% Created 2026-02-27 ven. 14:56
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\date{}
\title{Semaine 20\\\medskip
\large Programme de colles}
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:orgc00477b}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : dérivée, primitive ou graphe}
\label{sec:org4cd5a82}
Considérons la propositions \(D\) : \ogfg{La colle commence par l'énoncé d'un dérivée usuelle}, \(P\) : \ogfg{La colle commence par l'énoncé d'une primitive usuelle} et \(G\) : \ogfg{la colle commence par le graphe d'une fonction usuelle} alors pour toute colle, on a :
\[
(D \wedge P) \vee G
\]

\begin{itemize}
\item Dérivées usuelles (\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\), \(\sqrt{\_}\), \(\ln\), \(\exp\), \(x \mapsto x^n\), \(x \mapsto \frac 1 x\)) et sa forme composée (\((\sin u)', (\cos u)', \cdots)\).

\item Primitives usuelles (\(\sin,\cos,\tan,\frac 1 {\cos^2}, 1+ \tan^2,x \mapsto x^k, x \mapsto x^\alpha, \exp, \ln, x \mapsto \frac 1 {1 + x^2}, x \mapsto \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}\)) et de la forme composée associée (\(u'f(u)\)). \hfill \emph{(Chap. 8A)}

Remarque aux examinateur\cdt ices : \emph{on ne s'attardera pas sur les domaines de dérivabilité, mais on sera attentif à ce qu'il n'y ait pas de confusion entre nombre et fonction}

\item Graphes usuels : \(\sin,\cos,\tan, \arcsin, \arccos, \arctan, \exp, \ln, \sqrt{\_}, x \mapsto x^\alpha\) (cas \(\alpha < 0, 0 < \alpha < 1\) et \(\alpha > 1\)), \(x \mapsto a^x\) (cas \(a < 1\) et \(a > 1\)).
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cet exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:orgb04686c}

\begin{itemize}
\item Théorème de la limite monotone (tous les cas). \hfill \emph{(Chap. 12E 4. thm. 1)}

\item Définition de système complet d'évènements. \hfill \emph{(Chap. 22A 2. def. 5)}

\emph{Il est évident que toutes les notions connexes (expérience, issue, univers, évènement) doivent être connues.}

\item Axiomes de probabilité \hfill \emph{(Chap. 22A 3. def. 6)}

\emph{Il est évident que toutes les notions connexes (expérience, issue, univers, évènement) doivent être connues.}

\item Énoncer le théorème d'encadrement. \hfill \emph{(Chap. 12E 5. thm. 2)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:orge87fb3e}

Les exercices de cours "\emph{pour les plus courageux\cdottext euse}" peuvent être refusés (poliment) par l'élève, dans ce cas ellui se voit proposer une autre démonstration de cours de la liste, qui devra être parfaitement traitée.

\begin{itemize}
\item Soit \(\theta \in \Ioo 0 {\pi/2}\). On pose \(u_n = 2^n\sin\left(\theta 2^{-n}\right)\) et \(v_n = 2^n\tan\left(\theta 2^{-n}\right)\). \hfill \emph{(Chap. 12E 6.1)}

\begin{enumerate}
\item (Admis pour la colle) En utilisant que \(\forall x \in \Ioo 0 {\pi/2}, 0 < \cos(x) < 1\), montrer que \(\forall n, 0 < u_n \leq v_n\).

\item En utilisant la formule pour \(\sin(2a)\), montrer que \((u_n)_n\) est croissante.

\item En utilisant, de même les formules de trigo, montrer que \((v_n)_n\) est décroissante.
\end{enumerate}

\item Déterminer la limite de la suite de terme général \hfill \emph{(Chap. 12D 1.1.1)}
\begin{enumerate}
\item \(\ln(n) + \cos(n)\)
\item \(e^{-n}\sin(n)\)
\end{enumerate}

\item Soit pour \(n \in \N, u_n = \frac 1 {n + 1} + \frac 1 {n + 2} + \cdots + \frac 1 {2n}\) \hfill \emph{(Ex. 7 Td 12.2)}
\begin{enumerate}
\item Écrire \(u_n\) à l'aide du symbole \(\sum\) de deux manière différentes.
\item Montrer que \((u_n)_n\) est majorée.
\item Montrer que \((u_n)_n\) converge.
\end{enumerate}

\item \emph{pour les plus courageux\cdottext euse} Démontrer qu'une suite convergente est bornée. \hfill \emph{(Chap. 12E 3.)}

\item \emph{pour les plus courageux\cdottext euse} Démontrer le théorème de la limite monotone. \hfill \emph{(Chap. 12E 4.)}
\end{itemize}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:orgab6c4e1}

\begin{itemize}
\item \textbf{New} Inverse de matrice.

\item Produit de matrices, puissances de matrices, binôme.

\item Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques, récurrentes linéaires d'ordre 2.

\item Application du théorème de la limite monotone. Étude générale d'une suite.
\emph{Remarque : aucune théorie générale des suite récurrentes n'a été abordée, et même peu d'exemples ont été étudiés.}
\end{itemize}
\subsection*{En exo supplémentaire}
\label{sec:org7c4ac13}

\begin{itemize}
\item \textbf{Rappel} : Inégalités dans \(\R\), partie entières, \ldots{}

\item \textbf{Rappel} : Récurrence

\item Sommes
\begin{itemize}
\item Sommes télescopiques.
\item Changement d'indice dans une somme.
\emph{Le changement d'indice doit être donné ou guidé}.
\item Autres outils : linéarité, sommes usuelles, sommes géométriques, Chasles\ldots{}
\end{itemize}
\end{itemize}
\section*{Chapitre 12 : Suites}
\label{sec:org930207c}

\begin{itemize}
\item Retour sur les inégalités dans \(\R\) : borne sup et inf.
\item Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques.
\item Suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

\item Convergence.
\item Limite de suites, opérations sur les limites.
\item Monotonie, limite monotone.
\item Suite convergentes sont bornées.
\item Encadrement, suites adjacentes.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 13 : Matrices}
\label{sec:org982f293}

\begin{itemize}
\item Produit matrices \(\times\) colonne.
\item Produit de matrices.
\item Identité, matrice nulles.
\item Structures sur \(\Mm_{n}(\R)\).
\item Puissances de matrices carré.
\item Formule du binôme.
\item Inverse.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 22 : Proba (que pour le cours)}
\label{sec:org237e6bb}
\end{document}