développer $(a+b)^2$.}
  {$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.}

\carte{10012}[C0-Identites]
  {Développer $(a-b)^2$.}
  {$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.}

\carte{10013}[C0-Identites]
  {Factoriser $a^2-b^2$.}
  {$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.}

\carte{10014}[C0-Identites]
  {Factoriser $x^2+4x+4$.}
  {$x^2+4x+4=(x+2)^2$.}

\carte{10015}[C0-Identites]
  {Factoriser $4a^2-9$.}
  {$4a^2-9=(2a-3)(2a+3)$.}

\carte{10016}[C0-Identites]
  {Factoriser $x^2-6x+9$ à l'aide d'une identité remarquable.}
  {$x^2-6x+9=(x-3)^2$.}

\carte{10017}[C0-Calcul]
  {A quelle condition le produit de deux réels $AB$ est-il nul ?}
  {$AB=0\iff A=0$ ou $B=0$.}

\carte{10018}[C0-Calcul]
  {Si $B\neq0$, à quelle condition le quotient $\dfrac AB$ est-il nul ?}
  {$\dfrac AB=0\iff A=0$.}

\carte{10019}[C0-Fractions]
  {Donner la formule de $\dfrac ab\pm\dfrac cd$ lorsque $b,d\neq0$.}
  {$\displaystyle \frac ab\pm\frac cd=\frac{ad\pm bc}{bd}$.}

\carte{10020}[C0-Fractions]
  {Comment diviser $\dfrac ab$ par $\dfrac cd$, avec $b,c,d\neq 0$ ?}
  {On multiplie par l'inverse : $\displaystyle \frac ab\div\frac cd=\frac ab\times\frac dc$.}

\carte{10021}[C0-Puissances]
  {Pour $a\neq0$ et $m,n\in\mathbb Z$, compléter : $a^ma^n=\ldots$, $\dfrac{a^m}{a^n}=\ldots$ et $(a^m)^n=\ldots$.}
  {$a^{m+n}$, $a^{m-n}$ et $a^{mn}$.}

\carte{10022}[C0-Puissances]
  {Pour $a,b\neq0$ et $n\in\mathbb Z$, compléter : $a^n b^n=\ldots$ et $\dfrac{a^n}{b^n}=\ldots$.}
  {$(ab)^n$ et $\displaystyle\left(\frac ab\right)^n$.}

\carte{10023}[C0-Racines]
  {Compléter : $\sqrt{ab}=\ldots$ si $a,b\geq0$ ; $\sqrt{a/b}=\ldots$ si $a\geq0$, $b>0$ ; $\sqrt{x^2}=\ldots$ si $x\in\mathbb R$.}
  {$\sqrt a\sqrt b$, $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ et $|x|$.}

\carte{10024}[C0-Racines]
  {Simplifier $\sqrt{12}$ et $\sqrt{18}$.}
  {$\sqrt{12}=2\sqrt3$ et $\sqrt{18}=3\sqrt2$.}

% ============================================================

\carte{10101}[C1-Degre1]
  {Quelle est la forme générale d'un polynôme de degré $1$ ?}
  {$x\mapsto ax+b$, avec $a\neq0$. Le réel $a$ est le coefficient dominant.}

\carte{10102}[C1-Degre1]
  {Quelle est l'unique solution de $ax+b=0$ avec $a\neq0$ ?}
  {$\displaystyle x=-\frac ba$. C'est la racine du binôme $ax+b$.}

\carte{10103}[C1-Degre1]
  {Quelle règle permet de déterminer le signe du binôme $ax+b$, avec $a\neq0$ ?}
  {Il est du signe de son coefficient dominant $a$ à droite de sa racine $-b/a$ (et du signe opposé à gauche).}

\carte{10104}[C1-Degre1]
  {Dresser le tableau de signe de $-2x+3$.}
  {$\displaystyle
   \begin{array}{c|ccc}
   x&-\infty&\frac32&+\infty\\ \hline
   -2x+3&+&0&-
   \end{array}$}

\carte{10105}[C1-LectureGraphique]
  {Déterminer l'équation de la droite représentée.\par\medskip
   \begin{tikzpicture}[x=6mm,y=5mm,font=\scriptsize\normalfont]
     \draw[step=1,very thin,black!12] (-3,-3) grid (4,2);
     \draw[->,thin] (-3.25,0)--(4.25,0) node[right] {$x$};
     \draw[->,thin] (0,-3.25)--(0,2.25) node[above] {$y$};
     \foreach \x in {-2,2,4} {\draw (\x,.10)--(\x,-.10) node[below] {\x};}
     \foreach \y in {-2,-1,1,2} {\draw (.10,\y)--(-.10,\y) node[left] {\y};}
     \draw[line width=.9pt] (-3,-2.5)--(4,1);
     \fill (0,-1) circle (1.5pt);
     \fill (2,0) circle (1.5pt);
   \end{tikzpicture}}
  {$\displaystyle y=\frac12x-1$. Le coefficient directeur vaut $\frac12$ et l'ordonnée à l'origine vaut $-1$.}

\carte{10106}[C1-LectureGraphique]
  {Déterminer l'équation de la droite représentée.\par\medskip
   \begin{tikzpicture}[x=7mm,y=4.5mm,font=\scriptsize\normalfont]
     \draw[step=1,very thin,black!12] (-1,-3) grid (3,5);
     \draw[->,thin] (-1.25,0)--(3.25,0) node[right] {$x$};
     \draw[->,thin] (0,-3.25)--(0,5.25) node[above] {$y$};
     \foreach \x in {1,2,3} {\draw (\x,.10)--(\x,-.10) node[below] {\x};}
     \foreach \y in {-2,1,3,5} {\draw (.08,\y)--(-.08,\y) node[left] {\y};}
     \draw[line width=.9pt] (-1,5)--(3,-3);
     \fill (0,3) circle (1.5pt);
     \fill (1,1) circle (1.5pt);
   \end{tikzpicture}}
  {$y=-2x+3$. Le coefficient directeur vaut $-2$ et l'ordonnée à l'origine vaut $3$.}

