\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\vspace*{-10ex}
\begin{center}
\textbf{Colle 6 : quinzaine du 8 au 21 décembre}
\end{center}

\noindent
\textbf{Calcul de primitives : } pour des fonctions à valeurs réelles ou complexes. \\
Notion de primitives. Primitives usuelles . Primitives des fonctions du type $x\mapsto \euler^{ax}\cos(bx)$, $x\mapsto \euler^{ax}\sin(bx)$, $x\mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$. \\
Lien entre intégrale et primitive : théorème fondamental du calcul différentiel. Intégration par parties et changement de variable. On ne demande plus de rappeler les hypothèses de régularité pour les applications pratiques. \\

\noindent
\textbf{\'Equations différentielles linéaires :} 
\begin{itemize}
\item d'ordre 1 : $y'+a(x)y=f(x)$, avec $a,f$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ (à valeurs dans $\R$ ou $\C$). Principe de superposition. Résolution de l'équation homogène associée. Structure de l'ensemble des solutions de l'équation complète. Méthode de variation de la constante. Problème de Cauchy. 
\item d'ordre 2 : $ay''+by'+cy=f(x)$, avec $a,b,c$ des réels ou complexes ($a\neq 0$), et $f$ une fonction continue. Principe de superposition. Résolution de l'équation homogène associée. Structure de l'ensemble des solutions de l'équation complète. Recherche d'une solution particulière lorsque $f$ est une fonction polynomiale, ou du type $x\mapsto A\euler^{\lambda x}$ (avec $A,\lambda\in \C$), ou du type $x\mapsto B\cos(\omega x)$, $x\mapsto B\sin(\omega x)$ (avec $a,b,c,B,\omega$ réels). Problème de Cauchy. 
\end{itemize}

\noindent
\textbf{Question de cours :} 
\begin{enumerate}
\item \'Enoncer le théorème fondamental du calcul différentiel.
\item Décrire l'ensemble des solutions d'une équation différentielle du premier odre du type $y'+a(x)y=0$, où $a$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$, à valeurs réelles ou complexes.
\item Décrire l'ensemble des solutions à valeurs complexes d'une équation différentielle d'ordre 2 du type $$ay''+by'+cy=0$$ où $a,b,c\in \C$ avec $a\neq 0$.
\item Décrire l'ensemble des solutions à valeurs réelles d'une équation différentielle d'ordre 2 du type $$ay''+by'+cy=0$$ où $a,b,c\in \R$ avec $a\neq 0$.
\item Donner la définition d'un problème de Cauchy linéaire d'ordre 1 ou 2. Préciser combien de solutions il admet.
\item Donner la démarche permettant de trouver une solution particulière d'une équation différentielle d'ordre 2 à coefficients constants dont le second membre est du type polynomial, $A\euler^{\lambda x}$, $B\cos(\omega x)$ ou $B\sin(\omega x)$.
\end{enumerate}

\vspace{5mm}

\noindent
\textbf{Savoir-faire}
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive sur un intervalle $I$ d'une fonction du type $x\mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (intervalle et fonction donnés par le colleur).
\item Déterminer une primitive sur $\R$ d'une fonction du type $x\mapsto \euler^{\alpha x}\cos(\omega x)$ ou $x\mapsto \euler^{\alpha x}\sin(\omega x)$ (idem).
\item Effectuer une intégration par parties.
\item Effectuer un changement de variables donné par le colleur.
\item Résoudre une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants donnée par le colleur. 
\end{enumerate}

\trait
\vspace{5mm}
\textbf{La colle débutera par une question de cours ET un savoir-faire ET une question de cours ou un savoir-faire d'un des programmes précédents.}

\end{document}