%title:  Transport express \textmusicalnote

\exercice{
Une caisse assimilée à un point matériel de masse $m$ est posée sur la plate-forme horizontale d'un camion initialement au repos dans le référentiel terrestre $(R)=(Oxyz)$ supposée galiléen. Le champ de pesanteur est supposé uniforme. Le \coefficient caisse/camion est noté $f$.

À partir de l'instant $t=0$ le camion accélère uniformément avec $\vect{a}=a_0\vux$ avec $a_0$ une constante positive. On note :

	\centers{$\vect{R}=\overline{T}\vux+\overline{N}\vuz$}
\begin{enumerate}
 \item On suppose que la caisse ne glisse pas sur la plate-forme.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $\overline{T}$ et $\overline{N}$. En déduire une condition sur $a_0$, $f$ et $g$ pour valider cette situation.
  \item Exprimer l'énergie cinétique de la caisse dans le référentiel absolu. D'où provient-elle ?
 \end{enumerate}
  \item On suppose que la caisse glisse sur la plate-forme avec une vitesse parallèle à $-\vux$
  \begin{enumerate}
   \item Déterminer la vitesse de la caisse dans le référentiel du camion et en déduire une condition sur $a_0$, f et g pour valider cette situation.
   \item Exprimer dans le référentiel absolu la puissance $\mathcal{P}_{1\rightarrow 2}$ des actions exercées par le camion sur la caisse, la puissance $\mathcal{P}_{2\rightarrow 1}$ des actions exercées par la caisse sur le camion et leur somme. Commenter.
  \end{enumerate}

\end{enumerate}

}

\correction{

\begin{enumerate}
 \item Plaçons-nous dans le référentiel lié au camion. Le système étudié est la caisse.
 
 \begin{enumerate}
  \item Bilan des forces :
 
 \begin{itemize}
  \item La réaction du camion,
  \item Le poids de la caisse,
  \item La force d'inertie d'entraînement : $-ma_0\vux$.
 \end{itemize}

 D'après la relation fondamentale de la dynamique (RFD) :
 
 \centers{$-m\vect{a}_0+ \overline{T}\vux+\overline{N}\vuz-mg\vuz=\vect{0} $}

 On en déduit : \centers{$\overline{T}=ma_0$ et $\overline{N}=mg$}
 
 Comme la caisse ne glisse pas, d'après les lois de Coulomb :
 
		\centers{$\mid \overline{T} \mid \leqslant f\mid \overline{N} \mid$}
		\centers{$a_0\leqslant fg $}

 \item Dans le référentiel lié au sol la caisse se déplace avec l'accélération $a_0$ donc :
 
	\centers{$v=a_0 t$ et $E_c=\inv{2}m a_0^2 t^2$}

	Cette énergie cinétique provient du travail de la force de frottement entre la caisse et le camion, en effet :
	
	La distance parcourue durant $t$ est $L=\inv{2}a_0t^2$. Le travail de la force de frottement est alors :
	\centers{$W=ma_0 \times \inv{2}a_0 t^2=E_c$ }
	
		\end{enumerate}
	\item Dans le cas où la caisse glisse avec une vitesse selon $-\vux$ : En notant $\vect{a}_{c/c}$, l'accélération de la caisse par rapport au camion, la RFD s'écrit :
	
\begin{enumerate}
 \item 
	\centers{$-m\vect{a}_0+ \overline{T}\vux+\overline{N}\vuz-mg\vuz=m\vect{a}_{c/c}$}
	
	On en déduit : $\overline{N}=mg$ et comme le système glisse : 
	$\mid \overline{T} \mid=fmg$
	
	Comme la vitesse relative de glissement est vers l'arrière, la force de frottement est vers l'avant : $\overline{T} =fmg$.
	
	On en déduit l'accélération de la caisse :
	
	    \centers{$a_{c/c}=fg-a_0$}
	    
	    La vitesse de la caisse dans le référentiel lié au camion est alors :
	    
	    \centers{$v=(fg-a_0)t$ comme le glissement se fait vers l'arrière : $fg<a_0$}

	    Ce qui est cohérent avec la question $1$
	    
	    
	    \item La vitesse dans le référentiel absolu est donnée par :
	    \centers{$\vect{v}=\vect{v}_e+\vect{v}_{c/c}$, $\vect{v}_e$ vitesse d'entraînement}
	    \centers{$\vect{v}_e=a_0 t\vux$}
	    \centers{$v=a_0t+fgt-a_0t=fgt >0  $}
	    
	    La caisse glisse vers l'arrière du camion mais avance par rapport à la route, ce qui semble cohérent.
	    
	    On a alors :
	    
	    \centers{$\mathcal{P}_{1\rightarrow 2}=\vect{T}.\vect{v}=f^2mg^2t>0$}
	    
	    La force de frottement apparaît alors comme motrice.
	    
	    \centers{$\mathcal{P}_{2\rightarrow 1}=-\vect{T}.a_0 t \vux=-fmg a_0 t<0$}
	    
	    La force de frottement exercée par la caisse sur le camion apparaît alors comme résitante.
	    
	    Si on fait le bilan des $2$ :
	    
	    \centers{$\mathcal{P}_{1\rightarrow 2}+\mathcal{P}_{2\rightarrow 1}=fmg(fg-a_0)<0$}
	    \end{enumerate}
	    
	    Globalement les actions de frottement sont résistantes, résultat qui est général. 
	    
	    
\end{enumerate}


}