\carte{10107}[C1-LectureGraphique]
  {Lire la racine du binôme représenté et donner son signe.\par\medskip
   \begin{tikzpicture}[x=7mm,y=5mm,font=\scriptsize\normalfont]
     \draw[step=1,very thin,black!12] (-4,-2) grid (2,4);
     \draw[->,thin] (-4.25,0)--(2.25,0) node[right] {$x$};
     \draw[->,thin] (0,-2.25)--(0,4.25) node[above] {$y$};
     \draw (-2,.10)--(-2,-.10) node[below] {$-2$};
     \draw[line width=.9pt] (-4,-2)--(2,4);
     \fill (-2,0) circle (1.5pt);
   \end{tikzpicture}}
  {La racine est $-2$. Le binôme est négatif sur $]-\infty;-2[$, nul en $-2$, puis positif sur $]-2;+\infty[$.}

\carte{10108}[C1-LectureGraphique]
  {Résoudre graphiquement $f(x)\geq0$.\par\medskip
   \begin{tikzpicture}[x=7mm,y=5mm,font=\scriptsize\normalfont]
     \draw[step=1,very thin,black!12] (-2,-2) grid (4,4);
     \draw[->,thin] (-2.25,0)--(4.25,0) node[right] {$x$};
     \draw[->,thin] (0,-2.25)--(0,4.25) node[above] {$y$};
     \draw (2,.10)--(2,-.10) node[below] {$2$};
     \draw[line width=.9pt] (-2,4)--(4,-2);
     \fill (2,0) circle (1.5pt);
   \end{tikzpicture}}
  {$S=]-\infty;2]$. La droite est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x\leq2$.}

\carte{10109}[C1-Degre2]
  {Quelle est la forme générale d'un trinôme du second degré ?}
  {$P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.}

\carte{10110}[C1-Degre2]
  {Pour $P(x)=ax^2+bx+c$, comment le signe de $a$ détermine-t-il l'orientation de la parabole ?}
  {Si $a>0$, elle est tournée vers le haut.\\ Si $a<0$, vers le bas.}

\carte{10111}[C1-Degre2]
  {Qu'appelle-t-on une racine du trinôme $P(x)=ax^2+bx+c$ ?}
  {Une solution de l'équation $P(x)=0$, c'est-à-dire un réel $\alpha$ vérifiant $P(\alpha)=0$.}

\carte{10112}[C1-Degre2]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$. Quel est son discriminant ?}
  {$\Delta=b^2-4ac$.}

\carte{10113}[C1-Degre2]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$, de discriminant $\Delta$. Que peut-on dire si $\Delta<0$ ?}
  {$P$ n'a aucune racine réelle et ne se factorise pas en facteurs du premier degré sur $\mathbb R$.}

\carte{10114}[C1-Degre2]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$, avec $\Delta=0$. Quelle est son unique racine ?}
  {$\displaystyle x_0=-\frac{b}{2a}$, appelée racine double.}

\carte{10115}[C1-Degre2]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$, avec $\Delta=0$. Comment factoriser $P$ ?}
  {$P(x)=a(x-x_0)^2$, avec $\displaystyle x_0=-\frac{b}{2a}$.}

\carte{10116}[C1-Degre2]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$, avec $\Delta>0$. Quelles sont ses deux racines ?}
  {$\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.}

\carte{10117}[C1-Degre2]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$, avec $\Delta>0$ et deux racines $x_1,x_2$. Comment factoriser $P$ ?}
  {$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.}

\carte{10118}[C1-Signe]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$. Quelle est la règle générale pour son signe ?}
  {$P$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe opposé entre elles, et s'annule aux racines. S'il n'y a pas de racine, il garde le signe de $a$.}

\carte{10119}[C1-Signe]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $\Delta<0$ et $a>0$. Quel est le signe de $P(x)$ ?}
  {$P(x)>0$ pour tout $x\in\mathbb R$.}

\carte{10120}[C1-Signe]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $\Delta<0$ et $a<0$. Quel est le signe de $P(x)$ ?}
  {$P(x)<0$ pour tout $x\in\mathbb R$.}

\carte{10121}[C1-Signe]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $\Delta=0$ et racine $x_0$. Quel est le signe de $P(x)$ ?}
  {$P(x)$ est du signe de $a$ pour $x\neq x_0$, et $P(x_0)=0$.}

\carte{10122}[C1-Signe]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $\Delta>0$ et $a>0$. Quel est le signe de $P(x)$ ?}
  {Positif à l'extérieur des racines, nul aux racines, négatif entre elles.}

\carte{10123}[C1-Signe]
  {Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $\Delta>0$ et $a<0$. Quel est le signe de $P(x)$ ?}
  {Négatif à l'extérieur des racines, nul aux racines, positif entre elles.}

\carte{10124}[C1-Applications]
  {Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $x^2-36=0$.}
  {$S=\{-6;6\}$.}

\carte{10125}[C1-Applications]
  {Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $x^2-5=0$.}
  {$S=\{-\sqrt5;\sqrt5\}$.}

\carte{10126}[C1-Applications]
  {Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $x^2+12=0$.}
  {$S=\varnothing$.}

\carte{10127}[C1-LectureGraphique]
  {On note $P(x)=ax^2+bx+c$. Que peut-on déduire du graphique ?\par\medskip
   \begin{tikzpicture}[x=6mm,y=5mm,font=\scriptsize\normalfont]
     \draw[step=1,very thin,black!12] (-3,-3) grid (4,3);
     \draw[->,thin] (-3.25,0)--(4.25,0) node[right] {$x$};
     \draw[->,thin] (0,-3.25)--(0,3.25) node[above] {$y$};
     \draw (-1,.10)--(-1,-.10) node[below] {$-1$};
     \draw (2,.10)--(2,-.10) node[below] {$2$};
     \draw[line width=.9pt,domain=-2.2:3.2,samples=45] plot (\x,{-(\x+1)*(\x-2)});
     \fill (-1,0) circle (1.5pt);
     \fill (2,0) circle (1.5pt);
   \end{tikzpicture}}
  {$a<0$ et $\Delta>0$. Les racines sont $-1$ et $2$. Le signe est $-$ sur $]-\infty;-1[$, $+$ sur $]-1;2[$, puis $-$ sur $]2;+\infty[$.}

