\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\lhead{PCSI 1}

\begin{document}

\vspace*{-10ex}
\begin{center}
\textbf{Colle 13 : semaine du 4 au 10 mai}
\end{center}

\noindent
\textbf{Ensembles finis et dénombrement :} Cardinal d'un ensemble fini, d'une partie d'un ensemble fini, cas d'égalité. Applications entre ensembles finis. Opérations sur les cardinaux : union disjointe, union quelconque, complémentaire, produit cartésien. Listes et combinaison. Si $E$ et $F$ sont deux ensembles finis, cardinal de $F^E$, de $\partie{E}$, nombre d'injections de $E$ dans $F$, nombre de permutations de $E$, nombre de parties à $p$ éléments de $E$. \\

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\textbf{Espaces vectoriels de dimension finie}\\
\textbf{Famille de vecteurs :} famille libre, famille liée, famille génératrice. Base, coordonnées d'un vecteur dans une base. Bases canoniques des espaces $\K^n$, $\K_n[X]$ et $\mathscr{M}_{n,p}(\K)$. Famille de $\K[X]$ de degrés échelonnés. \\
Base adaptée à une somme directe.  
Sous-espaces supplémentaires et concaténation des bases. \\
\noindent
\textbf{Espaces vectoriels de dimension finie}. Existence de base. Théorèmes de la base extraite et de la base incomplète. Lien entre le cardinal d'une famille libre et celui d'une famille génératrice. Dimension. Caractérisation des bases. 
Rang d'une famille de vecteurs. Caractérisation des familles libres par le rang. \\
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\textbf{Sous-espaces vectoriels en dimension finie :} dimension d'un sous-espace et cas d'égalité. Existence d'un supplémentaire. Caractérisation de la supplémentarité en dimension finie. Formule de Grassmann. \\


\noindent
\textbf{A - Questions de cours :}
\begin{enumerate}
\item Cardinal d'une union disjointe, d'une union quelconque, du complémentaire, d'un produit cartésien.
\item Que peut-on dire d'une application injective entre deux ensembles finis de même cardinal ? d'une application surjective ? 
\item Donner la définition d'une famille libre, d'une famille génératrice, et d'une base d'un $\K$-espace vectoriel.
\item \'Enoncer le théorème de la base incomplète et le théorème de la base extraite.
\item Définir la notion d'espace vectoriel de dimension finie, et la notion de dimension d'un tel espace vectoriel.
\item \'Enoncer la caractérisation des bases en dimension finie.
\item Définir la notion de rang d'une famille de vecteurs. \'Enoncer la caractérisation de la liberté d'une famille de vecteurs à l'aide du rang.
\item \'Enoncer la formule de Grassmann.
\item \'Enoncer 3 façons de montrer que deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie sont supplémentaires ; ces 3 façons doivent explicitement relever du cadre de la dimension finie.
\end{enumerate}

\noindent
\textbf{B - Savoir-faire}
\begin{enumerate}
\item Dénombrer le nombre d'applications entre deux ensembles finis $E$ et $F$, puis le nombre d'applications injectives entre deux ensembles finis $E$ et $F$.
\item Dénombrer le nombre de parties d'un ensemble fini $E$.
\item Démonstration combinatoire de la formule du triangle de Pascal.
\item Déterminer si une famille explicite de vecteurs de $\R^n$ ($n\petit 4$) est libre ou liée.
\item Soit $(e_1,\ldots,e_p)$ famille libre de vecteurs d'un espace vectoriel $E$ et $x$ un vecteur de $E$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_p,x)$ est libre si et seulement si $x\not\in \Vect(e_1,\ldots,e_p)$.
\item Mettre en \oe uvre le théorème de la base extraite sur une famille génératrice fournie par le colleur. 
\item Déterminer un supplémentaire dans $\R_3[X]$ d'un sous-espace vectoriel de $\R_3[X]$ donné par le colleur.
\item Déterminer si deux sous-espaces vectoriels de $\R^4$ donnés par équation et par le colleur sont supplémentaires.
\end{enumerate}

\noindent
\textbf{C - une question de cours ou un savoir-faire d'un des programmes précédents}

\end{document}