% Created 2026-01-29 jeu. 20:04
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\date{}
\title{Semaine 18\\\medskip
\large Programme de colles}
\hypersetup{
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:orgae01576}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : dérivée, primitive ou graphe}
\label{sec:org8d5524f}
Considérons la propositions \(D\) : \ogfg{La colle commence par l'énoncé d'un dérivée usuelle}, \(P\) : \ogfg{La colle commence par l'énoncé d'une primitive usuelle} et \(G\) : \ogfg{la colle commence par le graphe d'une fonction usuelle} alors pour toute colle, on a :
\[
(D \wedge P) \vee G
\]

\begin{itemize}
\item Dérivées usuelles (\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\), \(\sqrt{\_}\), \(\ln\), \(\exp\), \(x \mapsto x^n\), \(x \mapsto \frac 1 x\)) et sa forme composée (\((\sin u)', (\cos u)', \cdots)\).

\item Primitives usuelles (\(\sin,\cos,\tan,\frac 1 {\cos^2}, 1+ \tan^2,x \mapsto x^k, x \mapsto x^\alpha, \exp, \ln, x \mapsto \frac 1 {1 + x^2}, x \mapsto \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}\)) et de la forme composée associée (\(u'f(u)\)). \hfill \emph{(Chap. 8A)}

Remarque aux examinateur\cdt ices : \emph{on ne s'attardera pas sur les domaines de dérivabilité, mais on sera attentif à ce qu'il n'y ait pas de confusion entre nombre et fonction}

\item Graphes usuels : \(\sin,\cos,\tan, \arcsin, \arccos, \arctan, \exp, \ln, \sqrt{\_}, x \mapsto x^\alpha\) (cas \(\alpha < 0, 0 < \alpha < 1\) et \(\alpha > 1\)), \(x \mapsto a^x\) (cas \(a < 1\) et \(a > 1\)).
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cette exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:orgc6abd24}

\begin{itemize}
\item Définition et propriété de suite arithmétique ou\footnote{au choix du/de la colleur\cdt euse} géométrique. \hfill \emph{(Chap. 12C)}

\item Théorème sur les solutions d'une relation de récurrence linéaire d'ordre 2. \hfill \emph{(Chap. 12C 4.)}

\item Expression des coefficients d'un produit \(Av\) où \(A\) est une matrice et \(v\) un vecteur colonne (En introduisant toutes les notations).  \hfill \emph{(Chap. 13A 2.3)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:org5f4406b}

\begin{itemize}
\item Montrer que \(\frac 1 2\) est la borne supérieure de  \hfill \emph{(Chap. 12A 2.2.1)}
\[
  A = \ensp{\frac{n}{2n + 1}}{n \in \N}
  \]

\item Montrer que la suite \((u_n)_{n \geq 2}\) définie par \(\forall n \geq 2, u_n = \left\lfloor \frac {n + 1}{n - 1}\right\rfloor\) est constante à partir d'un certain rang. \hfill \emph{(Chap. 12B 1.2)}

\item \methode (à appliquer en autonomie) : Forme explicite d'une suite arithmético-géométrique comme, par exemple, la suite de premier terme \(u_0 = \nicefrac 2 3\) et définie par \(\forall n \in \N, u_{n + 1} = -2u_n + 5\).
\hfill \emph{(Chap. 12C 3.1 voir aussi exercice cible 4 et 5 feuille 12.1)}
\end{itemize}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:org5df5a65}

\begin{itemize}
\item \textbf{New} Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques.

\item Sommes
\begin{itemize}
\item Sommes télescopiques.
\item Changement d'indice dans une somme.
\emph{Le changement d'indice doit être donné ou guidé}.
\item Autres outils : linéarité, sommes usuelles, sommes géométriques, Chasles\ldots{}
\end{itemize}

\item \textbf{Rappel} : Inégalités dans \(\R\), partie entières, \ldots{}
\end{itemize}
\subsection*{En exo supplémentaire}
\label{sec:orged4b0dd}

\begin{itemize}
\item Résolution d'une EDL2 à coefficients constants et second membre exponentiel ou trigo. \\
(résolution de problème de Cauchy).

\item Système \(n \times p\) par la méthode du pivot.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 8 : Suites et fin : EDL2 à coeffs constants}
\label{sec:orgfff0c33}

\begin{itemize}
\item Équation homogène.
\item Équation caractéristique.
\item Solutions particulières exponentielles et trigonométriques.
\item Problèmes de Cauchy.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 10 : Cardinal et dénombrement}
\label{sec:org1f5a564}

\begin{itemize}
\item Cardinal d'une union.
\item Théorème de Cantor, lien avec les applications.

\item Dénombrement : Nombre de parties à \(p\) éléments d'un ensemble à \(n\) éléments, \(p\)-uplet d'un ensemble à \(n\) éléments, \(p\)-uplet d'éléments distincts d'un ensemble à \(n\) éléments, permutations d'un ensemble à \(n\) éléments, parties d'un ensemble à \(n\) éléments, fonctions d'un ensemble à \(p\) éléments vers un ensemble à \(n\) éléments.

\item Somme télescopique.

\item Changement d'indice.

\item Sommes géométriques.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 11 : Systèmes}
\label{sec:orgc5d8c3b}

\begin{itemize}
\item Pivots, algorithme de résolution
\item Forme échelonnée, forme réduite
\item Variables auxiliaires
\item Équations de compatibilité
\item Matrice d'un système
\item Rang
\end{itemize}
\section*{Chapitre 12 :}
\label{sec:org72ab100}

\begin{itemize}
\item Retour sur les inégalités dans \(\R\) : borne sup et inf.
\item Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques.
\item Suites récurrentes linéaires d'ordre 2.
\end{itemize}
\end{document}