%title: Bille sur une sphère tournante \textmusicalnote\textmusicalnote

\exercice{
Un point matériel se déplace sans frottements sur la surface intérieure d'une demi-sphère creuse, de centre $O$, de rayon $a$, qui tourne uniformément à la vitesse angulaire $\Omega$ autour de l'axe verticale descendant $(Oz)$. Le référentiel fixe $\mathcal{R}_0(O,x_0,y_0,z_0)$ est supposé galiléen, le référentiel $\mathcal{R}$ est lié à la sphère (voir la figure ci-dessous).

\includegraphics[width=8cm,angle=180]{PS/sphere_rotation}

\begin{enumerate}
 \item Montrer que le poids et la force d'inertie d'entraînement dérivent d'une énergie potentielle $\mathcal{E}_p$ que l'on exprimera en fonction de $z$ uniquement (et des constantes de l'exercice). On prendra l'origine des énergies potentielles en $z=0$.
 \item Que peut-on dire, dans le référentiel tournant $\mathcal{R}$, du travail de la réaction du support et du travail de la force d'inertie de Coriolis ?
 \item On pose $\zeta=\f{z}{a}$ et $\alpha=\left(\f{\omega_0}{\Omega}\right)^2$, avec $\omega_0=\sqrt{\f{g}{a}}$. Exprimer $\mathcal{E}_p$ en fonction de $\zeta$, $\alpha$, $m$, $\Omega$ et $a$. Tracer la courbe $\mathcal{E}_p(\zeta)$ et discuter qualitativement des différents mouvements possibles de $M$ suivant la valeur de son énergie mécanique totale $\mathcal{E}_M$ (dans le référentiel $\mathcal{R}$). On prendra $\Omega=\f{5\omega_0}{3}$.
 \item Pour quelle valeur de $\mathcal{E}_M$ le point évolue-t-il dans un plan horizontal ? Quelle est la valeur de $z$ correspondante ?
\end{enumerate}



}

\correction{
\begin{enumerate}
 \item Les $E_p$ sont :
		\centers{$E_{pp}=-mgz+Cte $ et $E_{pie}=-m\omega^2\f{r^2}{2}+Cste2$}

$r$ étant la distance à l'axe. Avec le théorème de Pythagore, on exprime $r$ en fonction de $z$ :

		\centers{$E_{pp}=-mgz+Cte $ et $E_{pie}=-m\omega^2\f{a^2-z^2}{2}+Cste2$}

		Soit :

        \centers{$E_{p}=-mgz-m\omega^2\f{a^2-z^2}{2}+Cste3$}

Comme on impose $E_p(0)=0$ alors :

			\centers{$E_{p}=-mgz+m\Omega^2\f{z^2}{2}$}
 \item Il n'y a pas de frottements solide, la réaction ne travaille pas. La force de Coriolis est orthogonal à la vitesse, donc elle ne travaille pas non plus.
 \item On obtient :
		\centers{$E_p=\inv{2}m\Omega^2a^2\left(\left(\f{z}{a}\right)^2-2\f{g}{a\Omega^2}\f{z}{a}\right)  $}
		\centers{$E_p=\inv{2}m\Omega^2a^2(\zeta^2-2\alpha\zeta) $}

Si $E_M<0$ alors la bille oscille dans le bol entre deux plans placés en $z_{min}$ et en $z_{max}$.

Si $E_M>0$, la bille sort du bol.

La courbe admet un min en $\zeta=\alpha$ : si $E_m=E_{pmin}$, alors mouvement circulaire dans le plan associé).

\begin{center}
 \includegraphics[width=8cm]{PS/sphere_tourne}
\end{center}



\end{enumerate}




}