{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "008c0a6f-2a94-4152-b561-3efa86045634", "metadata": {}, "source": [ "# TP n°1 : Formation des images" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "id": "730e7bae-f535-4db7-9e03-fb70ab2ede5d", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np #importation de la bibliothèque qui permet de faire des calculs numériques\n", "import matplotlib.pyplot as plt #importation de la bibliothèque qui permet de tracer des graphiques" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a3ed7708-fb9e-454a-b353-9936e4a5d07b", "metadata": {}, "source": [ "### Préambule avec quelques formules pour les incertitudes expérimentales" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "524a0378-60f9-4efa-8b0d-92829ffe7ecd", "metadata": {}, "source": [ "Une mesure expérimentale d'une grandeur s'accompagne toujours d'une incertitude expérimentale dont l'origine est multiple :\n", "\n", "- le choix de la méthode de mesure : par exemple mesurer le temps que met un coureur pour faire une distance à l'aide d'un chronomètre individuel ou d'une détection automatique n'implique pas la même précision ;\n", "\n", "- les variations de l'environnement : les grandeurs mesurées peuvent dépendre de paramètres extérieurs (température, pression,...) ;\n", "\n", "- les instruments de mesures : deux instruments de mesures identiques n'ont pas toujours exactement les mêmes caractéristiques physiques, ce qui peut engendrer des différences ;\n", "\n", "- le processus physique lui-même : certaines lois physiques relèvent de procédé statistique intrinsèquement, ce qui engendre des écarts entre deux mesures ;\n", "\n", "- SURTOUT, la personne réalisant l'expérience : par ses gestes, sa technique et ses choix, une personne introduit une variabilité importante." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9bb511e4-7b82-4015-aab1-77598fa45e79", "metadata": {}, "source": [ "La variabilité associée à une grandeur physique $x$ s'appelle $\\textbf{incertitude-type}$ et notée $u(x)$. Par définition, il s'agit de $\\textbf{l'écart-type}$ de la distribution des données expérimentales issues d'une répétition de la mesure. \n", "\n", "Le résultat d'une grandeur physique s'accompagne toujours de son incertitude-type." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "5a36f2b1-4ebd-434a-820a-c8c68626c5f1", "metadata": {}, "source": [ "$\\rightarrow$ Incertitude de type $A$ (dite statistique)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "444ab3b9-9780-4196-ac3c-026aa00f6a9d", "metadata": {}, "source": [ "On peut réaliser $N$ fois (où $N\\gg1$) la mesure de la grandeur physique. À la fin, la valeur mesurée $\\overline{x}$ correspond à la valeur moyenne sur les $N$ mesures, et l'incertitude-type est $u(\\overline{x})=u(x)/\\sqrt{N}$ : \n", "\n", "$$ x = \\overline{x} \\pm u(\\overline{x}) \\, \\text{unité} $$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a90a165f-f1ff-43c1-b027-426e0ac9ab3b", "metadata": {}, "source": [ "$\\rightarrow$ Incertitude de type $B$ (mesure unique)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2cdfd396-c5db-4031-a728-e0f6fe97d81c", "metadata": {}, "source": [ "Pour différentes raisons, on ne peut parfois réaliser qu'une seule mesure d'une grandeur physique, et l'on ne peut utiliser la notion d'incertitude de type $A$. Dans ce cas, on estime l'incertitude de différentes manières, que l'on verra au cours de l'année.