\documentclass[11pt,a4paper]{article}

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\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Oral de physique Mines}}
\end{center}

{\bf Durée 50 minutes de passage, 15 minutes de préparation 2 exercices, seul le premier à dispo pendant la préparation, calculette interdite en prépa, lieu ENSTA}

{\bf Note espérée: 14 \ Note obtenue: }

\section*{Onde sonore dans un champ de pesanteur}
Exemple d'intégrale
$$\int_{-\infty}^{e^x} \overrightarrow{\sin}(\arctan(\sqrt{t})) \dd t  $$

On souhaite étudier l'influence du champ de pesanteur $$\vec g= -\overrightarrow{grad} (gz)$$ sur la propagation d'une onde sonore.

On note $\chi_S$ et $\chi_T$ les compressibilités respectivement isentropique et isotherme du fluide parcouru par l'onde sonore.

\begin{enumerate}

\item Écrire l'équation d'Euler et montrer que

\[
\chi_{S0}\frac{\partial p_1}{\partial t}
+\operatorname{div}\vec v
+\chi_{T0}\mu_0\,\vec g\cdot \vec v
=0.
\]

\item À quelle condition peut-on éliminer $\vec g$ des équations locales ?

\item On suppose que la condition précédente n'est pas remplie, par exemple pour une onde de très basse fréquence sur une planète où $\vec g$, supposé localement uniforme, est intense.

On suppose que

$$ c^2=\frac{1}{\mu_0\chi_{S0}} $$

et $$ \gamma=\frac{c_p}{c_v}$$

sont des constantes.

L'équation vérifiée par la surpression est alors

$$
\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}
=
c^2\Delta p
-\gamma\frac{g^2}{c^2}p.
$$

Déterminer la vitesse de phase, la vitesse de groupe et la pulsation de coupure.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Déroulement / Indications / Corrigé}

{Examinatrice mutique, qui semble dormir tout du long mais ne vous y trompez pas}

\begin{enumerate}

\item

Pour l'écoulement isentropique associé à l'onde sonore, la définition du coefficient de compressibilité isentropique donne

$$x=y\chi^2$$


\item blabla

En retranchant

\end{enumerate}

\end{document}