\carte{10128}[C1-LectureGraphique]
  {On note $P(x)=ax^2+bx+c$. Que peut-on déduire du graphique ?\par\medskip
   \begin{tikzpicture}[x=7mm,y=5mm,font=\scriptsize\normalfont]
     \draw[step=1,very thin,black!12] (-3,-1) grid (3,5);
     \draw[->,thin] (-3.25,0)--(3.25,0) node[right] {$x$};
     \draw[->,thin] (0,-1.25)--(0,5.25) node[above] {$y$};
     \draw[line width=.9pt,domain=-2:2,samples=41] plot (\x,{\x*\x+1});
   \end{tikzpicture}}
  {$a>0$ et $\Delta<0$. Le trinôme n'a aucune racine réelle et $P(x)>0$ pour tout $x\in\mathbb R$.}

\carte{10129}[C1-LectureGraphique]
  {On note $P(x)=ax^2+bx+c$. Que peut-on déduire du graphique ?\par\medskip
   \begin{tikzpicture}[x=7mm,y=5mm,font=\scriptsize\normalfont]
     \draw[step=1,very thin,black!12] (-3,-3) grid (3,4);
     \draw[->,thin] (-3.25,0)--(3.25,0) node[right] {$x$};
     \draw[->,thin] (0,-3.25)--(0,4.25) node[above] {$y$};
     \draw (1,.10)--(1,-.10) node[below] {$1$};
     \draw[line width=.9pt,domain=-1.1:3.1,samples=41] plot (\x,{(\x-1)*(\x-1)});
     \fill (1,0) circle (1.5pt);
   \end{tikzpicture}}
  {$a>0$ et $\Delta=0$. La racine double est $1$. On a $P(x)\geq0$ sur $\mathbb R$, avec égalité seulement pour $x=1$.}

\carte{10130}[C1-LectureGraphique]
  {On note $P(x)=ax^2+bx+c$. Que peut-on déduire du graphique ?\par\medskip
   \begin{tikzpicture}[x=7mm,y=5mm,font=\scriptsize\normalfont]
     \draw[step=1,very thin,black!12] (-3,-4) grid (3,2);
     \draw[->,thin] (-3.25,0)--(3.25,0) node[right] {$x$};
     \draw[->,thin] (0,-4.25)--(0,2.25) node[above] {$y$};
     \draw (-1,.10)--(-1,-.10) node[above right] {$-1$};
     \draw[line width=.9pt,domain=-3:1,samples=41] plot (\x,{-(\x+1)*(\x+1)});
     \fill (-1,0) circle (1.5pt);
   \end{tikzpicture}}
  {$a<0$ et $\Delta=0$. La racine double est $-1$. On a $P(x)\leq0$ sur $\mathbb R$, avec égalité seulement pour $x=-1$.}

\carte{10131}[C1-LectureGraphique]
  {Résoudre graphiquement $P(x)\leq0$.\par\medskip
   \begin{tikzpicture}[x=7mm,y=5mm,font=\scriptsize\normalfont]
     \draw[step=1,very thin,black!12] (-3,-3) grid (2,4);
     \draw[->,thin] (-3.25,0)--(2.25,0) node[right] {$x$};
     \draw[->,thin] (0,-3.25)--(0,4.25) node[above] {$y$};
     \draw (-2,.10)--(-2,-.10) node[below] {$-2$};
     \draw (1,.10)--(1,-.10) node[below] {$1$};
     \draw[line width=.9pt,domain=-2.8:1.8,samples=45] plot (\x,{(\x+2)*(\x-1)});
     \fill (-2,0) circle (1.5pt);
     \fill (1,0) circle (1.5pt);
   \end{tikzpicture}}
  {$S=[-2;1]$. La parabole est sur ou sous l'axe des abscisses entre ses deux racines.}

\carte{10132}[C1-LectureGraphique]
  {Résoudre graphiquement $P(x)>0$.\par\medskip
   \begin{tikzpicture}[x=6.5mm,y=5mm,font=\scriptsize\normalfont]
     \draw[step=1,very thin,black!12] (-3,-3) grid (3,4);
     \draw[->,thin] (-3.25,0)--(3.25,0) node[right] {$x$};
     \draw[->,thin] (0,-3.25)--(0,4.25) node[above] {$y$};
     \draw (-2,.10)--(-2,-.10) node[below] {$-2$};
     \draw (2,.10)--(2,-.10) node[below] {$2$};
     \draw[line width=.9pt,domain=-2.7:2.7,samples=45] plot (\x,{\x*\x-4});
     \fill (-2,0) circle (1.5pt);
     \fill (2,0) circle (1.5pt);
   \end{tikzpicture}}
  {$S=]-\infty;-2[\,\cup\,]2;+\infty[$. La parabole est strictement au-dessus de l'axe des abscisses à l'extérieur des racines.}

% ============================================================

\carte{10201}[C2-Vocabulaire]
  {Qu'appelle-t-on l'univers d'une expérience aléatoire ?}
  {L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Il est généralement noté $\Omega$.}

\carte{10202}[C2-Vocabulaire]
  {Qu'appelle-t-on un événement $A$ ?}
  {Une partie de $\Omega$, c'est-à-dire un sous-ensemble de $\Omega$ : $A\subset\Omega$.}

\carte{10203}[C2-Vocabulaire]
  {Qu'appelle-t-on un événement élémentaire ?}
  {Un événement constitué d'une seule issue.}

\carte{10204}[C2-Vocabulaire]
  {Quels sont l'événement impossible et l'événement certain ?}
  {L'événement impossible est $\varnothing$ ; l'événement certain est $\Omega$.}

\carte{10205}[C2-Operations]
  {Qu'est-ce que l'événement contraire $\overline A$ ?}
  {L'événement constitué de toutes les issues de $\Omega$ qui ne réalisent pas $A$.}

\carte{10206}[C2-Operations]
  {Que représente $A\cap B$ pour deux événements ?}
  {L'événement « $A$ et $B$ se réalisent en même temps ».}

\carte{10207}[C2-Operations]
  {Quand deux événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ?}
  {Lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser ensemble, c'est-à-dire $A\cap B=\varnothing$.}

\carte{10208}[C2-Operations]
  {Que représente $A\cup B$ pour deux événements ?}
  {L'événement « $A$ ou $B$ se réalise », c'est-à-dire au moins l'un des deux.}

\carte{10209}[C2-Operations]
  {Donner la loi de Morgan pour le complémentaire d'une intersection.}
  {$\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$.}

