% Created 2025-11-20 jeu. 18:38
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\setcounter{secnumdepth}{0}
\date{}
\title{Semaine 10\\\medskip
\large Programme de colles}
\hypersetup{
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:orgcfa04c3}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : limites et dérivées usuelles}
\label{sec:org347370e}
Toutes  les colles commencent par l'énoncé \uline{d'une limite} et \uline{d'une dérivée} :

\begin{itemize}
\item limite usuelles (limite des fonctions usuelles au bornes de leur domaine de définition),
\item ou taux d'accroissement usuel (\(\sin(x)/x,(\cos(x) - 1)/x,\ln(1+x)/x,(e^x - 1)/x\) et \((\cos(x) - 1)/x^2\)).
\item ou croissance comparée usuelle (ou généralisé) (\(\ln(x)/x\) en \(+\infty\), \(xe^{x}\) en \(-\infty\), \(e^x/x\) en \(+\infty\) et \(x\ln(x)\) en \(0\)).
\end{itemize}

et

\begin{itemize}
\item dérivées usuelles (\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\sqrt{}\), \(\ln\), \(\exp\), \(x \mapsto x^n\), \(x \mapsto \frac 1 x\)) et sa forme composée (\((\sin u)', (\cos u)', \cdots)\).

Remarque aux examinateur\cdottext ices : \emph{on ne s'attardera pas sur les domaines de dérivabilité, mais on sera attentif à ce qu'il n'y ait pas de confusion entre nombre et fonction}.
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cette exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:orgbabe3cd}

\begin{itemize}
\item Définition de \(a^x\) avec hypothèses. \hfill \emph{(Chap. 5D 3.1)}

\item Définition de la factorielle et des coefficients binomiaux. \hfill \emph{(Chap. 6B 1. et 2.)}

\item Graphes des fonctions puissances \(x \mapsto x^\alpha\) ou\footnote{au choix du/de la colleur\cdottext euse\label{org848393f}} exponentielles de base \(a\) : \(x \mapsto a^x\) pour différentes valeurs de \(\alpha\) (resp. \(a\)). \hfill \emph{(Chap. 5D 3.4 et 3.3)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:orgd6d9c3b}

\begin{itemize}
\item Exercice \cible\ 7 feuille 5.2
\setcounter{exo}{6}
\begin{exo}[\cible\ Trivium I]
L'examinateur\cdottext rice, dans un repère orthonormé, dessine un graphe de fonction quelconque (pas nécessairement continue, ni dérivable, peut avoir des tangentes verticales, des asymptotes, \ldots{}). Dessiner l'allure de sa dérivée là où elle est dérivable.
\end{exo}
\emph{Remarque : les points d'inflexion n'ont pas été abordés}.

\item Exercice \cible\ 9 ou\textsuperscript{\ref{org848393f}} 10 feuille 5.3
\setcounter{exo}{8}
\begin{exo}[\cible\ Exponentielle et sa tangente en $0$]
Étudier la fonction
\[
  x \mapsto e^x - 1 - x.
  \]
En déduire une inégalité valable pour tout \(x \in \R\).
\end{exo}

\begin{exo}[\cible\ Autre tangente]
Étudier la fonction
\[
  x \mapsto \ln(x + 1) - x.
  \]
En déduire une inégalité valable sur un certain intervalle à préciser.
\end{exo}

\item Valeur et preuve par récurrence de l'expression de \(\displaystyle\sum_{k = 0}^n k\). \hfill \emph{(Chap. 6A 2.)}
\end{itemize}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:org4d64a01}

\begin{itemize}
\item \textbf{New} Étude de fonction polynomiale de degré 3.

\item \textbf{New} Dériver.\\
Note : on n'insistera pas sur la justification de la dérivabilité, mais on s'attachera à ce que l'élève identifie clairement la structure de la fonction étudiée et utilise les théorèmes idoines.

\item \textbf{New} Calculer des limites par taux d'accroissement.

\item \methode Déterminer un domaine de définition, en raisonnant par équivalence.
\end{itemize}
\subsection*{En exo supplémentaire}
\label{sec:org3460b18}

\begin{itemize}
\item Calculer une limite indéterminée de fraction rationnelle en factorisant par le terme "le plus fort".

\item Calculer une limite par les outils usuels (produit, somme, composée, \ldots{}). \\
Note : pas de taux d'accroissement à part les 5 dans le cours.

\item Calculer une limite à l'aide du théorème de comparaison et d'encadrement.

\item Montrer qu'une fonction est injective/surjective.

\item Montrer une inclusion, montrer une égalité d'ensembles.

\item Écrire mathématiquement des ensembles.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 3 : Inégalités dans \(\R\)}
\label{sec:orgbccff64}
\begin{itemize}
\item Intervalles.
\item Règles de manipulations des inégalités (opposé, somme, produit, inverse, carré).
\item Monotonie des fonctions (croissance, décroissance, stricte..).
\item Partie entière.
\end{itemize}

Méthode de résolution d'inéquations.

Majorant, minorant, maximum, minimum.
\section*{Chapitre 4 : Ensembles et applications}
\label{sec:org3bb7727}

\begin{itemize}
\item Ensemble défini par un proposition (ensemble sélectionné) et ensemble paramétré.
\item Inclusion et égalité.
\item Applications
\item Composition
\item Injectivité, surjectivité, bijectivité.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 5 : Étude de fonctions}
\label{sec:orgd4d3928}

\subsection*{Limites}
\label{sec:org43234ef}
\begin{itemize}
\item Limite.
\item Continuité.
\item Limites des fonctions usuelles.
\item Taux d'accroissement usuels.
\item Croissances comparées et croissances comparées généralisées;
\item Limite de polynômes.
\item Limite de fractions rationnelles.
\item Théorème d'encadrement.
\end{itemize}
\subsection*{Dérivation}
\label{sec:org19f0b88}
\begin{itemize}
\item Taux d'accroissement.
\item Nombre dérivé.
\item Lien avec la monotonie.
\item Équation de la tangente.
\item Dérivées usuelles.
\item Théorème de dérivation des fonctions composées.
\end{itemize}
\subsection*{Étude}
\label{sec:orgc7e793e}
\begin{itemize}
\item Parité, périodicité.
\item Étude de fonctions.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 6 : Entiers et récurrence}
\label{sec:orgaf0f7c9}
\begin{itemize}
\item Notations \(\sum\), \(\prod\) \\
Note : pas encore d'outils de calcul (télescopage/changement d'indices)
\item Somme des entiers
\item Factorielle
\item Coefficients binomiaux
\item Triangle de Pascal
\item Formule du binôme de Newton
\end{itemize}
\end{document}