\n", "\n", "Aujourd'hui, toutes les mesures seront faites à l'aide de graduation. Dans ce cas, on note $\\Delta$ la demi-taille de l'intervalle dans lequel on est certain de trouver la valeur recherchée, et l'on a : \n", "\n", "$$ x=x_\\text{graduation} \\pm \\Delta/\\sqrt{3} \\, \\text{unité}$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e3cf6508-af22-49a5-b00e-ae7313305828", "metadata": {}, "source": [ "En réalité, cette estimation de l'incertitude-type pour une mesure unique provient de considérations théoriques où l'on arrive à estimer la forme de la distribution de la grandeur mesurée (quelle est la probabilité de trouver la valeur $x$ dans un intervalle donné). Selon la forme de la distribution (uniforme, triangulaire, gaussienne, lorentzienne,...), l'incertitude-type n'est pas toujours $\\Delta/\\sqrt{3}$.\n", "\n", "En pratique, en CPGE, le traitement des incertitudes ne nécessite pas une précision aussi grande car les mesures sont toujours entachées de différentes incertitudes et l'on préfère alors sur-estimer légérement l'incertitude-type mesurée.\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "be82487d-8ebb-4c85-a1d7-692a3e79d747", "metadata": {}, "source": [ "Nous aurons besoin de 4 formules supplémentaires dans le cas d'une mesure unique.\n", "\n", "- Si l'on a différentes sources d'incertitudes ($u_1$ et $u_2$) par exemple sur une même grandeur physique mesurée, alors $ u(x)= \\sqrt{u_1^2 +u_2^2}$.\n", "\n", "- Si l'on mesure $Y$ et $Z$, ainsi que leurs incertitudes, et que l'on veut en déduire $X(Y,Z)$ qui est une fonction de $Y$ et $Z$, on a une formule générale de $\\textbf{propagation des incertitudes}$ :\n", "\n", " $$ u(X)=\\sqrt{(u(Y) \\frac{\\partial X}{\\partial Y})^2 + (u(Z) \\frac{\\partial X}{\\partial Z})^2}.$$\n", "\n", "Cette formule se généralise aisément lorsque $f$ dépend de plus de deux variables.\n", "\n", "- Deux cas particuliers de la formule précédente nous aide grandement :\n", " - si $X=aY+bZ$ alors $$ u(X) = \\sqrt{(a\\cdot u(Y))^2 + (b\\cdot u(Z))^2}\\,;$$\n", "\n", " - si $X=k Y^a\\times Z^b$ alors $$\\frac{u(X)}{X} = \\sqrt{(a\\frac{u(Y)}{Y})^2+(b\\frac{u(Z)}{Z})^2} $$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "14acf570-ac45-4b9b-9bcd-8b34cafcdee4", "metadata": {}, "source": [ "Enfin, pour comparer deux grandeurs expérimentales entre elles pour savoir si les mesures sont compatibles, on utilisera $\\textbf{l'écart normalisé}$ : \n", "\n", "$$E_N= \\frac{|X_1-X_2|}{\\sqrt{u^2(X_1)+u^2(X_2)}} $$\n", "\n", "Par convention, on dit que les grandeurs sont compatibles lorsque $E_n\\leq2$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6a8bf5d2-31e7-4b74-b4d1-581259d8c888", "metadata": {}, "source": [ "## $I)$ Formation d'images avec une lentille convergente" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 2, "id": "be7b208e-8b63-45d3-8c7c-81927898d4a3", "metadata": {}, "outputs": [ { "ename": "SyntaxError", "evalue": "invalid syntax (1653256956.py, line 1)", "output_type": "error", "traceback": [ " \u001b[36mCell\u001b[39m\u001b[36m \u001b[39m\u001b[32mIn[2]\u001b[39m\u001b[32m, line 1\u001b[39m\n\u001b[31m \u001b[39m\u001b[31mx_lentille= # position de la lentille sur le banc optique\u001b[39m\n ^\n\u001b[31mSyntaxError\u001b[39m\u001b[31m:\u001b[39m invalid syntax\n" ] } ], "source": [ "x_lentille= # position de la lentille sur le banc optique\n", "u_x_lentille = #incertitude liée à la position de la lentille sur le banc optique\n", "\n", "x_ecran= #position de l'écran sur le banc optique\n", "u_x_ecran = #incertitude liée à la position de l'écran sur le banc optique\n", "\n", "x_objet = #position de l'objet sur le banc optique\n", "u_x_objet = #incertitude liée à la position de l'objet sur le banc optique\n", "\n", "OA= #distance algébrique OA\n", "u_OA = #incertitude sur la distance algébrique OA\n", "\n", "OA_p= #distance algébrique OA'\n", "u_OA_p = #incertitude sur la distance algébrique