\carte{10210}[C2-Operations]
  {Donner la loi de Morgan pour le complémentaire d'une réunion.}
  {$\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$.}

\carte{10211}[C2-Operations]
  {Soient trois événements $A$, $B$ et $C$.
   Soit $U$ l'événement \og $A$ et $C$ sont réalisés, mais pas $B$ \fg.
   Décrire $U$ au moyen de $A$, $B$, $C$ et des opérations sur les ensembles.}
  {$\displaystyle U=A\cap\overline B\cap C$.}

\carte{10212}[C2-Operations]
  {Soient trois événements $A$, $B$ et $C$.
   Soit $U$ l'événement \og au moins un des trois événements est réalisé \fg.
   Décrire $U$ au moyen de $A$, $B$, $C$ et des opérations sur les ensembles.}
  {$\displaystyle U=A\cup B\cup C$.}

\carte{10213}[C2-Operations]
  {Soient trois événements $A$, $B$ et $C$.
   Soit $U$ l'événement \og aucun des trois événements n'est réalisé \fg.
   Décrire $U$ au moyen de $A$, $B$, $C$ et des opérations sur les ensembles.}
  {$\displaystyle
    U=\overline A\cap\overline B\cap\overline C
    =\overline{A\cup B\cup C}.
   $}

\carte{10214}[C2-Operations]
  {Soient trois événements $A$, $B$ et $C$.
   Soit $U$ l'événement \og seul $C$ est réalisé \fg.
   Décrire $U$ au moyen de $A$, $B$, $C$ et des opérations sur les ensembles.}
  {$\displaystyle U=\overline A\cap\overline B\cap C$.}

\carte{10215}[C2-Operations]
  {On lance successivement une pièce.
   Pour tout $i\geq1$, on note $A_i$ l'événement
   \og la pièce tombe sur face au $i$-ième lancer \fg.
   Soit $U$ l'événement \og le premier pile est obtenu au quatrième lancer \fg.
   Décrire $U$ au moyen des $A_i$.}
  {$\displaystyle
    U=A_1\cap A_2\cap A_3\cap\overline{A_4}.
   $}

\carte{10216}[C2-Operations]
  {On lance successivement une pièce.
   Pour tout $i\geq1$, on note $A_i$ l'événement
   \og la pièce tombe sur face au $i$-ième lancer \fg.
   Soit $U$ l'événement
   \og le deuxième pile est obtenu au troisième lancer \fg.
   Décrire $U$ au moyen des $A_i$.}
  {$\displaystyle
    U=
    \bigl(\overline{A_1}\cap A_2\cap\overline{A_3}\bigr)
    \cup
    \bigl(A_1\cap\overline{A_2}\cap\overline{A_3}\bigr).
   $}

\carte{10217}[C2-Operations]
  {Qu'est-ce qu'un système complet d'événements $(A_1,\ldots,A_n)$ ?}
  {Les $A_k$ sont deux à deux disjoints et leur réunion est $\Omega$.}

\carte{10218}[C2-Probabilites]
  {Quelles sont les deux conditions de définition d'une probabilité sur un univers fini ?}
  {$\mathbb{P}(\Omega)=1$ et, si $A\cap B=\varnothing$, $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$.}

\carte{10219}[C2-Probabilites]
  {Quelle est la probabilité de l'événement impossible ?}
  {$\mathbb{P}(\varnothing)=0$.}

\carte{10220}[C2-Probabilites]
  {Quelle formule relie $\mathbb{P}(\overline A)$ et $\mathbb{P}(A)$ ?}
  {$\mathbb{P}(\overline A)=1-\mathbb{P}(A)$.}

\carte{10221}[C2-Probabilites]
  {Si $A\subset B$, que peut-on comparer entre $\mathbb{P}(A)$ et $\mathbb{P}(B)$ ?}
  {$\mathbb{P}(A)\leq \mathbb{P}(B)$.}

\carte{10222}[C2-Probabilites]
  {Donner la formule du crible pour deux événements $A$ et $B$.}
  {$\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$.}

\carte{10223}[C2-Probabilites]
  {Donner la formule des probabilités totales donnant $\mathbb{P}(B)$ pour un système complet $(A_k)$.}
  {$\displaystyle \mathbb{P}(B)=\sum_{k=1}^n \mathbb{P}(B\cap A_k)$.}

\carte{10224}[C2-Cardinal]
  {Si $A$ et $B$ sont finis, quel est le cardinal de $A\times B$ ?}
  {$\mathrm{Card}(A\times B)=\mathrm{Card}(A)\,\mathrm{Card}(B)$.}

\carte{10225}[C2-Cardinal]
  {On lance une pièce équilibrée puis un dé équilibré à $6$ faces. Écrire l'univers associé à cette expérience aléatoire et donner son cardinal.}
  {$\Omega=\{P,F\}\times\{1,2,3,4,5,6\}$ et $\mathrm{Card}(\Omega)=2\times6=12$.}

\carte{10226}[C2-Cardinal]
  {En situation d'équiprobabilité sur un univers fini, comment calculer $\mathbb{P}(A)$ ?}
  {$\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}=\frac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$.}

% ============================================================

\carte{10301}[C3-Polynomes]
  {Quel est le degré du polynôme
   $P(x)=7-\sqrt{3}x^5+2x^2+x^4$ ? Et son coefficient dominant ?}
  {Le degré de $P$ est $5$. Coefficient dominant $\sqrt{3}$}

\carte{10302}[C3-Polynomes]
  {Quel est le degré du polynôme
   $Q(x)=4x^3-2+9x^6-\frac{1}{2}x$ ?  Et son coefficient dominant ?}
  {Le degré de $Q$ est $6$. Coefficient dominant $9$}

\carte{10303}[C3-Polynomes]
  {Quel est le degré du polynôme
   $R(x)=5x-\frac{3}{4}x^4+3x^2+1$ ?  Et son coefficient dominant ?}
  {Le degré de $R$ est $4$. Coefficient dominant $-\frac{3}{4}$}

\carte{10304}[C3-Polynomes]
  {Qu'appelle-t-on une racine d'un polynôme $P$ ?}
  {Un réel $a$ est une racine de $P$ si $P(a)=0$,
   c'est-à-dire si $a$ est solution de l'équation $P(x)=0$.}

