%title:  Cerceau tournant \textmusicalnote\textmusicalnote\textmusicalnote

\exercice{
\begin{minipage}{\complete{8}}
 Un anneau assimilé à un point matériel de masse $m$ est assujetti à se déplacer sans frottement sur un cercle de rayon $R$ vertical, tournant à vitesse angulaire ($\omega=10\U{trs.s^{-1}}$) constante autour de l'axe $Oz$ vertical tangent au cercle. $R=0,2\U{cm}$.
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{8cm}
  \includegraphics[width=7cm]{PS/anneau}
 \end{minipage}


 \begin{enumerate}
  \item Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de $\theta(t)$ et l'expression  de la force exercée par le cercle sur l'anneau.
  \item Que pouvez-vous en tirer pour $\theta$ petit ?
  \item Déterminer graphiquement les positions d'équilibre. Discuter de leur stabilité.
 \end{enumerate}

\end{minipage}


}

\correction{
Bon exercice pour les projections.

Remarque : comme on souhaite obtenir L'équation du mouvement et la réaction de l'anneau, autant écrire la relation fondamentale de la dynamique qui permettra d'avoir les deux (à noter que la conservation de l'énergie permet d'avoir directement l'équation du mouvement) en une fois.

Référentiel : cercle tournant à $\omega$

Système : point matériel de masse $m$

Bilan des forces :

Le poids $\vect{P}=m\vect{g}$

La force d'inertie d'entraînement : $\vect{F}_{ie}=m\omega^2\vect{HM}$

La force de Coriolis : $\vect{F}_{ic}=-2\vect{\omega}\wedge\vect{v}$

La réaction du support qui a des composantes selon $\vur$ et $\vuphi$


La relation fondamentale de la dynamique s'écrit alors :


	  \centers{$\vect{F}_{ie}+\vect{F}_{ic}+\vect{P}+\vect{R}=m\vect{a}$}
	  
	  Il reste à projeter dans la base $(\vur, \vutheta, \vuphi)$
	  
	  \centers{Avec : $\vect{v}=R\dot{\theta}\vutheta$ et $\vect{a}=R\ddot{\theta}\vutheta-R\dot{\theta}^2\vur$}
	  
	  \centers{$\vect{HM}=(R+R\sin(\theta))\vect{u}=(R+R\sin(\theta))(\sin \theta \vur+\cos \theta \vutheta) $}
	  
	  \centers{$-2m\times \vcol{-\omega\cos\theta \\ \omega\sin \theta \\ 0} \wedge \vcol{ 0\\ R\dot{\theta}  \\ 0}+m\omega^2R(1+\sin \theta)\vcol{\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0}+\vcol{mg\cos\theta \\-mg\sin \theta \\ 0}+\vcol{R_r \\ 0 \\ R_{\varphi}}=m\vcol{-R\dot{\theta}^2 \\ R\ddot{\theta} \\ 0}    $}

	  
	  \centers{$-2m\times \vcol{0 \\ 0 \\ \omega\cos \theta R \dot{\theta}}+m\omega^2R(1+\sin \theta)\vcol{\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0}+\vcol{mg\cos\theta \\-mg\sin \theta \\ 0}+\vcol{R_r \\ 0 \\ R_{\varphi}}=m\vcol{-R\dot{\theta}^2 \\ R\ddot{\theta} \\ 0}    $}

	  La projection selon $\vutheta$ (direction de la vitesse) donne l'équation du mouvement :
	  
	  \encadre{$\ddot{\theta}+\f{g}{R}\sin(\theta)-\omega^2(1+\sin \theta)\cos \theta=0$}
	  
	  On remarquera que l'on retrouve le pendule simple pour $\omega=0$ ce qui est cohérent. C'est une équation non linéaire que l'on ne peut résoudre que numériquement.
	  
	  Les deux autres équations permettent de récupérer les composantes $R_r$ et $R_{\varphi}$.
	  
	  Soit :
	  
	  \encadre{$R_r=-mg\cos\theta -m\omega^2R(1+\sin \theta)\sin \theta-mR\dot{\theta}^2$}
	  
	  On remarque que pour $\theta$ petit et une vitesse angulaire positive, on a $R_r$ négatif, ce qui est cohérent puisque l'on s'attend dans ce cas à une réaction radiale vers l'intérieur (qui empêche l'anneau d'être éjecté).
	  
	  Et 
	  
	  \encadre{$R_{\varphi}=2m\omega R \dot{\theta}\cos \theta$ qui s'oppose à la force de Coriolis.}

	  
	  \item Pour $\theta$ petit à l'ordre $1$, on obtient un oscillateur harmonique :
	  
		\encadre{$\ddot{\theta}+\f{g}{R}\theta=0$}
		
	  \item Les positions d'équilibre vérifient : $\f{\dd E_p}{\dd \theta}=0$. Avec $E_p$ qui vaut :
	  
	  \centers{$E_p=mgz-\inv{2}m\omega^2HM^2+Cte=mgR(1-\cos \theta)-\inv{2}m\omega^2R^2(1+\sin \theta)^2+Cte$}
	  
	  En choisissant l'énergie potentielle nulle en $\theta=0$ :
	  
	  \centers{$E_p=mgR(1-\cos \theta)-\inv{2}m\omega^2R^2(1+\sin \theta)^2+\inv{2}mR^2\omega^2$}
	  
	  En traçant $E_p$, on en déduit une position d'équilibre stable à $1,3\U{rad}$ ($75\degre$) et une position d'équilibre instable à $3,8 \U{rad}$ ($218\degre$).
	  
	  Il est cohérent que la position d'équilibre stable soit à quasiment $90\degre$ puisque c'est la position qui maximixe la valeur de l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement, le point est en deça à cause de l'effet du poids qui tend à amener le mobile en $0$.
	  
	  





}