\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\input{macros}
\lhead{PCSI1}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{-15mm}
\begin{center}
\textbf{Colle 5 : quinzaine du 24 novembre au 7 décembre}
\end{center}



\noindent
\textbf{Fonctions usuelles :} 
Fonctions hyperboliques : cosinus et sinus hyperboliques. Formule de trigonométrie hyperbolique : $\ch^2-\sh^2=1$. \\
Fonctions circulaires réciproques. \\

\noindent
\textbf{Nombres complexes :} Racines $n$-ièmes de l'unité. Racines $n$-ième d'un complexe non nul. Recherche des racines carrées sous forme algébrique. Résolution d'une équation du second degré, relations coefficients-racines. Factorisation par $z-a$ d'une fonction polynomiale $P$ admettant $a$ pour racine. \\

\noindent
\textbf{Questions de cours :}
\begin{enumerate}
\item Fonction tangente : définition, domaine de définition, expressions de la dérivée, représentation graphique.
\item Définir les fonctions cosinus et sinus hyperboliques, donner leur dérivée, tracer leur courbe représentative et énoncer la formule de trigonométrie hyperbolique.
\item Définir la fonction arcsinus, donner son domaine de dérivabilité et l'expression de sa dérivée, tracer sa courbe représentative.
\item Définir la fonction arccosinus, donner son domaine de dérivabilité et l'expression de sa dérivée, tracer sa courbe représentative.
\item Définir la fonction arctangente, donner son domaine de dérivabilité et l'expression de sa dérivée, tracer sa courbe représentative.
\item \'Enoncer les relations coefficients-racines pour une équation du second degré.
\item Pour tout $n\in \N^\ast$, définir la notion de racine $n$-ième de l'unité, puis en donner la liste.
\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Savoir-faire}
\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression $\cos(\Arcsin(x))$ pour tout $x\in [-1;1]$.
\item Montrer que $\Arctan(x)+\Arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}$ pour tout $x>0$. Méthode au choix du colleur : par une étude de fonction, ou par le calcul de $\tan(\frac{\pi}{2}-\Arctan(x))$.
\item Déterminer une racine carrée sous forme algébrique ou trigonométrique (au choix du colleur) d'un complexe donné par le colleur.
\item Déterminer l'ensemble des racines $n$-ième d'un complexe non nul ($n$ et le complexe étant choisis par le colleur).
\item Calculer la somme et le produit des racines $n$-ème de l'unité pour $n\grand 2$.
\item Factoriser par $z-a$ une fonction polynomiale admettant $a$ pour racine.
\end{enumerate}

\trait
\vspace{5mm}
\textbf{La colle débutera par une question de cours ET un savoir-faire ET une question de cours ou un savoir-faire d'un des programmes précédents.}

\end{document}