\documentclass[12pt]{beamer}
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\usepackage[frenchb]{babel}
\title{Dynamique de Population}
\author{Eleve 1 et eleve 2}
\date{15 mai 2022}

%----- Presentation scriptPython ------

\usepackage{listings}

\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm,mathrsfs,stmaryrd}

\usetheme{PaloAlto}
%\usetheme{Warsaw}
%\usetheme{Madrid}

\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits}
\newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits}
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}}  \newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} 
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}}  \newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}}

%---- Pr\'esentation (num\'erot\'ee) d'un listing Python


\newcommand{\presult}[1]{\fbox{\textcolor{black}{\textbf{ #1}}}}

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shading][top=white!10!green,bottom=yellow!10!white]


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\begin{frame}{Lien avec les enjeux soci\'etaux}
\maketitle   
\end{frame}


\begin{frame}{Lien avec les enjeux soci\'etaux}
    
\begin{block}{Titre du block}
\begin{itemize}
    \item Environnement
    \pause \item \'Energie
   \pause  \item S\'ecurit\'e
\end{itemize}
    

$$n! \sim \frac{n^{n+1/2}}{e^n}\sqrt{2\pi}$$
$$n! \sim \frac{n^(n+1/2\}}{e^n}\sqrt{2\pi}$$
\end{block}

\end{frame}


%\end{document}


\begin{frame}{Id\'ees de mod\`{e}le}
    \tableofcontents
\end{frame}


\section{Mod\`{e}le de Malthus}
\begin{frame}{Mod\`{e}le de Malthus}

\begin{itemize}
    \item Mod\`{e}le exponentiel \\
    
   \pause  \item D\'ecroit vers $0$ si : $t_M > t_N$ \\
    
   \pause \item Croit vers l'infini si : $t_N > t_M$\\
\end{itemize}
$\longrightarrow$  Trop peu r\'ealiste\\

\end{frame}
%\end{document}

\begin{frame}{\textsc{Approche Math\'ematique}}

\begin{itemize}
    \item $P_{n+1} = \lambda P_n$ avec $\lambda$ la raison géométrique \\
    \item $P'(t) = \lambda P(t) $ de solution : $P(t) = \lambda_0 e^{\lambda t}$ \\
    \item Méthode d'Euler
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\begin{center}
    \Large{\textbf{Mod\'elisation}}\\
    \vspace{0.6cm}
    
\includegraphics[scale = 0.8]{Courbe1.PNG}

\end{center}
\end{frame}



\section{Mod\`{e}le de Grompertz}
\begin{frame}{Mod\`{e}le de Grompertz}
\begin{itemize}
    \item $t_M$ d\'epend de l'âge\\
    \vspace{0,5cm}
    \item Population croît de façon exponentielle  puis se stabilise 
\end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}{\textsc{Approche Math\'ematique}}
\Large
$$f(t) = e^{\alpha \beta^t + \gamma}$$\\ \vspace{0,5cm}
\normalsize
avec $\alpha <0$ et $\beta \in [0,1]$
\\
    \vspace{0,5cm}
    
    Croît exponentiellement jusqu'à l'asymptote horizontale égale à $e^{\gamma}$
\end{frame}


\begin{frame}{}
\begin{center}
    \Large{\textbf{Mod\'elisation}}\\
    \vspace{0.6cm}
    
\includegraphics[scale = 0.8]{Courbe2.png}

\end{center}
\end{frame}

\section{Mod\`{e}le de Leslie}
\begin{frame}{\textsc{Approche Math\'ematique}}

$D_{n+1} = L \, D_n$ avec \\
\begin{center}
    $D_n = \begin{pmatrix} d_0\\ d_1 \\ \vdots \\ d_{n-1}\\d_{n}\end{pmatrix}$ \quad et \quad $L = \begin{pmatrix} f_0& f_1& f_2\\m_0&0&0 \\0&m_1& 0\end{pmatrix}$
\end{center}

\end{frame}



\section{Mod\`{e}le de Grompertz}


\begin{frame}
    \frametitle{essai Python}
    \lstinputlisting[language=Python]{demo.py}
\end{frame}

\end{document}
\end{document}