\carte{10305}[C3-Polynomes]
  {Si $a$ est une racine d'un polynôme $P$, quel facteur peut-on extraire de $P(x)$ ?}
  {On peut factoriser $P(x)$ par $x-a$ :
   $P(x)=(x-a)Q(x)$.}

\carte{10306}[C3-Polynomes]
  {On sait que $-2$ est une racine de
   $P(x)=x^3-x^2-2x+8$.
   Que peut-on en déduire pour la factorisation de $P$ ?}
  {$P(x)$ est divisible par $x+2$ et
   \[
     P(x)=(x+2)(x^2-3x+4).
   \]
   Le second facteur est de degré $2$.}

\carte{10307}[C3-Polynomes]
  {On sait que $-1$ est une racine de
   $P(x)=x^4+x^3-2x^2+2x+4$.
   Que peut-on en déduire pour la factorisation de $P$ ?}
  {$P(x)$ est divisible par $x+1$ et
   \[
     P(x)=(x+1)(x^3-2x+4).
   \]
   Le second facteur est de degré $3$.}

\carte{10308}[C3-Polynomes]
  {Un trinôme du second degré a pour racines $x_1$ et $x_2$ avec $a=2$.
   Donner sa forme factorisée puis sa forme développée.}
  {\[
     2(x-x_1)(x-x_2)
     =2x^2-2(x_1+x_2)x+2x_1x_2.
   \]}

\carte{10309}[C3-Polynomes]
  {Le trinôme $P(x)=x^2-7x+10$ possède deux racines
   $x_1$ et $x_2$.
   Que valent $x_1+x_2$ et $x_1x_2$ ?}
  {$x_1+x_2=7$ et $x_1x_2=10$.}

\carte{10310}[C3-Polynomes]
  {Le trinôme $P(x)=x^2+5x-14$ possède deux racines
   $x_1$ et $x_2$.
   Que valent $x_1+x_2$ et $x_1x_2$ ?}
  {$x_1+x_2=-5$ et $x_1x_2=-14$.}


% ============================================================

\carte{10401}[ECT1-C4-Arithmetiques]
  {Définir par récurrence une suite arithmétique $(u_n)_n$ de raison $r$.}
  {Il existe $r\in\mathbb R$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$,
   $u_{n+1}=u_n+r$.}

\carte{10402}[ECT1-C4-Geometriques]
  {Définir par récurrence une suite géométrique $(u_n)_n$ de raison $q$.}
  {Il existe $q\in\mathbb R^*$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$,
   $u_{n+1}=q\,u_n$.}

\carte{10403}[ECT1-C4-Arithmetiques]
  {Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite arithmétique de raison $r$.  Donner une formule explicite pour $u_n$.}
  {$\displaystyle u_n=u_0+nr$.}

\carte{10404}[ECT1-C4-Arithmetiques]
  {Soit $(u_n)_{n\geq p}$ une suite arithmétique de raison $r$. Donner une formule explicite pour $u_n$.}
  {$\displaystyle u_n=u_p+(n-p)r$, pour tout $n\geq p$.}

\carte{10405}[ECT1-C4-Geometriques]
  {Soit $(u_n)_{n\geq p}$ une suite géométrique de raison $q$. Donner une formule explicite pour $u_n$.}
  {$\displaystyle u_n=u_pq^{\,n-p}$, pour tout $n\geq p$.}

\carte{10406}[ECT1-C4-Sommes]
  {Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k$.}
  {$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}$.}

\carte{10407}[ECT1-C4-Sommes]
  {Soit $c\in\mathbb R$. Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} c$.}
  {$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} c=(n+1)c$.}

\carte{10408}[ECT1-C4-Sommes]
  {Soit $q\neq1$. Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k$.}
  {$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.}

\carte{10409}[ECT1-C4-Sommes]
  {Calculer $\displaystyle\sum_{k=2}^{n} k$.}
  {$\displaystyle \sum_{k=2}^{n} k=\frac{(n-1)(n+2)}{2}$.}

\carte{10410}[ECT1-C4-Sommes]
  {Soit $c\in\mathbb R$. Calculer $\displaystyle\sum_{k=3}^{n} c$.}
  {$\displaystyle \sum_{k=3}^{n} c=(n-2)c$.}

\carte{10411}[ECT1-C4-Sommes]
  {Soit $q\neq1$. Calculer $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} q^k$.}
  {$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} q^k=q\frac{(1-q^n)}{1-q}$.}

\carte{10412}[ECT1-C4-Methodes]
  {Comment démontrer qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique ?}
  {On calcule $u_{n+1}-u_n$ pour obtenir $u_{n+1}-u_n=r$. On peut aussi établir directement $u_{n+1}=u_n+r$.}

\carte{10413}[ECT1-C4-Methodes]
  {Comment démontrer qu'une suite $(u_n)$ est géométrique ?}
  {On calcule $u_{n+1}$ pour montrer que $u_{n+1}=q\,u_n$.}

\carte{10414}[ECT1-C4-Methodes]
  {Comment démontrer qu'une suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique ?}
  {On trouve trois termes consécutifs tels que deux différences successives soient différentes,
   par exemple $u_2-u_1\neq u_1-u_0$.}

\carte{10415}[ECT1-C4-Methodes]
  {Comment démontrer qu'une suite $(u_n)$ n'est pas géométrique ?}
  {On trouve trois termes consécutifs non nuls tels que deux quotients successifs soient différents,
   par exemple $\dfrac{u_2}{u_1}\neq\dfrac{u_1}{u_0}$.}

\carte{10416}[ECT1-C4-Sommes]
  {Compléter : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(au_k+bv_k)=\ldots$ Selon quelle propriété ?}
  {$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(au_k+bv_k)
   =a\sum_{k=0}^{n}u_k+b\sum_{k=0}^{n}v_k$.
   C'est la linéarité de la somme.}


\carte{10417}[ECT1-C4-Sommes]
  {Quel est le nombre de termes dans la somme $\sum_{k=13}^{48}{\ldots}$.}
  {$48-13+1=36$ termes.}








% ============================================================
% ECT1 - Théorème bijection monotone + dichotomie
% ============================================================





