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\fancyhead[L]{NOM - Prénom :\hspace{9cm}\vspace*{0.1cm} }
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\fancyfoot[L]{ MP1\&2 - Année 2025/2026}
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\fancyfoot[R]{ Lycée Janson de Sailly}

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%{}%
%

\begin{document}


\begin{center}

{\setlength{\fboxrule}{0.3mm}
\fbox{\begin{minipage}{12cm}{\begin{center}\vspace{0.2cm}\textbf{{{\Large  
DS-4bis\vspace{0.2cm} - Barème }}}\vspace{0.2cm}\end{center}}\end{minipage}}}

\end{center}


%------------------------------------------------------------------------------------------- 
               % Pistes d'amélioration
%------------------------------------------------------------------------------------------- 

\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline 
 & \quad \includegraphics[height=0.3cm]{ThumbDown} \quad \quad  & \quad  \includegraphics[height=0.3cm]{ThumbUp} \quad \quad & \quad  \includegraphics[height=0.3cm]{ThumbUp} \includegraphics[height=0.3cm]{ThumbUp} \quad \quad \\ 
\hline 
\textbf{Connaissance du cours} &  &  &  \\ 
\hline 
\textbf{Quantité de questions traitées} &  &  &  \\ 
\hline 
\textbf{Détail/Rigueur de la rédaction} &  &  &  \\  
\hline 
\textbf{Utilisation appropriée de schémas} &  &  &  \\  
\hline 
\textbf{Soin de la rédaction} &  &  &  \\ 
\hline 
\textbf{Commentaires pertinents} &  &  &  \\ 
\hline 
\end{tabular} 



%------------------------------------------------------------------------------------------- 
               % Problème 1 Chimie
%------------------------------------------------------------------------------------------- 
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2.7cm}|p{13cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|}
\hline
 & \textbf{Problème 1 : Ressources minières de la Sibérie. CCINP MP 2022}  &  \small{élève}&\small{prof}  & \small{max}  \tabularnewline
\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hline

\multirow{1}[0]*{\textbf{Q1.a)}} & $\bullet$  $\mu(B_k)=\left(\frac{\partial G}{\partial n_{k}}\right)_{T, P, n_{\ell \neq k}}$ $\bullet$ graphite & & & \hspace*{-0.2cm}1 \tabularnewline
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{2}[0]*{\textbf{Q1.b)}} & $\bullet$  $\mathrm{d} G=-S\, \mathrm{d} T+V\, \mathrm{d} P+\mu\, \mathrm{d} n=\left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T, n} \mathrm{d} P+\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P, n} \mathrm{d} T+\left(\frac{\partial G}{\partial n}\right)_{T, P} \mathrm{d} n$ & & & \hspace*{-0.2cm}1.5 \tabularnewline
\cline{3-5}
  & $\bullet$ $V=\left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T, n}$ $\bullet$ Euler $G=n\mu$ et $V=nV_{\mathrm{mol}}$ donc  $V_{\mathrm{mol}}=\left(\frac{\partial \mu}{\partial P}\right)_{T}$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{4}[0]*{\textbf{Q1.c)}} & $\bullet$  $V_{\mathrm{mol}}=\frac{M}{\rho}$ constant $\bullet$ $\mu=V_{\mathrm{mol}}\,P+f(T)$ & & & \hspace*{-0.2cm}3 \tabularnewline
\cline{3-5}
  & $\bullet$ $\mu(T,P)=\mu^\circ(T)+\frac{M}{\rho}\left(P-P^{0}\right)$ avec déf de $\mu^\circ$ $\bullet$ \'Egalité des potentiels chimiques & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$ $P=P^{\circ}+\frac{\mu_{2}^{\circ}-\mu_{1}^{\circ}}{M(C)\left(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}\right)}$ $\bullet$ A.N. $P$ = 1,4 GPa & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{1}[0]*{\textbf{Q1.c)}} & $\bullet$  $\bullet$ 0.5 par remarque pertinente & & & \hspace*{-0.2cm}? \tabularnewline
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{1}[0]*{\textbf{Q2.}} & $\bullet$ $M=\sum_i\,x_iM_i$ $\bullet$ $M$ = 58,76 g/mol  & & & \hspace*{-0.2cm}1 \tabularnewline
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{2}[0]*{\textbf{Q3.a)}} & $\bullet$ Schéma maille $\bullet$ $\rho=\frac{N M(\mathrm{Ni})}{\mathcal{N}_{A} a^{3}}$ avec calcul de $N$  & & & \hspace*{-0.2cm}2 \tabularnewline
\cline{3-5}
  & $\bullet$ $a$ = 353  pm $\bullet$ Contact diag. face $R(\mathrm{Ni})=\frac{a \sqrt{2}}{4}$ = 125 pm & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{2}[0]*{\textbf{Q3.b)}} & $\bullet$ Schéma sites T $\bullet$ Schéma sites O  & & & \hspace*{-0.2cm}2 \tabularnewline
\cline{3-5}
  & $\bullet$ $2r_O+2R(Ni)=a$ donc $r_{O}$ = 52 pm $\bullet$ Uniquement substitution.& \multicolumn{3}{c|}{~}\\
 \hline
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\multirow{2}[0]*{\textbf{Q4.a)}} & $\bullet$ Loi de Hess $\Delta_rH^\circ$ = $-$ 188 kJ/mol $\bullet$ BONUS si $\Delta_fH^\circ(Ni)=0$  & & & \hspace*{-0.2cm}1.5\tiny{(+0.5)} \tabularnewline
 \cline{3-5}
  & $\bullet$  $\Delta_rS^\circ$ = $-$ 502 J/K/mol $\bullet$ $\alpha=\Delta_rH^\circ$ et $\beta=-\,\Delta_rS^\circ$  & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
 \hline
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 \multirow{1}[0]*{\textbf{Q4.b)}} & $\bullet$ $\Delta_{\mathrm{vap}}S^\circ=\frac{\Delta_{\mathrm{vap}}H^\circ}{T_{\mathrm{vap}}}=95\text{ J.K}^{-1}.\text{mol}^{-1}$  & & & \hspace*{-0.2cm}0.5 \tabularnewline
\hline


