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\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{-15mm}
\begin{center}
\textbf{Colle 3 : semaine du 2 au 8 novembre}
\end{center}

\noindent
\textbf{Sommes et produits :} 
notation, manipulations élémentaires. Somme des $n$ premiers entiers, somme des termes d'une suite arithmétique, somme des termes d'une suite géométrique, somme des carrés des $n$ premiers entiers. Changement d'indices. Sommes télélescopiques. Sommes doubles.\\
Coefficients binomiaux, formule du triangle de Pascal, formule du binôme de Newton, et factorisation de $a^n-b^n$. \\

\noindent
\textbf{Nombres complexes : }
Parties réelle et imaginaire. Conjugaison. Module. Inégalités triangulaires.\\
Complexes de module 1.  Notation $e^{i\theta}$. Formules d'Euler et De Moivre. Factorisation de $\euler^{i\theta}\pm 1$ et de $\euler^{i\theta}\pm \euler^{i\alpha}$. \\
Linéarisation. Transformation de $\cos(kx)$ et $\sin(kx)$ en un polynôme en $\cos(x)$ et $\sin(x)$. \\
Argument d'un nombre complexe non nul. \'Ecriture trigonométrique.\\
Définition de l'exponentielle d'un nombre complexe. Module et argument. Propriétés. Résolution d'équations du type $e^z=a$. \\
Interpétation géométrique des module et arguments de $\frac{c-a}{b-a}$, des applications $z\mapsto az$ et $z\mapsto z+b$ pour $(a,b)\in \C^\ast\times \C$, et de la conjugaison. \\


\noindent
\textbf{Questions de cours :}
\begin{enumerate}
\item Donner la définition des coefficients binomiaux.  \'Enoncer la formule du triangle de Pascal. 
\item \'Enoncer la formule du binôme de Newton.
\item Pour $n\in \N$ et $a,b\in \C$, énoncer la formule de factorisation de $a^n-b^n$. Factoriser $a^3-b^3$ et $a^3+b^3$.
\item Pour $n\in \N$, donner la valeur des sommes usuelles $\sum\limits_{k=1}^n k$, $\sum\limits_{k=1}^n k^2$.
\item Pour $n\in \N$ et $a\in \C$,  donner la valeur de $\sum\limits_{k=0}^n a^k$.
\item Donner la définition du module et du conjugué  d'un nombre complexe. Donner l'expression du module à l'aide du conjugué.
\item \'Enoncer la première inégalité triangulaire et le cas d'égalité. \'Enoncer la deuxième inégalité triangulaire.
\item Définir $\euler^{i\theta}$ pour $\theta\in \R$. \'Enoncer les formules d'Euler et la formule de De Moivre.
\item \`A quelles conditions nécessaires et suffisantes deux complexes donnés sous forme algébrique sont-ils égaux ? et pour deux complexes non nuls donnés sous forme trigonométrique ?
\item \'Enoncer trois caractérisations (une portant sur la forme algébrique, une autre sur le conjugué, et une sur les arguments) pour qu'un complexe soit réel (respectivement imaginaire pur).
\item Définir $\euler^z$ pour $z\in \C$, donner son module et un de ses arguments.
\end{enumerate}

\hrule
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\noindent
\textbf{Savoir-faire}
\begin{enumerate}
\item Pour $k,n\in \N^\ast$ avec $1\petit k\petit n$, montrer que $k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$.
\item Réindexer une somme.
\item Mener une récurrence simple.
\item \'Ecrire un nombre complexe sous forme algébrique ou sous forme exponentielle. 
\item Retrouver les formules donnant $\cos(p)\pm \cos(q)$ ou $\sin(p)\pm \sin(q)$ à partir de la factorisation par l'angle moitié de $\euler^{ip}\pm\euler^{iq}$.
\item Linéariser un produit d'expressions trigonométriques.
\item Déterminer une expression de $\cos (nx)$ ou $\sin(nx)$ à l'aide de $\cos(x)$ et $\sin(x)$. 

Exemple : Soit $x\in\R$. Exprimer $\cos(5x)$ comme un polynôme en $\cos(x)$. 

\item Soit $n\in\N$. Soit $t\in\R$. Calculer $$\sum_{k=0}^n \cos(kt)\textrm{ et }\sum_{k=0}^n \sin(kt).$$


\item Résoudre une équation d'inconnue $z\in\C$ du type $e^z=a$, où $a\in\C$.

Exemple : Résoudre l'équation $e^z=-3-3i.$
\end{enumerate}

\trait
\vspace{5mm}
\textbf{La colle débutera par une question de cours ET un savoir-faire ET une question de cours ou un savoir-faire d'un des programmes précédents.}

\end{document}