> <\body> > Définition d'une valeur propre, d'un vecteur propre pour un endomorphisme d'un >-espace vectoriel . |<\answer*> \\> est appelé valeur propre de si et seulement si il existe E> non nul tel que =\\x>. On dit alors de qu'il est un vecteur propre de associé à la valeur propre >. En d'autres termes, > est une valeur propre de si et seulement si \Id|)>\|}>> si et seulement si \Id> n'est pas injectif. > Soit L>> et \\>. Qu'appelle-t-on espace propre de associé à > ? |<\answer*> L'ensemble >=Ker\Id|)>> qui forme un sous-espace vectoriel de . > Que dire des espaces propres de deux endomorphismes et qui commutent ? |<\answer*> Les espaces propres de sont stables par et réciproquement. (En effet, si =\\x>, alors |)>=\\v> tandis que |)>=v|)>> et donc \E>> et on a établi ici que >|)>\E>>. > Soit un endomorphisme de , et soient ,\,x> des vecteurs propres de associés à des valeurs propres ,\,\> deux à deux distinctes. Que dire de la famille ,\,x|)>> ? |<\answer*> Elle est libre. > Soit un endomorphisme de et soit ,\,\|)>> des valeurs propres deux à deux distinctes de . Que dire des espaces propres associés ? |<\answer*> Ils sont en somme directe. > Soit un endomorphisme d'un >-espace vectoriel de dimension finie. Qu'appelle-t-on spectre de ? |<\answer*> L'ensemble > des valeurs propres de . On le sait fini, de cardinal au plus égal à la dimension de . > Définition, caractérisations, d'une valeur propre \\> d'une matrice M

|)>>, puis de son espace propre associé. |<\answer*> > est une valeur propre de si et seulement si (les conditions suivantes sont équivalentes) <\itemize> Il existe M

|)>> non nul tel que \X>

\I|)>\>

\I> n'est pas inversible > est une racine du polynôme caractéristique =detI-A|)>> de . L'espace propre de associé à > est alors >=Ker\I|)>>. > Enoncer le théorème de Cayley-Hamilton |<\answer*> Soit un endomorphisme de de dimension finie, alors > (le polynôme caractéristique de ) est un polynôme annulateur de . S'applique aussi bien sûr aux matrices carrées : si M

|)>>, alors =0>. > Soit un >-espace vectoriel de dimension finie et soit un projecteur de . est-il diagonalisable ? |<\answer*> Oui ! On sait que dans une base de adaptée à la décomposition \Ker>, alors la matrice de est diagonale avec des puis des sur la diagonale. ( admet donc, en général, deux valeurs propres : d'espace propre associé > et d'espace propre associé >) > Soit M

|)>> de polynôme caractéristique scindé et de racines (non supposées à distinctes ,\,\>). Exprimer en fonction de la somme et le produit des >. |<\answer*> \=Tr> (qui est aussi l'opposé du coefficient selon > de >) et \=det> (qui est aussi, au signe près, > : =*det=

|)>>.) > Soit un endomorphisme d'un >-espace vectoriel de dimension finie et soit > une valeur propre de . Qu'appelle-t-on ordre de multiplicité de > ? |<\answer*> L'ordre de multiplicité |)>> de > en tant que racine du polynôme caractéristique > de . ATTENTION : ce n'est pas alors forcément la dimension de l'espace propre associé à > dont on peut seulement dire : dim E>\m|)>>.\ > Soit un >-espace vectoriel de dimension finie et soit une symétrie vectorielle de . est-elle diagonalisable ? |<\answer*> Oui ! En notant l'axe de et sa direction, on sait que tout élément de est invariant par et tout élément G> a pour image par et ainsi, dans une base de adaptée à la décomposition G> (formée de la réunion d'une base de et d'une base de ) alors la matrice de est diagonale avec sur la diagonale des puis des . admet ainsi, en général, deux valeurs propres : d'espace propre associé l'axe de , et d'espace propre associé la direction de . > <\folded> <\question> Soit M

|)>> et soit > une valeur propre de . Qu'appelle-t-on ordre de multiplicité de > ? L'ordre de multiplicité |)>> de > en tant que racine du polynôme caractéristique > de . ATTENTION : de la dimension de l'espace propre de associé à >, on ne connaît a priori que les inégalités : dim>|)>\m|)>>. > Soit un endomorphisme de un >-espace vectoriel de dimension finie, un polynôme annulateur de et > une valeur propre de . Que peut-on affirmer alors ? (Et quid de la réciproque ?) |<\answer*> On sait alors que > est une racine de , car en notant =a*X+\+a>, il vient étant donné 0> un vecteur propre de associé à > : =a*f+\+a*f+a*x=*\+\+a*\+a|)>\x=P|)>\x=0> et ainsi |)>=0>. La réciproque est évidemment fausse, car par exemple le polynôme nul est un polynôme annulateur de , mais bien sûr toutes les racines de celui-ci (> tout entier) ne sont pas des valeurs propres de ! > <\folded|<\question> Soit un endomorphisme de un >-espace vectoriel de dimension finie. Enoncer des conditions nécessaires et suffisantes à ce que soit diagonalisable > <\answer*> est diagonalisable si et seulement si (les conditions suivantes sont équivalentes) : <\itemize> il existe une base ,\,e|)>> de formée de vecteurs propres de Si ,\,\> sont les valeurs propres (distinctes) de , alors >\\\E>> La somme des dimensions des espaces propres vaut la dimension de Il existe une base selon laquelle la matrice de est diagonale. Le polynôme caractéristique > est scindé dans > et si de plus, pour tout > racine de celui-ci, la dimension de l'espace propre associé est égale à la multiplicité |)>> de > en tant que racine de >. admet un polynôme annulateur scindé et à racines simples. Le polynôme \Sp>|)>> annule . ATTENTION : Le fait que > soit scindé à racines simples donne une condition suffisante à ce que soit diagonalisable, mais en aucun cas nécessaire. Soit M

|)>>. Enoncer des conditions nécessaires et suffisantes à ce que soit diagonalisable |<\answer*> est diagonalisable si et seulement si (les conditions suivantes sont équivalentes) : <\itemize> Il existe

|)>> et diagonale telles que > Si ,\,\> sont les valeurs propres (distinctes) de , alors =E>\\\E>> La somme des dimensions des espaces propres de vaut . Le polynôme caractéristique