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \multirow{5}[0]*{\textbf{Q4.c)}} & $\bullet$ À $T=T_{\mathrm{vap}}$, $\Delta_rH^\circ=\Delta_rH^\circ_1+\Delta_{\mathrm{vap}}H^\circ=-\,158 \,\text{kJ.mol}^{-1}$  & & & \hspace*{-0.2cm}3 \tabularnewline
  \cline{3-5}
  & $\bullet$ $\Delta_rS^\circ=\Delta_rS^\circ_1+\Delta_{\mathrm{vap}}S^\circ=-\,407 \text{ J.K}^{-1}.\text{mol}^{-1}$ $\bullet$ $T\geqslant T_{\mathrm{vap}}$ $\Delta_rS^\circ$ et $\Delta_rH^\circ$ indépts de $T$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
& $\bullet$ $\alpha'=\Delta_rH^\circ$ et $\beta'=-\,\Delta_rS^\circ$ $\bullet$ $\alpha'<0$ réaction exothermique & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
& $\bullet$ $\Delta_rS^\circ<0$ diminution du désordre & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
  \multirow{2}[0]*{\textbf{Q4.d)}} & $\bullet$ $K^{\circ}\left(50^{\circ} C\right)$ = 1,97$\times$10$^{4}$ $\bullet$ $K^{\circ}\left(220^{\circ} C\right)$ = 3,00$\times$10$^{-5}$  & & & \hspace*{-0.2cm}1.5 \tabularnewline
 \cline{3-5}
  & $\bullet$ Justification de ces choix pour réacteurs 1 et 2& \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  \hline

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
  \multirow{4}[0]*{\textbf{Q4.e)}} & $\bullet$ Van't Hoff si $T$ augmente alors sens indirect  & & & \hspace*{-0.2cm}2 \tabularnewline
 \cline{3-5}
 & $\bullet$ BONUS BT dans réacteur 1 mais HT dans réacteur 2 & \multicolumn{3}{c|}{~}\\

