%title: Mouvement sur un axe tournant \textmusicalnote \textmusicalnote

\exercice{
\begin{minipage}{10cm}
Soit un référentiel galiléen $R$, auquel on associe le repère $(O,
\vec{u_x}, \vec{u_y}, \vec{u_z})$.Dans le plan $(O,x,y)$, une tige
tourne autour de l'axe $Oz$ à la vitesse angulaire constante
$\omega$. On a placé sur la tige un point matériel $M$ fixé à
l'extrémité d'un ressort de raideur $k$, enfilé sur la tige et
accroché en $O$, de longueur à vide $\ell_0=r_0$. le mouvement se fait sans frottement.
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
   \includegraphics[width=5cm]{td21_figure1.eps}
\end{minipage}
On note $\vec{OM}=r\vec{u_r}$.
\begin{enumerate}
  \item  \'Etudier les éventuelles positions d'équilibre du point $M$.\\
  \item  Déterminer la loi horaire $r(t)$. On prendra comme conditions
initiales $r(0)=2r_0$ et $\ddot{r}(0)=0$. On discutera suivant les
valeurs de $k$.
  \item Déterminer les composantes de la réaction exercée par la tige
sur $M$
\end{enumerate}
}
\correction{

\begin{enumerate}
 \item Comme il y a une force d'inertie d'entraînement qui dépend de la position (distance à l'axe) et une force de rappel qui ne dépend aussi que de la position, on peut alors écrire que la somme des forces est nulle  au point d'équilibre.
 Avec $\vectF_{ie}=m\omega^2\vect{OM}=m\omega^2 r\vur$ et $\vect{T}=-k(\ell-\ell_0)\vur=-k(r-\ell_0)\vur$. On pensera à introduire la pulsation propre du ressort $\omega_0$ dans l'expression finale.
 
 Ici les deux forces dérivant d'une énergie potentielle, on peut aussi écrire que la dérivée de l'energie potentielle par rapport à $r$ est nulle :
 
	\centers{$E_p=\inv{2}k(r-\ell_0)^2+\inv{2}m\omega^2r^2+Cte$}
 
 Dans les deux cas, on trouve :
 
	      \encadre{$r_{eq}=\f{\ell_0}{\omega_0^2-\omega^2}$ avec $\omega_0^2=\f{k}{m}$}
 
 \item Cette fois-ci le mouvement est quelconque. Il ne faut pas oublier de prendre en compte la force de Coriolis et il suffit de voir que le mvt de la masse est radiale dans le référentiel tournant. Le mouvement est donc à un seul degré de liberté. La force de Coriolis ne travaille pas et la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle. La conservation de l'énergie mécanique s'écrit donc :
 
 
 
	  \centers{$\inv{2}m\dot{r}^2+\inv{2}k(r-\ell_0)^2-\inv{2}m\omega^2r^2=Cte$}
	  
	  
La dérivation de cette équation donne l'équation du mouvement :

	  \encadre{$\ddot{r}+(\omega_0^2-\omega^2)r=r_{eq}$}
 	  
 	  Tout dépend du signe du terme devant $r$. Si $\omega_0>\omega$, la solution est sinusoïdale harmonique (le ressort est suffisamment raide pour contrebalancer la force d'inertie) :
 	  
 		\encadre{$ r(t)=(2.r_0-r_{eq})\cos(\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}t)+r_{eq}$}
 	  
 	  À l'aide des conditions initiales : le ressort oscille autour de sa position d'équilibre.
 	  
 	  
 	  Si $\omega_0<\omega$, la solution est hyperbolique. Le ressort n'est pas assez raide pour s'opposer à la force d'inertie d'entraînement. Le ressort s'allonge se déforme et éventuellement casse. La solution donnée est valide tant que la loi de Hooke est vérifié pour le ressort.
 	  
 	  \encadre{$ r(t)=\left(2.r_0-\f{\omega_0^2r_0}{\omega_0^2-\omega^2}\right)\ch(\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}t)+\f{r_0\omega_0^2}{\omega_0^2- \omega^2}$}

%  \item En projetant le principe fondamental sur les axes d'un repère cylindrique :
%  
% 	    \centers{$R_{\theta}=2m\dot{r}\omega$ et$R_z=mg$}
% 	   % \centers{$R_{\theta}=-2m\omega(2r_0-r_{eq}) \sqrt{\omega_0^2-\omega^2}\sin(\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}t)$ dans le cas harmonique }.
% %\centers{$R_{\theta}=2m\left(2.r_0-\f{\omega_0^2r_0{\omega_0^2-\omega^2}\right)\omega\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}\sh(\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}t)$ dans le cas hyperbolique}
%  
%  Attention : Il n'y a pas de frottement donc la réaction est \textbf{normale} à la tige \textbf{mais} elle n'est pas verticale. 
%  
%  La réaction compense ici le poids  ($R_z$) et la force de Coriolis ($R_{\theta}$).
%  
%  Vous remarquerez que dans la projection, je n'ai pas explicité la vitesse, cela alourdit les calculs inutilement. Par contre une fois que $R_\theta$ est exprimée, on peut l'expliciter
	
 
 
\end{enumerate}



}