%title:  Champ quadrupolaire \textmusicalnote

\exercice{
Calculer le premier terme non nul du potentiel créé à grande distance par la distribution représentée ci dessous :

\begin{center}
 \includegraphics[width=8cm]{PS/quadrupole}
\end{center}

En déduire le champ $\vectE$.

}

\correction{
		\centers{$V(r)=\f{q}{4\pi \epsilon_0 r}\left(2-\left(1+\f{d}{r}\cos \theta+\f{d^2}{4r^2}\right)^\f{-1}{2}-\left(1-\f{d}{r}\cos\theta+\f{d^2}{4r^2}\right)^\f{-1}{2}\right  $}
		\centers{$V(r)= \f{q}{4\pi \epsilon_0 r}\left(2-\left(1-\f{d}{2r}\cos\theta-\f{d^2}{8r^2}+\f{3d^2}{8r^2}\cos^2\theta\right)-\left(1+\f{d}{2r}\cos\theta-\f{d^2}{8r^2+\f{3d^2}{8r^2}\cos^2\theta}\right)\right)$}
		\encadre{$V(r)\approx \f{qd^2}{4\pi \epsilon_0r^3}\f{1-3\cos^2\theta}{8}$}
		
On en déduit le champ électrique :

		\centers{$\vectE=-\grad V $}
		\centers{$\vectE=-\Dp{V}{r}\vur-\inv{r}\Dp{V}{\theta}$}
		\encadre{$\vectE=\f{3qd^2}{4\pi \epsilon_0r^4}\f{1-3\cos^2\theta}{8}\vur-\f{qd^2}{4\pi \epsilon_0r^4}\f{3\sin(2\theta)}{8}  $}
}