  & $\bullet$  Loi de Le Châtelier à énoncer donc sens direct si $P$ augmente & \multicolumn{3}{c|}{~}\\

  & $\bullet$ HP réacteur 1 et BP réacteur 2 & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  \hline
  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
  \multirow{4}[0]*{\textbf{Q4.f)}} & $\bullet$ Réaction exothermique : risque d'emballement $T$ $\bullet$ $Q=-\,\frac{m}{M(\mathrm{Ni})}\, \Delta_{r} H^{\circ}$ & & & \hspace*{-0.2cm}2.5 \tabularnewline  

 \cline{3-5}
 & $\bullet$ $Q$ = 2,7$\times$10$^{9}$ J $\bullet$ LAM $K^{\circ}=\frac{x}{(1-x)^{4}} \times\left(\frac{P^{\circ}}{P}\right)^{3}$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
 & $\bullet$ Résol numérique ou calcul $K^\circ$ et $Q_{r,\mathrm{éq}}$ et conclusion & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
 
 & $\bullet$ Rendement convenable dû à $P$ élevée. & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
 \hline
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \end{tabular}
 
 \begin{tabular}{>{\centering}p{2.73cm}p{13cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|}
\cline{3-5}
 & \hspace{11.3cm} \textbf{Total} &&& 21.5   \tabularnewline
\cline{3-5}
\end{tabular}
\end{center}


