% Created 2025-12-04 jeu. 23:34
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\date{}
\title{Semaine 12\\\medskip
\large Programme de colles}
\hypersetup{
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:org95a768d}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : limites et dérivées usuelles}
\label{sec:orge681d48}
Toutes  les colles commencent par l'énoncé \uline{d'une limite} et \uline{d'une dérivée} :

\begin{itemize}
\item limite usuelles (limite des fonctions usuelles au bornes de leur domaine de définition),
\item ou taux d'accroissement usuel (\(\sin(x)/x,(\cos(x) - 1)/x,\ln(1+x)/x,(e^x - 1)/x\) et \((\cos(x) - 1)/x^2\)).
\item ou croissance comparée usuelle (ou généralisé) (\(\ln(x)/x\) en \(+\infty\), \(xe^{x}\) en \(-\infty\), \(e^x/x\) en \(+\infty\) et \(x\ln(x)\) en \(0\)).
\end{itemize}

et

\begin{itemize}
\item dérivées usuelles (\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\sqrt{}\), \(\ln\), \(\exp\), \(x \mapsto x^n\), \(x \mapsto \frac 1 x\)) et sa forme composée (\((\sin u)', (\cos u)', \cdots)\).

Remarque aux examinateur\cdottext ices : \emph{on ne s'attardera pas sur les domaines de dérivabilité, mais on sera attentif à ce qu'il n'y ait pas de confusion entre nombre et fonction}.
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cette exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:org9369fc6}

\begin{itemize}
\item Primitives usuelles (\(\sin,\cos,\tan,\frac 1 {\cos^2}, 1+ \tan^2,x \mapsto x^k, x \mapsto x^\alpha, \exp, \ln, x \mapsto \frac 1 {1 + x^2}, x \mapsto \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}\)) et de la forme composée associée (\(u'f(u)\)). \hfill \emph{(Chap. 8A)}

\item Théorème fondamental de l'analyse (version \emph{calcul d'intégrale} ou\footnote{au choix du/de la colleur\cdottext euse} version \emph{fabrication de primitives}) \hfill \emph{(Chap. 8B 2.)}

\item Définition de l'argument d'un nombre complexe et formule à l'aide de l'arctangente. \hfill \emph{(Chap. 7A 4. et 7B 3.3)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:orgcc948dc}

\begin{description}
\item[{Un peu de tout}] \begin{enumerate}
\item Déterminer \(\displaystyle\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k}\). \hfill \cible \emph{(Chap. 6B)}

\item Soit \(z \in \C\), montrer que \(z\bar z -(1 + i)z - (1 - i)\bar z - 4 \in \R\). \hfill \emph{(Chap. 7A 6 prop. 13)}

\item Trouver une primitive de \(x \mapsto \dfrac {2x}{2x + 1}\) sur un intervalle à préciser. \hfill \cible \emph{(Td 8.1 ex. 1)}
\end{enumerate}

\item[{Ensembles de points avec les complexes}] \hfill \emph{(Chap. 7B)}
\begin{enumerate}
\item Déterminer \emph{sans calcul} l'ensemble des points du plan d'affixe \(z\) satisfaisant \(\left\vert z - 1\right\vert = \left\vert z - i\right\vert\)
\item Déterminer l'ensemble des points d'affixe \(z\) satisfaisant \((\bar{z} + i)(z - 1)\) imaginaire pur.
\end{enumerate}

\item[{Primitive}] de \(\dfrac 1 {x^2 + x + 1}\) sur \(\R\). \hfill \emph{(Chap. 8A 3.4)}
\end{description}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:orgdcf4103}

\begin{itemize}
\item \textbf{New} calculs élémentaires avec les nombres complexes : (mise sous forme trigo, forme algébrique d'un inverse, montrer que \ldots{} est imaginaire pur)

\item \textbf{New} Géométrie avec les nombres complexes : lieu de points, alignement, orthogonalité, distance et module.

\item \textbf{Toujours} Étude de fonction. \hfill \emph{En insistant sur les limites parce que ça va pas du tout !}
Y compris celles fabriquées avec les fonctions trigonométriques réciproques !

\item \methode Déterminer un domaine de définition, en raisonnant par équivalence.

\item \methode Preuve par récurrence.
\emph{Note aux colleur\cdottext euse\cdottext s, récurrence \uline{simple} dans tous les sens du terme.}
\end{itemize}
\subsection*{En exo supplémentaire}
\label{sec:orgf13a78b}

\begin{itemize}
\item Dériver.\\
Note : on n'insistera pas sur la justification de la dérivabilité, mais on s'attachera à ce que l'élève identifie clairement la structure de la fonction étudiée et utilise les théorèmes idoines.

\item Calculer des limites.

\item \textbf{New} (plus dur) : identifier les éléments caractéristique des transformations complexes (symétries, rotations, homothétie, composéees)
\end{itemize}
\section*{Chapitre 5 : Étude de fonctions}
\label{sec:org27b4eb3}

\subsection*{Limites}
\label{sec:org7319fc8}
\begin{itemize}
\item Limite.
\item Continuité.
\item Limites des fonctions usuelles.
\item Taux d'accroissement usuels.
\item Croissances comparées et croissances comparées généralisées;
\item Limite de polynômes.
\item Limite de fractions rationnelles.
\item Théorème d'encadrement.
\end{itemize}
\subsection*{Dérivation}
\label{sec:orgd925acf}
\begin{itemize}
\item Taux d'accroissement.
\item Nombre dérivé.
\item Lien avec la monotonie.
\item Équation de la tangente.
\item Dérivées usuelles.
\item Théorème de dérivation des fonctions composées.
\end{itemize}
\subsection*{Étude}
\label{sec:org8484223}
\begin{itemize}
\item Parité, périodicité.
\item Étude de fonctions.
\end{itemize}
\subsection*{Bijection}
\label{sec:orga2ff16e}
\begin{itemize}
\item Théorème de la bijection
\item Fonctions trigonométriques réciproques
\end{itemize}
\section*{Chapitre 6 : Entiers et récurrence}
\label{sec:orgf51be9c}
\begin{itemize}
\item Notations \(\sum\), \(\prod\) \\
Note : pas encore d'outils de calcul (télescopage/changement d'indices)
\item Somme des entiers
\item Factorielle
\item Coefficients binomiaux
\item Triangle de Pascal
\item Formule du binôme de Newton
\end{itemize}
\section*{Chapitre 7 : Complexes}
\label{sec:orge86724d}

\begin{itemize}
\item Nombre complexe.
\item Inverse d'un complexe.
\item Exponentielle complexe, Notation d'\textsc{Euler}.
\item Module et argument.

\item Interprétation géométrique des nombres complexes
\item Critère d'alignement, critère d'orthogonalité
\item Interprétation géométrique du module et de l'argument
\item Formule pour l'argument
\item Transformations du plan complexe
\end{itemize}
\section*{Chapitre 8 : Primitives/Intégration (que pour le cours)}
\label{sec:org338a7ed}

\begin{itemize}
\item Primitives usuelles
\item Théorème fondamental de l'analyse
\end{itemize}
\end{document}