OA'\n", "\n", "grandissement = # formule du grandissement transversal\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 3, "id": "70e015a3-e1d5-4030-9952-e7895b68572b", "metadata": {}, "outputs": [ { "ename": "SyntaxError", "evalue": "invalid syntax (2362116095.py, line 1)", "output_type": "error", "traceback": [ " \u001b[36mCell\u001b[39m\u001b[36m \u001b[39m\u001b[32mIn[3]\u001b[39m\u001b[32m, line 1\u001b[39m\n\u001b[31m \u001b[39m\u001b[31mx_lentille2 = #position de la lentille sur le banc optique\u001b[39m\n ^\n\u001b[31mSyntaxError\u001b[39m\u001b[31m:\u001b[39m invalid syntax\n" ] } ], "source": [ "x_lentille2 = #position de la lentille sur le banc optique\n", "u_x_lentille2 = #incertitude sur la position de la lentille sur le banc optique\n", "\n", "x_ecran2 = #position de l'écran sur le banc optique\n", "u_x_ecran2 = #incertitude liée à la position de l'écran sur le banc optique\n", "\n", "x_objet2 = #position de l'objet sur le banc optique\n", "u_x_objet2 = #incertitude liée à la position de l'objet sur le banc optique\n", "\n", "OA2 = #distance algébrique OA\n", "u_OA2 = #incertitude sur la distance algébrique OA\n", "\n", "OA_p2 = #distance algébrique OA'\n", "u_OA_p2 = #incertitude sur la distance algébrique OA'\n", "\n", "grandissement2 = # formule du grandissement transversal\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a83ea60b-bfdb-465f-ba9a-322d0671c883", "metadata": {}, "source": [ "Commentaire à faire" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "289adcdd-dce1-49bf-b71f-e598f1e104e2", "metadata": {}, "source": [ "## $II)$ Amélioration de la netteté" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "10567674-9092-4097-b0db-2ee6e4ef0e80", "metadata": {}, "source": [ "Commentaire à faire après avoir fait l'expérience." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6b6d0049-3430-4200-9b3d-14f068d3972e", "metadata": {}, "source": [ "## $III)$ Grandissement" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "cceaaee5-3cef-4d1f-9452-87821f06a66f", "metadata": {}, "source": [ "Protocole à remplir et à faire valider par l'enseignant." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 4, "id": "3786e88c-667f-480b-b6a7-f8de7e8a1201", "metadata": {}, "outputs": [ { "ename": "SyntaxError", "evalue": "invalid syntax (1790463383.py, line 1)", "output_type": "error", "traceback": [ " \u001b[36mCell\u001b[39m\u001b[36m \u001b[39m\u001b[32mIn[4]\u001b[39m\u001b[32m, line 1\u001b[39m\n\u001b[31m \u001b[39m\u001b[31mx_ecran= #position de l'écran sur le banc optique\u001b[39m\n ^\n\u001b[31mSyntaxError\u001b[39m\u001b[31m:\u001b[39m invalid syntax\n" ] } ], "source": [ "x_ecran= #position de l'écran sur le banc optique\n", "u_x_ecran = #incertitude liée à la position de l'écran sur le banc optique\n", "\n", "x_lentille= # position de la lentille sur le banc optique\n", "u_x_lentille = #incertitude liée à la position de la lentille sur le banc optique\n", "\n", "x_objet = #position de l'objet sur le banc optique\n", "u_x_objet = #incertitude liée à la position de l'objet sur le banc optique\n", "\n", "OA= #distance algébrique OA\n", "u_OA = #incertitude sur la distance algébrique OA\n", "\n", "OA_p= #distance algébrique OA'\n", "u_OA_p = #incertitude sur la distance algébrique OA'\n", "\n", "taille_objet= # taille de l'objet\n", "u_taille_objet= # incertitude sur la taille de l'objet\n", "\n", "taille_image= # taille de l'image\n", "u_taille_image= # incertitude sur la taille de l'image\n", "\n", "grandissement1= # définition du grandissement transversal\n", "u_grandissement1= # incertitude sur le grandissement transversal\n", "\n", "grandissement2= # grandissement transversale selon Descartes\n", "u_grandissement2= # incertitude sur sur le grandissement tranvsersal\n", "\n", "print(grandissement1,u_grandissement1)\n", "\n", "print(grandissement2,u_grandissement2)\n", "\n", "ecart_norm=np.abs(grandissement2-grandissement1)/np.sqrt(u_grandissement1**2+u_grandissement2**2)\n", "# l'écart normalisé permet de comparer deux mesures expérimentales entre elles et de valider leur accord ou non.