%------------------------------------------------------------------------------------------- 
               % Problème 2
%------------------------------------------------------------------------------------------- 
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2.7cm}|p{13cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|}
\hline
 & \textbf{Problème 2 : Glissement d'une gomme sur une barre en mouvement}  &  \small{élève}&\small{prof}  & \small{max}  \tabularnewline
\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hline
\multirow{5}[0]*{\textbf{Q.I.1}} & $\bullet$ Schéma avec forces et axes $\bullet$ PFD à $m$ dans $\mathcal{R}_{barre,ng}$  & & & \hspace*{-0.2cm}5.5\tiny{(+0.5)} \tabularnewline
\cline{3-5}
  & $\bullet$ $m$ immobile dans $\mathcal{R}_{barre,ng}$ et $x=L$ $\bullet$  $\overrightarrow{T}=T_x\overrightarrow{e}_x +T_y\overrightarrow{e}_y$ sans oubli de $T_y$  & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$  $\overrightarrow{f}_{ie}=m\omega ^2L\overrightarrow{e}_x$ $\bullet$ $\overrightarrow{f}_{ic}=\overrightarrow{0}$ car $\overrightarrow{v}(m/barre)=\overrightarrow{0}$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$  $T_x = -\,m\omega^2 L$ $\bullet$ $T_y = 0$ et $N = mg$ $\bullet$ pas de glissement si $\|\overrightarrow{T}\|<f_s\|\overrightarrow{N}\|$  & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$  $\omega_m=\sqrt{\frac{f_sg}{L}}$ $\bullet$ $\omega_m=2\,\text{rad.s}^{-1}$ $\bullet$ BONUS si $\omega_m=\text{0,3 tour.s}^{-1}$ pas très rapide & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\multirow{4}[0]*{\textbf{Q.I.2.a)}} & $\bullet$ BONUS si schéma  &  && \hspace*{-0.2cm}2\tiny{(+1)} \tabularnewline
\cline{3-5}  &$\bullet$  BONUS si TMC à $\{$ barre $+$ gomme $\}$ par rapport à $O$ fixe dans $\mathcal{R}_{sol}$ galiléen & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$ $L_{O,z}=(J+mL^2)\,\dot{\theta}$ $\bullet$ Moments pivot, poids barre et gomme $\perp$ $\overrightarrow{e}_z$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$ $\ddot{\theta}+\frac{3C}{(M+3m)L^2}\,\theta=0$ $\bullet$ $\theta(t)=\theta_0\cos(\Omega t)$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\multirow{6}[0]*{\textbf{Q.I.2.b)}} & $\bullet$ formule de dérivation vectorielle 
$\left(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{U}}{\mathrm{d} t}\right)_{\mathcal{R}} = \left(\frac{\mathrm{d}
\overrightarrow{U}}{\mathrm{d} t}\right)_{\mathcal{R}'}+ \overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}
\wedge \overrightarrow{U}$  &  && 3 \tabularnewline
\cline{3-5}  &$\bullet$  avec $\overrightarrow{U}=\overrightarrow{OA}$, $\mathcal{R}=\mathcal{R}_T$, $\mathcal{R}'=\mathcal{R}_b$ et $\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}=\overrightarrow{\omega}$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{v}(A)_{/\mathcal{R}_T}=\overrightarrow{v}(A)_{/\mathcal{R}_b}+\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{OA}$ $\bullet$ dérivation vectorielle à $\overrightarrow{v}(A)_{/\mathcal{R}_T}$ $\bullet$ $\overrightarrow{a}(A)_{/\mathcal{R}_b}=\left(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}(A)_{/\mathcal{R}_b}}{\mathrm{d} t}\right)_{/\mathcal{R}_b}$& \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$ $\overrightarrow{a}(A)_{/\mathcal{R}_T}=\overrightarrow{a}(A)_{/\mathcal{R}_b}+\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\omega}}{\mathrm{d}t}\wedge \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}(A)_{/\mathcal{R}_b}+\overrightarrow{\omega}\wedge\left(\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{OA}\right)$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$ identification des termes d'accélération relative, Coriolis et entraînement : $\overrightarrow{a}_e(A)=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\omega}}{\mathrm{d}t}\wedge \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\omega}\wedge(\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{OA})$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\multirow{4}[0]*{\textbf{Q.I.2.c)}} & $\bullet$ BONUS si schéma avec forces et axes et PFD à $m$ dans $\mathcal{R}_{barre,ng}$ &  & & \hspace*{-0.2cm}4\tiny{(+0.5)} \tabularnewline
\cline{3-5}
  &$\bullet$  $m$ immobile dans $\mathcal{R}_{barre,ng}$ et $x=L$ $\bullet$ $\overrightarrow{T}=T_x\overrightarrow{e}_x +T_y\overrightarrow{e}_y$ sans oubli de $T_y$  & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$ $\overrightarrow{f}_{ie}\cdot\overrightarrow{e}_x=mL\dot{\theta}^2$ $\bullet$ $\overrightarrow{f}_{ie}\cdot\overrightarrow{e}_y=-mL\ddot{\theta}$ $\bullet$ $\overrightarrow{f}_{ic}=\overrightarrow{0}$ $\bullet$ $
N= mg$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$ $T_x = -\,mL\,\dot{\theta}^2=-\, mL\Omega^2\,\theta_0^2\,\sin^2(\Omega t)$ $\bullet$ 
$T_y = mL\ddot{\theta}=-mL\Omega^2\,\theta_0\cos(\Omega t)$ 
  & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\multirow{7}[0]*{\textbf{Q.I.2.d)}} & $\bullet$ $\|\overrightarrow{T}\|=\sqrt{T_x^2+T_y^2}=mL\Omega^2\theta_0\sqrt{\theta_0^2\,y^2-y+1}
$ & & & 4.5 \tabularnewline
\cline{3-5}
  &  $\bullet$ étude de $f:y\longmapsto \theta_0^2\,y^2-y+1$ avec $y\in [0,1]$   & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  &  $\bullet$ max de $f(y)$ : $f(0)=1$ ou $f(1)=\theta_0^2$  & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$ non glissement si  $\forall\,y\in [0,1],\ \|\overrightarrow{T}\|<f_s\|\overrightarrow{N}\|$ $\Rightarrow$  $L\Omega^2\theta_0\,\underset{y\in[0,1]}{\mathrm{max}}\,\sqrt{f(y)}<f_sg$
  & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  &$\bullet$ si $\theta_0<1$, pas de glissement si $\theta_0< \frac{f_sg}{m\Omega^2}$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  & $\bullet$ si $1<\theta_0$, pas de glissement si $\theta_0<\sqrt{\frac{f_sg}{L\Omega^2}}$, possible que si $1<\frac{f_sg}{L\Omega^2}$ 
   & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
 & $\bullet$ $\Omega$ = 1,17 rad.s$^{-1}$  $\bullet$ $\theta_{\mathrm{lim}}=\sqrt{\frac{f_sg}{L\Omega^2}}$ $\bullet$ $\theta_{\mathrm{lim}}=\text{1,69 rad } = \text{ 97°}$
   & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\multirow{3}[0]*{\textbf{Q.II.1.a)}} & $\bullet$ BONUS si schéma avec forces et axes  & & & \hspace*{-0.2cm}1\tiny{(+0.5)}  \tabularnewline
\cline{3-5}  & $\bullet$ TMC à $\{$ barre $+$ gomme $\}$ par rapport à $O$ fixe dans $\mathcal{R}_{sol}$ galiléen & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
  &  $\bullet$ $\cos\theta_{eq}=\frac{C}{mgL}\,\theta_{eq}$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\multirow{1}[0]*{\textbf{Q.II.1.b)}} &$\bullet$ équilibre $\Rightarrow$ $\overrightarrow{N}+\overrightarrow{T}+m\overrightarrow{g}=\overrightarrow{0}$ $\bullet$ $T_x = -\,mg\sin\theta_{eq}$, $T_y = 0$ et $N = mg\cos\theta_{eq}$ & & & 1 \tabularnewline 
\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\multirow{2}[0]*{\textbf{Q.II.1.c)}} &$\bullet$ non glissement si $\|\overrightarrow{T}\|<f_s\|\overrightarrow{N}\|$ $\Rightarrow$ $\theta_{eq}<\text{arctan}\,f_s$ $\bullet$ $\theta_{eq}$ < 11,3° & & & 2 \tabularnewline
\cline{3-5}  &$\bullet$ or $
\cos\theta_{eq}=\text{4,08 }\,\theta_{eq}$ $\Rightarrow$ $\theta_{eq}$ = 0,238 rad = 13° $\bullet$ la masse glisse & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\multirow{1}[0]*{\textbf{Q.II.3}} &$\bullet$ $\bullet$ $\bullet$... 0.5 pts pour chaque élément intéressant
 & & &$?$ \tabularnewline
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{>{\centering}p{2.73cm}p{13cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|}
\cline{3-5}
 & \hspace{11.3cm} \textbf{Total} &&& 23    \tabularnewline
\cline{3-5}
\end{tabular}

