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\lhead{PCSI 1}

\begin{document}

\vspace*{-10ex}
\begin{center}
\textbf{Colle 12 : semaines du 6 au12 avril et du 27 avril au 3 mai}
\end{center}

\noindent
\textbf{Espaces vectoriels :} Structure de $\K$-espace vectoriel. Exemples de références : $\K^n$, $\K[X]$, $\K^{\Omega}$, $\mathscr{M}_{n,p}(\K)$. \\
Sous-espaces vectoriels, caractérisation. Sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs. \\
Intersection de sous-espaces vectoriels. Somme de sous-espaces vectoriels. Somme directe. Caractérisation par l'intersection. Sous-espaces vectoriels supplémentaires. \\

\noindent
\textbf{Applications linéaires :} applications linéaires, endomorphismes. Opération : combinaison linéaire et composée. Image directe d'un sous-espace vectoriel. Image et noyau. Caractérisation de l'injectivité. \\
Endomorphismes remarquables : homothéties, projecteurs et symétries ; caractérisation des projecteurs et des symétries. 
Structure de l'ensemble des solutions d'une équation linéaire. \\

\noindent
\textbf{A - Questions de cours :}
\begin{enumerate}
\item \'Enoncer la caractérisation de la notion de sous-espace vectoriel d'un $\K$-espace vectoriel $E$.
\item Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et $e_1,\ldots, e_p$ des vecteurs de $E$. Définir le sous-espace vectoriel engendré par la famille $(e_1,\ldots,e_p)$. \'Enoncer sa caractérisation en terme de plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant les vecteur $e_1,\ldots,e_p$.
\item Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$. Définir la somme de $F$ et $G$. Quand dit-on que cette somme est directe ? Quand dit-on que $F$ et $G$ sont supplémentaires ?
\item Définir la notion d'application linéaire entre deux espaces vectoriels, ainsi que les notions d'endomorphisme, d'isomorphisme et d'automorphisme.
\item Soit $E,F$ deux $\K$-espaces vectoriels et $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Donner la définition du noyau et de l'image de $u$. 
\item Définir la notion d'équation linéaire. Donner la structure de l'ensemble de ses solutions.
\item Définir la notion de projecteur d'un $\K$-espace vectoriel $E$. Caractériser les projecteurs de $E$.
\item Définir la notion de symétrie d'un $\K$-espace vectoriel $E$. Caractériser les symétries de $E$.

\end{enumerate}

\noindent
\textbf{B - Savoir-faire}
\begin{enumerate}
\item Soit $u$ une application linéaire d'un espace vectoriel $E$ dans un espace vectoriel $F$. Montrer que $u(0_E)=0_F$. Prouver que $u$ est injective si et seulement si $\Ker(u)=\{0_E\}$.
\item Soit $u$ une application linéaire d'un espace vectoriel $E$ dans un espace vectoriel $F$. Montrer que $\Im(u)$ est un sous-espace vectoriel de $F$. 
\item Soit $u$ une application linéaire d'un espace vectoriel $E$ dans un espace vectoriel $F$. Montrer que $\Ker(u)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 
\item Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$. Montrer que $\Ker(u)\subset \Ker(u\circ u)$ et que $\Im(u\circ u)\subset \Im(u)$.
\item Décrire comme un sous-espace vectoriel engendré le noyau d'un endomorphisme de $\R^3$ donné par le colleur.
\item Déterminer un système d'équations cartésiennes de l'image d'un endomorphisme de $\R^3$ donné par le colleur.
\end{enumerate}

\noindent
\textbf{C - une question de cours ou un savoir-faire d'un des programmes précédents}

\end{document}