\carte{12501}[ECT1-C25-Bijection]
  {Quelles sont les trois hypothèses à vérifier pour appliquer le théorème de la bijection monotone à une fonction $f$ sur un ensemble $I$ ?}
  {$f$ doit être continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.}

\carte{12502}[ECT1-C25-Bijection]
  {La fonction $f:x\mapsto x^2$ est continue et strictement croissante sur $[0;3]$.
   Quel est l'intervalle image $f([0;3])$ ?}
  {$\displaystyle f([0;3])=[0;9]$.}

\carte{12503}[ECT1-C25-Bijection]
  {La fonction $f:x\mapsto \dfrac1x$ est continue et strictement décroissante sur $[1;4]$.
   Quel est l'intervalle image $f([1;4])$ ?}
  {$\displaystyle f([1;4])=\left[\frac14;1\right]$.}

\carte{12504}[ECT1-C25-Bijection]
  {La fonction $f:x\mapsto e^x$ est continue et strictement croissante sur $]-\infty;2]$.
   Quel est l'intervalle image de $f$ ?}
  {Comme $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ et $f(2)=e^2$,
   \[
   f(]-\infty;2])=]0;e^2].
   \]}

\carte{12505}[ECT1-C25-Bijection]
  {La fonction $f:x\mapsto \dfrac1x$ est continue et strictement décroissante sur $]0;2]$.
   Quel est l'intervalle image de $f$ ?}
  {Comme $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$ et $f(2)=\frac12$,
   \[
   f(]0;2])=\left[\frac12;+\infty\right[.
   \]}

\carte{12506}[ECT1-Dichotomie]
  {Pour un segment $[a;b]$, quelle est sa longueur et quelle est l'abscisse de son milieu ?}
  {Sa longueur est $b-a$ et son milieu a pour abscisse
   \[
   \frac{a+b}{2}.
   \]}


\carte{20312}[ECT2-C3-Series]
  {Soit
   \[
   S_n=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac13\right)^k.
   \]
   Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n$.}
  {Comme $|\frac 13|<1$
   la série  $\sum \left(\frac13\right)^n$ converge et :
   \[
   \lim_{n\to+\infty}S_n=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac13\right)^n=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}.
   \]}

\carte{20313}[ECT2-C3-Series]
  {Soit
   \[
   S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{4^k}{k!}.
   \]
   Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n$.}
  {Par définition de la série exponentielle,
   \[
   \lim_{n\to+\infty}S_n
   =
   \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{4^n}{n!}
   =e^4.
   \]}

\carte{20314}[ECT2-C3-Telescopage]
  {Démontrer la convergence de $\sum_{n\geq 2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right)$ et calculer sa somme.}
  {Par télescopage,
   \[
   S_n=1-\frac1n.
   \]
   Donc
   \[
   \lim_{n\to+\infty}S_n=1.
   \]}





% ============================================================
% ECT2 - Matrices
% ============================================================

\carte{20101}[ECT2-C1-Matrices]
  {Donner la matrice identité $I_3$.}
  {$\displaystyle
  I_3=
  \begin{pmatrix}
  1&0&0\\
  0&1&0\\
  0&0&1
  \end{pmatrix}.
  $}

\carte{20102}[ECT2-C1-Matrices]
  {À quelle condition peut-on additionner deux matrices $A$ et $B$ ?
   Comment calcule-t-on $A+B$ ?}
  {Les matrices $A$ et $B$ doivent avoir la même taille.
   On additionne alors leurs coefficients terme à terme.}


\carte{20103}[ECT2-C1-Matrices]
  {Soient $A$ et $B$ deux matrices.
   Donner une condition sur leurs tailles pour pouvoir calculer le produit $AB$.}
  {Le nombre de colonnes de $A$ doit être égal au nombre de lignes de $B$.}

\carte{20104}[ECT2-C1-Matrices]
  {Si $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)$ et
   $B\in\mathcal M_{p,q}(\mathbb R)$, quelle est la taille de $AB$ ?}
  {$AB\in\mathcal M_{n,q}(\mathbb R)$.}

\carte{20105}[ECT2-C1-Matrices]
  {Quels sont les trois formats de produits de matrices vus dans les exercices en ECT ?
   Donner le format du résultat.}
  {Carrée $\times$ carrée $=$ carrée \\
   carrée $\times$ colonne $=$ colonne \\
   plus rarement,\\ ligne $\times$ carrée $=$ ligne.}

\carte{20106}[ECT2-C1-Matrices]
  {Le produit matriciel est-il commutatif ?
   Développer $(A+B)^2$.}
  {En général, $AB\neq BA$, et
   \[
   (A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2.
   \]
   Si $AB=BA$, alors $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$.}

\carte{20107}[ECT2-C1-Matrices]
  {Si $AB=0$, peut-on conclure que $A=0$ ou $B=0$ ?}
  {Non :
   \[
   AB=0\not\Rightarrow A=0\text{ ou }B=0.
   \]}

\carte{20108}[ECT2-C1-Matrices]
  {Pour des matrices, si $AC=BC$, peut-on toujours simplifier par $C$ et conclure que $A=B$ ?}
  {Non :
   \[
   AC=BC\not\Rightarrow A=B.
   \]
   On peut en revanche simplifier si $C$ est inversible en multipliant par $C^{-1}$ des deux côtés, à droite.}

\carte{20109}[ECT2-C1-Matrices]
  {Soit $A$ une matrice carrée.
   Comment définit-on $A^0$ et $A^{n+1}$ ?}
  {$A^0=I$ et, pour tout $n\in\mathbb N$,
   \[
   A^{n+1}=A^nA.
   \]}

\carte{20110}[ECT2-C1-Matrices]
  {Sous quelle hypothèse a-t-on $(AB)^n=A^nB^n$ ?}
  {Il faut que $A$ et $B$ commutent : $AB=BA$.
   Alors, pour tout $n\in\mathbb N$,
   \[
   (AB)^n=A^nB^n.
   \]}

\carte{20111}[ECT2-C1-Matrices]
  {Compléter, pour une matrice carrée $A$ :
   $A^nA^m=\ldots$ et $(A^n)^m=\ldots$.}
  {$A^nA^m=A^{n+m}$ et
   \[
   (A^n)^m=A^{nm}.
   \]}