\end{center}



%------------------------------------------------------------------------------------------- 
               % Problème 3
%------------------------------------------------------------------------------------------- 
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2.7cm}|p{13cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|}
\hline
 & \textbf{Problème 3 : Chutes d'arbres Mines Pont PC 2019}  &  \small{élève}&\small{prof}  & \small{max}  \tabularnewline
\hline

\multirow{3}[0]*{\textbf{Q1.}} & $\bullet$ Schéma $\bullet$ Force exercée sur câble par bûcheron = $-\overrightarrow{F}$ & & & 2.5 \tabularnewline 

\cline{3-5}  & $\bullet$ équilibre $\Rightarrow -mg\, \widehat{u}_z-\overrightarrow{F}+\overrightarrow{R_2}=\overrightarrow{0}$ $\bullet$ $N_{2}=m g-F \sin \alpha$ et $T_{2}=F \cos \alpha$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\

& $\bullet$ pas de glissement si $|T_2|<f|N_2|$ $\bullet$ $F<\frac{fmg}{\cos\alpha+f\sin\alpha}=F_{\mathrm{max}}$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{5}[0]*{\textbf{Q2.}} & $\bullet$ Schéma $\bullet$ \'Equilibre $\Rightarrow -Mg\, \widehat{u}_{z}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{R_1}=\overrightarrow{0}$ & & & 3 \tabularnewline 

\cline{3-5}  & $\bullet$ $N_1=Mg+F \sin \alpha$ et $T_1=-F \cos \alpha$ & \multicolumn{3}{c|}{~}\\
& $\bullet$ Pas de glissement tant que $\frac{|T_1}{|N_1|}<f$ donc $F\,(\cos\alpha-f\sin\alpha)<fMg$  &\multicolumn{3}{c|}{~}\\

