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\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{-15mm}
\begin{center}
\textbf{Colle 4 : quinzaine du 10 au 23 novembre}
\end{center}


\noindent
\textbf{Fonctions d'une variable réelle :}\\
Généralités : domaine de définition, opérations sur les fonctions : somme, produit, quotient, composée. Parité, imparité, périodicité. Monotonie et stricte monotonie. Fonctions majorées, minorées, bornées. Extrema. Représentation graphique : obtention des courbes représentatives de $x\mapsto -f(x)$, $x\mapsto f(-x)$, $x\mapsto f(x+x_0)$, $x\mapsto f(\lambda x)$ ($\lambda>0$) à partir de la courbe représentative de $f$. \\
Dérivabilité : définition, dérivabilité et dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une composée. Lien avec la monotonie. (Tous ces résultats seront démontrés ultérieurement). Fonctions de classe $C^1$. Dérivées d'ordre supérieur.  \\

\noindent
\textbf{Fonctions usuelles :} 
Bijections : notion de bijection pour une fonction numérique, théorème de la bijection, et dérivabilité d'une réciproque (résultats admis). \\
Fonctions exponentielle, logarithme népérien, logarithme décimal et logarithme de base 2, fonctions puissances d'exposant réel, croissance comparée. Les fonctions puissances sont définies sur $\R^{+\ast}$ et prolongées en $0$ le cas échéant. Seules les fonctions puissances entières sont en outre définies sur $\R^{-\ast}$. \\

\noindent
\textbf{Questions de cours :}
\begin{enumerate}
\item Définir la notion de fonction paire, impaire, périodique.
\item \'Enoncer la propriété de dérivabilité d'une fonction composée, et la formule de sa dérivée.
\item Caractériser les fonctions constantes, croissantes parmi les fonctions dérivables sur un intervalle. Donner une condition suffisante pour qu'une fonction dérivable sur un intervalle soit strictement croissante.
\item Définir la notion de fonction de classe $C^1$.
\item \'Enoncer le théorème de la bijection.
\item \'Enoncer le théorème de dérivabilité des fonctions réciproques.
\item Donner les limites usuelles 
\begin{align*}
& \lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} && \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} && \lim_{x\to 0} x\ln(x) && \lim_{x\to 0} \frac{\euler^x-1}{x} && \lim_{x\to +\infty} \frac{\euler^x}{x} && \lim_{x\to -\infty} x\euler^x 
\end{align*}
\item Définir la notion de puissance réelle.
\item \'Enoncer le théorème des croissances comparées.
\item \'Enoncer les trois inégalités classiques à connaître portant sur les fonctions exponentielle, logarithme népérien et sinus.
\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Savoir-faire}
\begin{enumerate}
\item Utiliser la notion de dérivabilité en un point et du nombre dérivé pour calculer une limite. \\
Exemple : calcul des limites $\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}$ et $\lim_{x\to 0} \frac{\euler^x-1}{x} $.
\item Transformer une expression du type $a\cos(x)+b\sin(x)$ (donnée par le colleur) en une expression du type $A\cos(x-\phi)$. Indiquer les transformations géométriques permettant d'obtenir la courbe représentative de cette fonction sinusoïdale à partir de celle de la fonction cosinus. 
\item Donner le domaine de définition et de dérivabilité d'une fonction donnée par le colleur. Calculer sa fonction dérivée.
\item Soit $f$ une fonction numérique définie sur une partie $D$ de $\R$. \'Enoncer la définition puis la négation d'une ou plusieurs des assertions suivantes, au choix du colleur : \\
1) $f$ est  croissante, 2)  $f$ est  majorée, 3)  $f$ est  bornée, 
4)  $f$ est  paire, 5)  $f$ est  périodique.
\end{enumerate}

\trait
\vspace{5mm}
\textbf{La colle débutera par une question de cours ET un savoir-faire ET une question de cours ou un savoir-faire d'un des programmes précédents.}

\end{document}