\carte{20112}[ECT2-C1-Matrices]
  {Pour calculer $A^n$, peut-on élever chaque coefficient de $A$
   à la puissance $n$ ?}
  {Non, en général.
   $A^n$ est obtenu par des produits matriciels successifs.}

\carte{20113}[ECT2-C1-Matrices]
  {Donner l'hypothèse permettant d'appliquer la formule du binôme de Newton
   à deux matrices carrées $A$ et $B$, puis donner la formule.}
  {Il faut que $A$ et $B$ commutent : $AB=BA$.
   Alors, pour tout $n\in\mathbb N$,
   \[
   (A+B)^n=
   \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}A^kB^{\,n-k}.
   \]}

\carte{20114}[ECT2-C1-Matrices]
  {Soit
   \[
   A=
   \begin{pmatrix}
   2&0&0\\
   0&-3&0\\
   0&0&4
   \end{pmatrix}.
   \]
   Calculer $A^n$ pour $n\geq1$ et justifier.}
  {$A$ est diagonale, donc
   \[
   A^n=
   \begin{pmatrix}
   2^n&0&0\\
   0&(-3)^n&0\\
   0&0&4^n
   \end{pmatrix}.
   \]}









% ============================================================
% ECT2 - Couples de variables aléatoires finies
% ============================================================

\carte{20201}[ECT2-C2-Couples]
  {Que signifie connaître la loi conjointe d'un couple $(X,Y)$
   de variables aléatoires finies ?}
  {C'est connaître, pour tout
   $(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)$,
   \[
   \mathbb{P}((X=x)\cap(Y=y)).
   \]}

\carte{20202}[ECT2-C2-Couples]
  {Quelle doit être la somme de toutes les probabilités
   d'un tableau donnant la loi conjointe de $(X,Y)$ ?}
  {Elle vaut $1$ :
   \[
   \sum_{x\in X(\Omega)}
   \sum_{y\in Y(\Omega)}
   \mathbb{P}((X=x)\cap(Y=y))=1.
   \]}

\carte{20203}[ECT2-C2-Couples]
  {Avec la convention du cours, comment obtient-on
   $\mathbb{P}(X=x)$ et $\mathbb{P}(Y=y)$ à partir du tableau de loi conjointe ?}
  {Pour obtenir $\mathbb{P}(X=x)$, on somme toutes les probabilités
   de la ligne correspondant à $x$ :
   \[
   \mathbb{P}(X=x)=\sum_{y\in Y(\Omega)}
   \mathbb{P}((X=x)\cap(Y=y)).
   \]
   Pour obtenir $\mathbb{P}(Y=y)$, on somme toutes les probabilités
   de la colonne correspondant à $y$ :
   \[
   \mathbb{P}(Y=y)=\sum_{x\in X(\Omega)}
   \mathbb{P}((X=x)\cap(Y=y)).
   \]}

\carte{20204}[ECT2-C2-Couples]
  {Qu'appelle-t-on loi de $Y$ sachant l'événement $[X=x]$ ?}
  {C'est la donnée, pour tout $y\in Y(\Omega)$, des probabilités
   \[
   P_{(X=x)}(Y=y).
   \]}

\carte{20205}[ECT2-C2-Couples]
  {Donner la formule permettant de calculer $\mathbb{E}(XY)$
   à partir de la loi conjointe de $(X,Y)$.}
  {$\displaystyle
  \mathbb{E}(XY)=\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
  \sum_{(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
  xy\,\mathbb{P}((X=x)\cap(Y=y)).
  $}

\carte{20206}[ECT2-C2-Covariance]
  {Donner les définitions de $\mathrm{V}(X)$ et de $\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)$.}
  {$\displaystyle
  \mathrm{V}(X)=\mathbb{E}\left[(X-\mathbb{E}(X))^2\right]
  $\\
  et\\
  $\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)
  =\mathbb{E}\left[(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))\right].
  $}

\carte{20207}[ECT2-C2-Covariance]
  {Donner les formules de Koenig--Huygens
   pour la variance et la covariance.}
  {$\displaystyle
  \mathrm{V}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2
  $
  et
  \[
  \operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y).
  \]}

\carte{20208}[ECT2-C2-Covariance]
  {Donner le lien entre covariance et variance,
   ainsi que la propriété de symétrie de la covariance.}
  {$\displaystyle
  \operatorname{\mathrm{Cov}(}(X,X)=\mathrm{V}(X)
  $\\
  et \\
  $  \operatorname{\mathrm{Cov}(}(X,Y)=\operatorname{\mathrm{Cov}(}(Y,X).
  $}

\carte{20209}[ECT2-C2-Covariance]
  {Énoncer la linéarité à gauche et à droite de la covariance.}
  {$\displaystyle
  \operatorname{\mathrm{Cov}(}(aX_1+bX_2,Y)
  =\\
  a\,\operatorname{\mathrm{Cov}(}(X_1,Y)
  +b\operatorname{\mathrm{Cov}(}(X_2,Y),
  $\\
  et\\
$  
  \operatorname{\mathrm{\mathrm{Cov}(}}(X,aY_1+bY_2)
  =\\
  a\,\operatorname{\mathrm{\mathrm{Cov}(}}(X,Y_1)
  +b\operatorname{\mathrm{\mathrm{Cov}(}}(X,Y_2).
 $}

\carte{20210}[ECT2-C2-Covariance]
  {Donner les formules de $\mathrm{V}(X+Y)$ et de $\mathrm{V}(X-Y)$.}
  {$\displaystyle
  \mathrm{V}(X+Y)=\mathrm{V}(X)+2\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)+\mathrm{V}(Y),
  $\\
  et\\
 $
  \mathrm{V}(X-Y)=\mathrm{V}(X)-2\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)+\mathrm{V}(Y).
  $}

\carte{20211}[ECT2-C2-\mathrm{Cov}ariance]
  {Exprimer $\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)$
   à l'aide de $\mathrm{V}(X+Y)$, $\mathrm{V}(X)$ et $\mathrm{V}(Y)$.}
  {$\displaystyle
  \operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)
  =
  \frac12
  \left(
  \mathrm{V}(X+Y)-\mathrm{V}(X)-\mathrm{V}(Y)
  \right).
  $}