& $\bullet$ $F<\frac{fMg}{\cos\alpha-f\sin\alpha}=F'_{\mathrm{max}}$ avec justification du signe de $\cos\alpha-f\sin\alpha$  &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$ Justification de $F'_{\mathrm{max}}<F_{\mathrm{max}}$ arbre ne glisse pas &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{1}[0]*{\textbf{Q3.}} & $\bullet$ Poids en $G$ et $\overrightarrow{M_O}(\mathrm{poids})=\overrightarrow{OG}\wedge M\vec{g}=-Mga\,\widehat{u}_y$ $\bullet$ $\Gamma_g=-Mga$ & & & 1 \tabularnewline 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{1}[0]*{\textbf{Q4.}} & $\bullet$ $\overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{R_1})=\vec{0}$ $\bullet$ Rotation commence si $\Gamma_g+\Gamma_B>0$ $\bullet$ $\Gamma_{B,\mathrm{min}} = Mga$ & & & 1.5 \tabularnewline 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{1}[0]*{\textbf{Q5.}} & $\bullet$ $\overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{OC}\wedge \overrightarrow{F}= F\,\ell\cos\alpha\,\sin\alpha\,\widehat{u}_y$ $\bullet$ $\Gamma_B$ maximal pour $\alpha=\alpha_m=\frac{\pi}{4}$  & & & 1 \tabularnewline 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{2}[0]*{\textbf{Q6.}} & $\bullet$ $F=F_{\mathrm{max}}$ donc $\Gamma_{B}=\frac{\ell fmg \cos\alpha \sin\alpha}{\cos \alpha+f \sin \alpha}$ $\bullet$ $\Gamma_{B}=\frac{mg\ell}{\Phi(\alpha)}$ avec $ \Phi(\alpha)=\frac{1}{f \sin \alpha}+\frac{1}{\cos \alpha}$ & & & 2 \tabularnewline 

\cline{3-5}  & $\bullet$ \'Etude de $\Phi'(\alpha)=0$ $\bullet$ $\alpha_{m}=\arctan \frac{1}{\sqrt[3]{f}}$ $\bullet$ Si $f=1$ alors $\alpha_m=\frac{\pi}{4}$ &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{1}[0]*{\textbf{Q7.}} & $\bullet$ $F$ = 707 N $\bullet$ $\ell$ = 14 m $\bullet$ $m>71$ kg $\bullet$ Situation dangereuse & & & 2 \tabularnewline 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{5}[0]*{\textbf{Q8.}} & $\bullet$ Schéma $\bullet$$\bullet$ $E_{p}=Mg z_G$ + calcul de $E_p$  & & & \hspace*{-0.2cm}3.5{\tiny(+0.5)} \tabularnewline 

\cline{3-5} & $\bullet$ $\mathrm{d}E_m=\delta W(\overrightarrow{F})>0\Rightarrow$ bûcheron augmente NRJ mécanique arbre &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$  Au-delà du maximum de $E_p$ arbre possède énergie cinétique  &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$ $\theta_s$ = valeur qui rend $E_p$ max $\bullet$ BONUS $E_p$ max si $G$ à la verticale de $O$  &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$ \'Etude de $E_p$ donne $\theta_s=\text{arctan}\left(\frac{2a}{H}\right)$ &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{1}[0]*{\textbf{Q9.}} & $\bullet$ $U=100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ (Tolérance large)  & & & 0.5 \tabularnewline 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{2}[0]*{\textbf{Q10.}} & $\bullet$ Moment élémentaire $\overrightarrow{\delta M_O}=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{\delta F}=2aC_x \rho_{a} U^{2}\,z\,\mathrm{d}z\,\widehat{u}_y$  & & & 1 \tabularnewline 

\cline{3-5} & $\bullet$ On somme : $\overrightarrow{M_O}_{,v}=aC_x \rho_{a} U^{2}\,H^2\,\widehat{u}_y$ &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{3}[0]*{\textbf{Q11.}} & $\bullet$ $\Gamma_r(0^+)=\beta\Gamma_0$ donc $\beta=1$ $\bullet$ $\Gamma_r(\theta_c)=0\Rightarrow$ on lit $\theta_c$ = 10$^\circ$  & & & 2.5 \tabularnewline 

