% Created 2025-11-28 ven. 17:46
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\date{}
\title{Semaine 11\\\medskip
\large Programme de colles}
\hypersetup{
 pdfauthor={Basile Pillet},
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:orgdb9b405}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : limites et dérivées usuelles}
\label{sec:orgd4d84fa}
Toutes  les colles commencent par l'énoncé \uline{d'une limite} et \uline{d'une dérivée} :

\begin{itemize}
\item limite usuelles (limite des fonctions usuelles au bornes de leur domaine de définition),
\item ou taux d'accroissement usuel (\(\sin(x)/x,(\cos(x) - 1)/x,\ln(1+x)/x,(e^x - 1)/x\) et \((\cos(x) - 1)/x^2\)).
\item ou croissance comparée usuelle (ou généralisé) (\(\ln(x)/x\) en \(+\infty\), \(xe^{x}\) en \(-\infty\), \(e^x/x\) en \(+\infty\) et \(x\ln(x)\) en \(0\)).
\end{itemize}

et

\begin{itemize}
\item dérivées usuelles (\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\sqrt{}\), \(\ln\), \(\exp\), \(x \mapsto x^n\), \(x \mapsto \frac 1 x\)) et sa forme composée (\((\sin u)', (\cos u)', \cdots)\).

Remarque aux examinateur\cdottext ices : \emph{on ne s'attardera pas sur les domaines de dérivabilité, mais on sera attentif à ce qu'il n'y ait pas de confusion entre nombre et fonction}.
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cette exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:orgd50105f}

\begin{itemize}
\item Formule du binôme de \textsc{Newton}. \hfill \emph{(Chap. 6B)}

\item "Notation d'\textsc{Euler}" + Formules d'\textsc{Euler}. \hfill \emph{(Chap. 7A 3.)}

\item Définition du module et de l'argument d'un nombre complexe. \hfill \emph{(Chap. 7A 4.)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:org43ab15d}

\begin{itemize}
\item Exercice \cible\ 4 feuille 5.4
\setcounter{exo}{3}
\begin{exo}[\cible  Dérivée nulle II]
On considère la fonction \(f(x) = \arctan(x) + \arctan\left(x^{-1}\right)\).

Étudier \(f\), en déduire que \(f\) est constante sur \(\R^{+ *}\) et déterminer sa valeur en calculant la limite en \(+\infty\).

En déduire une expression de \(\arctan(1/x)\) pour tout \(x \in \R^*\) (attention piège).
\end{exo}

\item Expression de \(\cos(\arcsin(t))\) ou de \(\sin(\arccos(t))\) et dérivée de \(\arcsin\) ou \(\arccos\) à partir du théorème de la bijection. \hfill \emph{(Chap. 5E 4.2 et 4.3)}

\item Preuve par récurrence que \emph{le module d'une puissance c'est la puissance du module}.  \hfill \emph{(Chap. 7A 4.)}
\end{itemize}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:org7d9ba4c}

\begin{itemize}
\item \textbf{New} Étude de fonction.
Y compris celles fabriquées avec les fonctions trigonométriques réciproques !

\item \methode Déterminer un domaine de définition, en raisonnant par équivalence.

\item \textbf{New} \methode Preuve par récurrence.
\emph{Note aux colleur\cdottext euse\cdottext s, récurrence \uline{simple} dans tous les sens du terme.}
\end{itemize}
\subsection*{En exo supplémentaire}
\label{sec:org4539096}

\begin{itemize}
\item Dériver.\\
Note : on n'insistera pas sur la justification de la dérivabilité, mais on s'attachera à ce que l'élève identifie clairement la structure de la fonction étudiée et utilise les théorèmes idoines.

\item Calculer des limites.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 3 : Inégalités dans \(\R\)}
\label{sec:orgb8c833f}
\begin{itemize}
\item Intervalles.
\item Règles de manipulations des inégalités (opposé, somme, produit, inverse, carré).
\item Monotonie des fonctions (croissance, décroissance, stricte..).
\item Partie entière.
\end{itemize}

Méthode de résolution d'inéquations.

Majorant, minorant, maximum, minimum.
\section*{Chapitre 5 : Étude de fonctions}
\label{sec:orgab0f0c5}

\subsection*{Limites}
\label{sec:orgd497bf8}
\begin{itemize}
\item Limite.
\item Continuité.
\item Limites des fonctions usuelles.
\item Taux d'accroissement usuels.
\item Croissances comparées et croissances comparées généralisées;
\item Limite de polynômes.
\item Limite de fractions rationnelles.
\item Théorème d'encadrement.
\end{itemize}
\subsection*{Dérivation}
\label{sec:org646d70f}
\begin{itemize}
\item Taux d'accroissement.
\item Nombre dérivé.
\item Lien avec la monotonie.
\item Équation de la tangente.
\item Dérivées usuelles.
\item Théorème de dérivation des fonctions composées.
\end{itemize}
\subsection*{Étude}
\label{sec:orgfde7ed7}
\begin{itemize}
\item Parité, périodicité.
\item Étude de fonctions.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 6 : Entiers et récurrence}
\label{sec:org8e2dc22}
\begin{itemize}
\item Notations \(\sum\), \(\prod\) \\
Note : pas encore d'outils de calcul (télescopage/changement d'indices)
\item Somme des entiers
\item Factorielle
\item Coefficients binomiaux
\item Triangle de Pascal
\item Formule du binôme de Newton
\end{itemize}
\section*{Chapitre 7 : Complexes (que pour le cours)}
\label{sec:org02c8ec2}

\begin{itemize}
\item Nombre complexe.
\item Inverse d'un complexe.
\item Exponentielle complexe, Notation d'\textsc{Euler}.
\item Module et argument.
\end{itemize}
\end{document}