%title: Décollement d'une automobile  \textmusicalnote\textmusicalnote

\exercice{
\begin{minipage}{\complete{8}}
 \includegraphics[width=8cm]{PS/amortisseur}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
Une masse ponctuelle $m$ est reliée à un patin plan ($\pi$) de masse nulle par un ressort de raideur $k$ et un amortisseur de \coefficient de frottement $f=\sqrt{4mk}$.

Le patin est posé sur un plateau $(P)$ à qui on impose un déplacement vertical $Z(t)$ par rapport à un référentiel galiléen $(Oxyz)$. Le champ de pesanteur $\vect{g}=-g\vuz$ est uniforme.

\end{minipage}

\begin{enumerate}
 \item Montrer que l'équation différentielle pilotant l'allongement du ressort se met sous la forme :
 
		    \centers{$\ddot{\ell}+2\omega\dot{\ell}+\omega \ell=-\ddot{Z}-g $}
		    
		    Et exprimer par ailleurs l'action de contact $\vect{N}=N_z\vuz$ exercée par le plateau sur le patin en fonction de $m$, $g$ et $\ddot{\ell}$.
 \item Pour les dates négatives, le plateau, le patin et la masse $m$ sont au repos. On communique à partir de $t=0$ une vitesse $-v_0\vuz$ constante au plateau avec $v_0$ positif. On donne les expressions :
 
		    \centers{$\ell(t)=-\f{mg}{k}+v_0 t\exp(-\omega t)$ ; $N_z=mg-mv_0\omega(2-\omega t)\exp(-\omega t)$}
		    \centers{$\devt{N_z}=mv_0\omega(3-\omega t)\exp(-\omega t) $}
		    
		    Interprétez la forme de $\ell (t)$ et vérifier les conditions initiales. Déterminer la valeur minimale $v_c$ de $v_0$ pour que le patin décolle du plateau et l'instant $\tau$ où le décollement se produit.
 \item 
 \begin{minipage}{\complete{8}}
  L'ensemble masse-patin liées par le ressort et l'amortisseur, modélise une automobile se déplaçant à vitesse constante $U$ et arrivant sur un plan incliné descendant faisant un petit angle $\alpha$ avec l'horizontale. Déterminer la valeur minimale $U_c$ de $U$ telle que l'automobile décolle et l'instant $\tau$ où le décollement se produit.
 \end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
 \includegraphics[width=7cm]{PS/auto}
\end{minipage}

 
\end{enumerate}


}

\correction{

\begin{enumerate}
 \item L'équation s'obtient en se plaçant dans le référentiel du plateau. Attention, il s'agit de l'équation pilotant l'allongement $L-L_0$ du ressort, si on note $L$ la longueur du ressort et $L_0$ sa longueur à vide.
 
 Si on considère le patin de masse nulle, les force s'exerçant sur ce dernier sont :
 
	  \centers{$\vect{T}= +k\ell$ et $\vect{f}=+f\dot{\ell}$ donc $N_z=-k\ell-f\dot{\ell}$}
 
 \item Décollement si $N_z$ est nulle.
 
 Donc 
		      \centers{ $0=mg-mv_0\omega(2-\omega t)\exp(-\omega t)$}
		      \centers{$v_0=\f{g}{\omega(2-\omega t)\exp(-\omega t)}$}
		      
	La valeur la plus petite pour $v_0$ est alors obtenue pour $t=\tau=0$ et vaut $\f{g}{2\omega}$	      
\end{enumerate}


}