\cline{3-5} & $\bullet$ Annulation de $\Gamma_r'(\theta)$ pour $\theta_m=\frac{2}{5}\theta_c$ = 4$^\circ$ $\bullet$ $\Gamma_m=\frac{9}{5}\Gamma_0$  &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 
& $\bullet$ On estime $\theta_m$ = 4$^\circ$ et $\Gamma_m=\text{1,8}\Gamma_0$ Bon accord &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{6}[0]*{\textbf{Q12.}} & $\bullet$ TMC $\Rightarrow$ équilibre si $\Gamma_r(\theta)+\Gamma_v=0$ $\bullet$ Pour $\theta=0$ possible si $\Gamma_v=0$  & & & 5.5 \tabularnewline 

\cline{3-5} & $\bullet$ Si $\theta=\varepsilon>0$, $\Gamma_r(\varepsilon)<0$, rappel vers équilibre donc stable &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$$\bullet$ Si $\theta_{\mathrm{équ}}\neq0$, tracé des 3 figures possibles &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$ 1 pos. équ. si $p<1$, 2 pos. équ. si $1<p<$ 1,7,  aucune pos. équ. si $p>$ 1,7 &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$ DL au voisinage de $\theta_{\mathrm{équ}}$ $\Gamma_r(\theta)=\Gamma_r(\theta_{\mathrm{équ}})+\frac{\mathrm{d}\Gamma_r}{\mathrm{d}\theta}(\theta_{\mathrm{équ}})\,(\theta-\theta_{\mathrm{équ}})+...$  &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$ TMC avec $\varepsilon=\theta-\theta_{\mathrm{équ}}$ : $\ddot{\varepsilon}-\frac{1}{J} \frac{\mathrm{d}\Gamma_r}{\mathrm{d}\theta}(\theta_{\mathrm{équ}})\,\varepsilon$ $\bullet$ Stable si $\frac{\mathrm{d}\Gamma_r}{\mathrm{d}\theta}(\theta_{\mathrm{équ}})<0$ $\bullet$ Conclure &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$ Rafale de vente, $\Gamma_r$ peut varier, ... &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{3}[0]*{\textbf{Q13.}} & $\bullet$ Multiplication TMC par $\dot{\theta}$ + intégration. $\bullet$$\bullet$ $P(u)=p-1-2u+\frac{5}{3}u^2$    & & & 4 \tabularnewline 


\cline{3-5} & $\bullet$ $\forall\,u,P(u)>0$ donc $P_{\mathrm{min}}>0$ $\bullet$ $P_{\mathrm{min}}=p-1-\frac{3}{5}$ $\bullet$$\bullet$ $p>1,6$ &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$ $U=\sqrt{\frac{p_c\,|\Gamma_0|}{aC_x\rho_aH^2}}=\text{12,7 m.s}^{-1}=46\text{ km.h}^{-1}$ &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 
\hline

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\multirow{4}[0]*{\textbf{Q14.}} & $\bullet$ $p<p_c$ donc $P(u)$ s'annule $\bullet$ Mouvement possible dans zone où $P(u)\geqslant 0$    & & & \hspace*{-0.2cm}2.5{\tiny(+0.5)} \tabularnewline 

\cline{3-5} & $\bullet$ Racine $u_{\mathrm{max}}=\frac{1}{5}$ $\bullet$ Mouvement dans zone $u\in[0,u_{\mathrm{max}}]$ &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

& $\bullet$ BONUS si graphe de $P(u)$ $\bullet$ Amortissement par effets dissipatifs : frottements, ... &\multicolumn{3}{c|}{~}\\ 

\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{>{\centering}p{2.73cm}p{13cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|}
\cline{3-5}
 & \hspace{11.3cm} \textbf{Total} &&& 32.5    \tabularnewline
\cline{3-5}
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{>{\centering}p{2.7cm}p{13cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|>{\centering}p{0.8cm}|}
\cline{3-5}
 & \hspace{11cm} \textbf{TOTAL} &&&  77   \tabularnewline
\cline{3-5}
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}