\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{-12ex}
\begin{center}
\textbf{Colle 10 : quinzaine du 9 au 22 mars}
\end{center}

\noindent
\textbf{Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité}. Continuité sur un intervalle. Opérations. Théorèmes des valeurs intermédiaires, des bornes atteintes, de la bijection. \\
Extension aux fonctions à valeurs complexes. \\
Relations de comparaison : domination, négligeabilité, équivalence. Opérations. Propriétés conservées par équivalence : limite et signe. \'Equivalents usuels. Comparaison des infiniment grands et infiniment petits usuels au voisinage de 0 et $+\infty$.\ 

\noindent
\textbf{Polynômes :} Polynômes à coefficients dans $\K$, somme, produit, composée. Degré, coefficient dominant. Degré d'une somme et d'un produit. Fonction polynomiale associée à un polynôme. \\
Divisibilité dans $\K[X]$, division euclidienne. \\
Dérivation dans $\K[X]$ : dérivation formelle, linéarité, dérivée d'un produit, dérivée $k$-ième, formule de Taylor.\\
Racine d'un polynôme. Caractérisation en termes de divisibilité. Multiplicité, caractérisation par les dérivées successives. Polynôme scindé sur $\K$, relations coefficients-racines (ne concernent que la somme et le produit). \\
Polynômes irréductibles. Théorème de D'Alembert-Gauss. Polynômes irréductibles de $\C[X]$, de $\R[X]$ et décomposition en facteurs irréductibles dans $\C[X]$ et dans $\R[X]$. \\
Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle à pôles simples. \\

\noindent
\textbf{A - Questions de cours :}
\begin{enumerate}
\item \'Enoncer le théorème de la limite monotone.
\item \'Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires (première version), et le théorème des bornes atteintes.
\item Donner les équivalents usuels faisant intervenir les fonctions $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sh$, $\ch$, $\exp$, $\ln$ et les fonctions puissances.
\item Soit $P,Q$ deux polynômes à coefficients dans $\K$. Que peut-on dire du degré des polynômes $P+Q$ et $PQ$ en fonction des degrés des polynômes $P$ et $Q$ ? Donner une condition suffisante pour avoir l'égalité pour le degré de $P+Q$.
\item \'Enoncer le théorème de la division euclidienne dans $\K[X]$.
\item \'Enoncer la caractérisation des racines en terme de divisibilité.
\item Définir la notion de racine multiple. \'Enoncer la caractérisation de la multiplicité en fonction des polynômes dérivés successifs.
\item Que peut-on dire du nombre de racines complexes d'un polynôme non nul ? En déduire une méthode pour prouver qu'un polynôme est nul.
\item \'Enoncer la formule de Taylor et la formule de Leibniz.
\item \'Enoncer le théorème de D'Alembert-Gauss. 
\item  Donner les polynômes irréductibles de $\C[X]$, et les polynômes irréductibles de $\R[X]$.
\item Définir la notion de polynôme scindé sur $\K$. \'Enoncer les relations liant les coefficients d'un polynôme scindé avec la somme et le produit de ses racines.
\end{enumerate}


\noindent
\textbf{B - Savoir-faire}
\begin{enumerate}
\item Effectuer la division euclidienne de deux polynômes donnés par le colleur.
\item Utiliser la méthode de Hörner pour évaluer un polynôme donné en une valeur explicite.
\item Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $\K$ et $a$ un élément de $\K$. Montrer que $P$ a pour reste $P(a)$ dans la division euclidienne par $X-a$.
\item Déterminer la somme et le produit des racines $n$-ièmes de l'unité.
\item Donner la factorisation en produit de polynômes irréductibles et unitaires dans $\C[X]$ puis dans $\R[X]$ d'un polynôme du type $aX^n+b$ donné par le colleur.
\item Effectuer la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle donnée par le colleur.
\end{enumerate}

\noindent
\textbf{C - une question de cours ou un savoir-faire d'un des programmes précédents}


\end{document}