\carte{20212}[ECT2-C2-\mathrm{Cov}ariance]
  {Exprimer $\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)$
   à l'aide de $\mathrm{V}(X+Y)$ et $\mathrm{V}(X-Y)$.}
  {$\displaystyle
  \operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)
  =
  \frac14
  \left(
  \mathrm{V}(X+Y)-\mathrm{V}(X-Y)
  \right).
  $}

\carte{20213}[ECT2-C2-Correlation]
  {Définir le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X,Y)$
   et donner son encadrement.}
  {Si $\mathrm{V}(X)\neq0$ et $\mathrm{V}(Y)\neq0$,
   \[
   \rho(X,Y)=
   \frac{\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)}
        {\sqrt{\mathrm{V}(X)}\sqrt{\mathrm{V}(Y)}},
 \] \[
   -1\leq\rho(X,Y)\leq1.
   \]}

\carte{20214}[ECT2-C2-Independance]
  {Que signifie que deux variables aléatoires finies
   $X$ et $Y$ sont indépendantes ?}
  {Pour tous $x\in X(\Omega)$ et $y\in Y(\Omega)$,
   \scalebox{0.9}{\[
    \mathbb{P}((X=x)\cap(Y=y))
   =
   \mathbb{P}(X=x)\mathbb{P}(Y=y).
   \]}}

\carte{20215}[ECT2-C2-Independance]
  {Comment peut-on souvent repérer rapidement,
   dans un tableau de loi conjointe,
   que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes ?}
  {On cherche une case de probabilité nulle.
   Si
   \[
   \mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])=0
   \]
   alors que $\mathbb{P}(X=x)>0$ et $\mathbb{P}(Y=y)>0$,
   $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.}

\carte{20216}[ECT2-C2-Independance]
  {Si $X$ et $Y$ sont indépendantes,
   donner trois conséquences concernant
   $\mathbb{E}(XY)$, $\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)$ et $\mathrm{V}(X+Y)$.}
  {$\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$,
   $\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)=0$ et
   \[
   \mathrm{V}(X+Y)=\mathrm{V}(X)+\mathrm{V}(Y).
   \]}

\carte{20217}[ECT2-C2-Independance]
  {Si $\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)=0$,
   peut-on conclure que $X$ et $Y$ sont indépendantes ?}
  {Non. Deux variables non corrélées
   ne sont pas nécessairement indépendantes.}

\carte{20218}[ECT2-C2-Independance]
  {Si $\operatorname{\mathrm{Cov}}(X,Y)\neq0$,
   que peut-on conclure sur $X$ et $Y$ ?}
  {$X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.}


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% ECT2 - Chapitre 3 - Séries numériques
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\carte{20301}[ECT2-C3-Series]
  {Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite réelle.
   Définir la suite $(S_n)$ de ses sommes partielles.}
  {Pour tout $n\in\mathbb N$,
   \[
   S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k.
   \]
   $S_n$ est appelée somme partielle d'indice $n$.}

\carte{20302}[ECT2-C3-Series]
  {Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite réelle.
   Qu'appelle-t-on série de terme général $u_n$ ?}
  {La série de terme général $u_n$, notée
   \[
   \sum_{n\geq0}u_n,
   \]
   est la suite $(S_n)_{n\geq0}$ de ses sommes partielles.}

\carte{20303}[ECT2-C3-Series]
  {Quand dit-on que la série $\displaystyle\sum_{n\geq0}u_n$ converge ?
   Que désigne alors $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ ?}
  {La série converge lorsque la suite de ses sommes partielles $(S_n)$ converge.
   Dans ce cas,
   \[
   \sum_{n=0}^{+\infty}u_n
   =
   \lim_{n\to+\infty}S_n.
   \]
   Cette limite est appelée somme de la série.}

\carte{20304}[ECT2-C3-Series]
  {Quand dit-on la série $\displaystyle\sum_{n\geq0}u_n$ diverge ?
   Quand dit-on que la série $\displaystyle\sum_{n\geq0}u_n$ diverge grossièrement ?}
  {La série $\sum u_n$ diverge lorsque la suite de ses sommes partielles diverge.

   Elle diverge grossièrement lorsque
   \[
   u_n\not\longrightarrow0.
   \]}

\carte{20305}[ECT2-C3-Series]
  {Donner une condition nécessaire de convergence de la série
   $\displaystyle\sum u_n$.}
  {Si la série $\sum u_n$ converge, alors
   \[
   \lim_{n\to+\infty}u_n=0.
   \]
   Attention : la réciproque est fausse.}

\carte{20306}[ECT2-C3-Series]
  {À quelle condition la série géométrique
   $\displaystyle\sum_{n\geq0}q^n$ converge-t-elle ?
   Quelle est alors sa somme ?}
  {Elle converge si et seulement si
   \[
   |q|<1.
   \]
   Dans ce cas,
   \[
   \sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}.
   \]}

\carte{20307}[ECT2-C3-Series]
  {Justifier la convergence et calculer
   \[
   \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac12\right)^n.
   \]}
  {C'est une série géométrique de raison
   $\frac12$, avec $\left|\frac12\right|<1$.
   Donc elle converge et
   \[
   \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac12\right)^n
   =
   \frac{\frac12}{1-\frac12}
   =1.
   \]}

\carte{20308}[ECT2-C3-Series]
  {Calculer
   \[
   \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{4^n n!}.
   \]}
  {On reconnaît la série exponentielle avec $x=\frac14$ :
   \[
   \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{4^n n!}
   =
   e^{1/4}.
   \]}

\carte{20309}[ECT2-C3-Series]
  {Calculer
   \[
   \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n!}.
   \]}
  {Comme
   \[
   \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}=e,
   \]
   on retire le terme d'indice $0$, qui vaut $1$ :
   \[
   \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n!}=e-1.
   \]}

\carte{20310}[ECT2-C3-Telescopage]
  {Calculer de tête
   \[
   \sum_{k=2}^{6}
   \left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right).
   \]}
  {Par télescopage,
   \[
   1-\frac16=\frac56.
   \]}

\carte{20311}[ECT2-C3-Telescopage]
  {Calculer de tête
   \[
   \sum_{k=3}^{7}
   \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).
   \]}
  {Par télescopage,
   \[
   \frac13-\frac18=\frac{5}{24}.
   \]}