%title: \ofg{Un peu plus à l'Est !}

\exercice{
\begin{minipage}{\complete{8}}
 Un pendule simple de longueur $\ell$ ert de masse $m$ est suspendu à un point $A$ lié à un chariot et on repère son mouvement par l'angle $\theta$. Le chariot et le pendule étant initialement au repos, on communique à partir de l'instant $t=0$ une accélération $a\vux$ constante au chariot. Le fil est supposé tendu.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8 cm}
\begin{center}
 \includegraphics[width=4 cm]{PS/chariot}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
  \item Le chariot étant immobile, déterminer le mouvement du pendule, lâché à vitesse nulle d'un angle $\theta_0$ petit. Quel doit être la longueur du pendule pour qu'il batte la seconde ?
 \item Quel est l'angle que forme le pendule avec la verticale lorsque le véhicule est en accélération constante ?
 \item Le pendule oscille dans le véhicule en mouvement. Déterminer une intégrale première du mouvement (équation qui ne fait intervenir que les variables de position et leur dérivée première).
 \item En déduire la valeur de $\f{a}{g}$ telle que $\theta(t)$ oscille entre $0$ et $\theta=\f{\pi}{2}$
\end{enumerate}



}

\correction{
\begin{enumerate}
 \item Étude classique faite en sup. À traiter avec la conservation de l'énergie ou avec la loi du moment cinétique.
 
  On obtient l'équation différentielle suivante :
  
		  \centers{$\ddot{\theta}+\f{g}{\ell}\sin \theta = 0 $}
		  
		  
		  La période est donc  :
		  
		  \centers{$T=2\pi\sqrt{\f{\ell}{g}}$ soit : $\ell=\f{T^2}{4\pi ^2}g$ }
		  
		  
		  On en déduit :
		  
A.N. : \underline{$\ell=0,25\U{m}$}
\item  Soit $\theta_0$ cet angle à l'équilibre :

		\encadre{$\tan(\theta_0)=\f{a}{g}$}
		
Pour le trouver rapidement, il suffit de faire le schéma du système avec les forces qui s'appliquent sur la masse.

 
 \item Dans le référentiel non galiléen lié au chariot, la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle (elle est constante, analogie avec le poids).
 
	      \centers{$E_{pie}=max=ma\ell\sin \theta$ et $E_{pp}=mgz=mg\ell(1-\cos(\theta))$ (origine des $E_{pp}$ au point bas)}
	      
	      \centers{$\inv{2}m\ell^2\dot{\theta}^2+mgl(1-\cos(\theta))+ma\ell\sin \theta=Cte $}
	      
	      
 
\end{enumerate}


}