%title:  Décollage d'une masse d'un plateau \textmusicalnote\textmusicalnote\textmusicalnote

\exercice{

\begin{minipage}{8cm}
Deux masses $m_1$ et $m_2$, reliées par un ressort idéal de raideur $k$ et de longueur à vide $\ell_0$, sont disposées verticalement sur un plateau horizontal.

L'ensemble est initialement immobile dans le référentiel terrestre galiléen. Le plateau est alors accéléré uniformément à $\vect{a}_0=a_0\vuz$ ($a_0$ algébrique) par rapport au sol.

Déterminer les valeurs de $a_0$ permettant un décollement de la masse $m_2$ du plateau.
\end{minipage}
\begin{minipage}{\complete{8}}
 \begin{center}
 \includegraphics[width=8cm]{PS/plateau_masses}
\end{center}
\end{minipage}




}

\correction{
Étudions tout d'abord la masse $m_2$ dans le référentiel associé au plateau :

\begin{center}
 \includegraphics[width=8cm]{PS/plateau_massescor}
\end{center}

D'après la relation fondamentale de la dynamique :


	  \centers{$\vect{R}+\vect{P}+\vect{F}_{ie}+\vect{T_2}=\vect{0}$}
	  
	  \centers{$\vect{R}=m_2g\vuz+m_2a_0\vuz-k(\ell-\ell_0)\vuz$}
	  
Il reste la longueur du ressort qui est inconnnue pour cela, étudions la masse $m_1$ dans le même référentiel :

En appliquant de nouveau la relation fondamentale :

	  \centers{$-k(\ell-\ell_0)\vuz-m_1g\vuz-m_1a_0\vuz=m_1\ddot{\ell}\vuz$}
	  \centers{$\ddot{\ell}+\f{k}{m_1}\ell=\f{k \ell_0}{m_1}-m_1(g+a_0)$}
	  
	  On en déduit :
	  
	  \centers{$\ell(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)+\ell_0-\f{m_1(g+a_0)}{k}$}
	  
	  Avec les conditions initiales :
	  
	  \centers{$v(0)=0$ et $\ell(0)=\ell_0-\f{m_1g}{k}$}
	  
	  On en déduit :
	  \centers{$B=0$ et $A=\f{m_1a_0}{k}$}
	  
	  \encadre{$\ell(t)=\f{m_1 a_0}{k}\cos(\omega_0 t)+\ell_0-\f{m_1(a_0+g)}{k}$}
	  
	  
	  Ce qui permet d'avoir l'expression de la réaction au cours du temps :
	  
	  \centers{$R_z= m_2g+m_2a_0-m_1 a_0\cos(\omega_0 t)+m_1(a_0+g)$}
	  \centers{$R_z= (m_1+m_2)g+m_2a_0+m_1 a_0(1-\cos(\omega_0 t))$}
	  
	  Pour être sûr que le système décroche il faut que la plus grande valeur de $R_z$ reste négative :
	  
	  \centers{$(m_1+m_2)g+m_2a_0+2m_1 a_0 <0 $}
	  
	  Soit :
	  \centers{$a_0<-\f{(m_1+m_2)g}{(m_2+2m_1)} $}
	  

}