\n", "\n", "print(ecart_norm)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "acc5e26f-b780-4d33-b52f-8979dfc2f7a1", "metadata": {}, "source": [ "En mesurant les distances lentille-objet et lentille-ecran, on obtient $\\gamma_1= ? \\pm ? \\,\\text{USI}$\n", "\n", "En mesurant la taille de l'objet initial et son image final, on obtient $\\gamma_2= ? \\pm ? \\, \\text{USI}$\n", "\n", "Dans les deux mesures, nous devons obtenir un grandissement équivalent. On peut quantifier cela plus précisement à l'aide de l'écart normalisé $Z=\\frac{|\\gamma_1-\\gamma_2|}{\\sqrt{u(\\gamma_1)^2+u(\\gamma_2)^2}}= ?$ ce qui permet de valider la méthode \n", "\n", "Les incertitudes sont plus importantes dans le cas où l'on mesure ????????, donc on préférera la méthode où l'on mesure ?????????." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "92c1ea63-51f5-42c8-ae67-eee69381de62", "metadata": {}, "source": [ "## $IV)$ Formule de conjugaison de Descartes" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "55474ae5-eead-475b-8b02-b8ca0f112f1f", "metadata": {}, "source": [ " ### $1.$ Mesure de la distance focale" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "613e24b5-76de-4bf9-9e9c-d21ae4387afe", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "x_lentille= # position fixe de la lentille\n", "OA_liste=np.array([])-x_lentille #distance algébrique OA, mesures regroupées dans un array\n", "OA_p_liste=np.array([106,89.6,85.9,87,96,85])-x_lentille #distance algébrique OA', mesures regroupées dans un array\n", "\n", "f_p_liste= # formule de la distance focale en fonction de OA et OA'\n", "\n", "print(np.mean(f_liste),np.std(f_liste)) #afficher la valeur moyenne et l'écart-type sur les distances focales obtenues" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "cda0d45d-0aec-4a08-b34f-558c341cfae9", "metadata": {}, "source": [ "On obtient $f'=?\\pm ? \\,\\text{unité}$. C'est en accord/désaccord avec la lentille choisie initialement.\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "72cc186e-6fb1-4186-b3bd-afc019e74d23", "metadata": {}, "source": [ "### $2.$ Tracé de la formule de conjugaison" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "137262c1-7a96-4d02-a747-d81ee1069105", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "f_p_choisie= # distance focale choisie en cm\n", "#plt.scatter permet directement de tracer un nuage de point plutôt que de passer par plt.plot(x,y,'o')\n", "plt.scatter(A REMPLIR,A REMPLIR,label=r'$\\rm{points} \\ \\rm{ expérimentaux}$')\n", "plt.plot(np.linspace(-0.05,-0.02,100),np.linspace(-0.05,-0.02,100)+1/f_p_choisie,color='red',linestyle='--',label=r'$\\rm{théorique}$')\n", "plt.xlabel(r'$\\overline{OA}$')\n", "plt.ylabel(r'$\\overline{OA}$')\n", "plt.legend()\n", "plt.show()\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2aef3917-3c78-4e61-a5bc-c25febd53ee9", "metadata": {}, "source": [ "Commentaire à faire, à faire valider par l'enseignant" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "dbe00fc4-fabc-483b-852f-68fa474fb3a9", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python [conda env:base] *", "language": "python", "name": "conda-base-py" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.13.9" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }