%title: Limite de Roche \textmusicalnote \textmusicalnote  \textmusicalnote

\exercice{
Remarque : lire l'annexe sur les marées afin de pouvoir traiter plus facilement cet exercice.

La comète Shoemaker-Lévy $9$ est passée en juillet $1992$
suffisamment près de Jupiter pour se fragmenter en morceaux à
cause des \ofg{forces de marées} dues à Jupiter.

On propose de déterminer par un modèle simple la distance en
dessous de laquelle la comète se disloque.

Hypothèses : Jupiter, de centre $J$ est sphérique, homogène de rayon $R_J=71400\U{km}$, de masse $M_J=1,91.10^{27}\U{kg}$ et de masse volumique
$\mu_J$. La comète, de centre $C$ est sphérique et homogène, de rayon $R_C$, de
masse volumique $\mu_C=1,00.10^{3} \U{kg.m^{-3}}$. Le référentiel
Jupitérocentrique est considéré comme galiléen. La comète n'est
soumise qu'à l'action de Jupiter et est en orbite circulaire de
rayon $d$ (avec $R_C\ll d$).
\begin{enumerate}
 \item \'Ecrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée à
un petit volume élémentaire au bord de la comète, de masse $\delta m$, dans le
référentiel lié à la comète (cométocentrique). On considèrera le petit volume sur l'axe $CJ$.
  \item On suppose que la comète se disloque si le terme de marée
dépasse le champ gravitationnel propre de la comète. En se plaçant
à la périphérie de la comète pour comparer les deux termes,
déduire l'ordre de grandeur de la distance limite $d_{lim}$ à
laquelle la comète peut s'approcher de Jupiter sans risque.
\end{enumerate}
}

\correction{
Exercice difficile. Il faut ici comprendre que la comète étant grande, sa cohésion est assurée par les forces de graviation et non par les forces électromagnétiques (liaisons chimiques).
Elle se rompt donc si les forces de marées sont supérieures ou égale à la force gravitationnelle exercée par l'ensemble de la comète sur un petit bout ce celle-ci.

On étudie un petit bout de la comète dans le référentiel de la comète qui est non-galiléen (en translation circulaire).

Pour pouvoir faire cette étude, il faut déterminer la force d'entraînement donc l'accélération d'entraînement c'est à dire l'accélération de la comète.

Pour cela il faut donc étudier la comète dans le référentiel jupitérocentrique galiléen.

\begin{enumerate}
 \item Attention le référentiel cométocentrique est en translation. Il n'y a donc pas de force de Coriolis. On se place dans un cas simple où le centre de la comète $C$, le centre de Jupiter $J$ et la petite masse ($\delta m$), notre système sont alignés. On considère que la masse est entre $C$ et $J$.
 
 Bilan :\begin{itemize}
         \item  $\vectF_{ie}=-\delta m\vect{a}_e$, force d'inertie d'entraînement
         \item  $\vectF_J=\f{-G\delta m M_J}{(d-R_C)^2}\vur$, force exercée par Jupiter sur la petite masse (on prend la petite masse entre la comète et Jupiter).
	 \item $\vectF_C=\f{-G\delta m m_C}{R_C^2}\vur$, force exercée par la comète sur la petite masse
         
        \end{itemize}

	     
	  
 
 Dans le référentiel cométocentrique, le principe fondamentale de la dynamique d'écrit :
 
	  \centers{$-\delta m\vect{a}_e+ \f{-G\delta m M_J}{(d-R_C)^2}\vur+\f{-G\delta m m_C}{R_C^2}\vur=\delta m\vect{a}(\delta m)$}

Déterminons l'accélération d'entraînement en étudiant la comète sur son orbite.

L'accélération d'entraînement est l'accélération du point coïncident, comme le référentiel cométocentrique est en translation, il s'agit aussi de l'accélération de $C$ dans le référentiel jupitérocentrique galiléen.

	\centers{$\vect{a}_e=\vect{a}_{Jup}(C)=-\f{G m_J}{d^2}\vur$}
	
	On en déduit :
	
	\centers{$\left(\f{Gm_J}{d^2} -\f{Gm_J}{(d-R_C)^2}\right)\vur-\f{Gm_C}{R_C^2}\vur=\vect{a}(\delta m)$}

\item	Comme dans l'annexe du cours, on effectue un DL des deux premiers termes qui correspondent au terme de marées.

	À la limite de la rupture de la comète, l'accélération de la petite masse est nulle et les deux termes se compensent.
	
	\centers{$\f{2Gm_J}{d^3}R_C=\f{Gm_C}{R_C^2}$}
	
	  

	  
	  \encadre{$d_{lim}=\sqrt[3]{\f{2\mu_J}{\mu_C}}R_J$}
	
	Application numérique :
	
	
	\encadre{$d_{\text{lim}}=94 000\U{km}$}
\end{enumerate}






}