% Created 2025-09-18 jeu. 18:25
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\setcounter{secnumdepth}{3}
\date{}
\title{Semaine 3\\\medskip
\large Programme de colles}
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Chapitre 0 : Pratique calculatoire}
\label{sec:org5c22336}
\subsection*{Polynômes du second degré}
\label{sec:orge0513a0}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item Solutions d'un équation polynomiale de degré 2.
\item Forme canonique.
\item Factorisation.
\item Corollaire sur le signe d'un trinome.
\end{itemize}

\end{multicols}
\subsection*{Factoriser et développer}
\label{sec:orgef8bed4}

\begin{itemize}
\item \textbf{Identités remarquables}
\end{itemize}
\subsection*{Puissances}
\label{sec:orge8dfdd9}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item \textbf{Relations de base} (somme d'exposants, produit d'exposants, puissance d'un produit).
\item Inverse et puissances négatives.
\item Puissances et fractions.
\end{itemize}

\end{multicols}
\subsection*{Exponentielle et logarithme}
\label{sec:orgcc75aaf}

\begin{itemize}
\item Formules d'additions et de multiplication.
\item Caractère réciproque de l'exponentielle et logarithme ; application à la résolution d'équations.
\end{itemize}
\subsection*{Racines carrés}
\label{sec:orgc9da003}

\begin{itemize}
\item \textbf{Définition}\\
(Pour \(a \in \R^+\), \(\sqrt{a}\) est l'unique nombre positif dont le carré vaut \(a\)).
\item Réfléchir avant de donner la racine de \(a^2\).
\item Proposition sur les relations de base de la racine.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 1 : Logique}
\label{sec:orgb39b8cc}
\begin{itemize}
\item Propositions, prédicat.
\item Opérations sur les propositions : Et, Ou, Négation, Implication, Équivalence, Quantification universelle et existentielle, Unicité.
\item Contraposée.
\item Nier une propriété.
\item Méthodes de preuves : pour tout, il existe, implication, preuve par l'absurde, preuve d'unicité.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 2 : Géométrie (que pour le cours)}
\label{sec:org40980ca}
\begin{itemize}
\item Trigonométrie
\end{itemize}
\section*{Feuille 0 et 1 : Exercices cibles}
\label{sec:org10aa71b}
\begin{multicols}{2}
\setcounter{exo}{13}
\begin{exo}[Manipuler des puissances]
\label{puiss2}
Soit \(n\) un entier. Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\(A=2^n+2^n\),  \(B=2^n\times 2^n\),  \(C=(2^{2n-1}-2^n+1)(2^{2n-1}+2^n+1)\),  \(D=(-1)^{2n}\),  \(E=(-1)^{2n+1}\),  \(F=(-1)^{-6n+7}\).
\end{exo}

\setcounter{exo}{4}
\begin{exo}[Relations coefficient racine]
\label{coeff_racine}
Déterminer les nombres dont le produit fait \(6\) et la somme \(-5\).
\end{exo}

\setcounter{exo}{6}
\begin{exo}[Équivalences usuelles]
\label{equiv_usuel}
Soient \(x\) et \(y\) des réels. Compléter les équivalences suivantes :
\begin{enumerate}
\item \(xy=0 \; \Leftrightarrow\) \quad \quad \quad
\item \(xy>0 \; \Leftrightarrow\) \quad \quad \quad
\item Avec la démonstration propre : \\
\(x^2+y^2=0 \; \Leftrightarrow\) \quad \quad \quad
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{multicols}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:orga4afb05}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$} Récitation}
\label{sec:org1298add}
\begin{itemize}
\item Formules de trigonométrie, parmi : identité du cercle, \(\cos(a \pm b)\), \(\sin(a \pm b)\), \(\cos(2a)\), \(\sin(2a)\), \(\cos(-a)\), \(\sin(-a)\), \(\cos(a \pm \pi)\), \(\sin(a \pm \pi)\), \(\cos(a \pm \nicefrac \pi 2)\), \(\sin(a \pm \nicefrac \pi 2)\), \(\cdots{}\). \\
Et les valeurs particulières. \hfill \emph{(Chap. 2A Fiche)}

\item On considère la proposition \(\Pp: A \Rightarrow B\). Énoncer la \uline{négation} de l'implication \(\Pp\), la \uline{contraposée} de \(\Pp\) et la \uline{réciproque} de \(\Pp\). Appliquer dans chaque cas à l'implication "Si on est riche alors on est heureux". \emph{(Chap 1C section 1 et 2.2)}

\item Définition du cosinus d'un angle. \hfill \emph{(Chap. 2A)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$} Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:orgcdf18b0}
\begin{itemize}
\item Montrer \(\exists n \in \N, (n > 4) \wedge (n \leq 100) \wedge (1 + 2 + \cdots + n < 26)\)
\emph{(Chap.1B section 2.4)}

\item Exercice \cible \ref{equiv_usuel} feuille 1.

\item Soit \(x \in \R\) fixé. Montrer \((\cos(x) > \sin(x)) \Rightarrow \left(x \neq \dfrac{2\pi}{3}\right)\) par contraposée.
\emph{(Chap.1C section 1.4)}
\end{itemize}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:orgcd21f2c}
\begin{itemize}
\item Factorisation d'un polynôme \(P\) du second degré et étude du signe.

\item Manipulations de puissances.

\item Manipulations de puissances de \(2\) comme dans l'exercice \cible{} 15 feuille 0.

\item Déterminer deux nombres en connaissant leur somme et leur produit comme dans l'exercice \cible{} 5 feuille 0.

\item Résolution d'équations faisant intervenir l'exponentielle et le logarithme.

\item \methode Méthode : Prouver des propositions quantifiées ou des implications.

\item \methode Méthode : Nier une proposition.

\item \methode Méthode : Raisonner par l'absurde.

\item Sur le travail avec les implications, l'exercice type (en plus de l'exercice cible 7 feuille 1) est l'exercice 5 feuille 1.
\end{itemize}
\end{document}