% Created 2026-03-06 ven. 11:09
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\date{}
\title{Semaine 21\\\medskip
\large Programme de colles}
\hypersetup{
 pdfauthor={Basile Pillet},
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:org2177267}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : limites usuelle ou équivalent usuel}
\label{sec:org2010948}
\begin{itemize}
\item Limites usuelles : 
\begin{itemize}
\item Limites des fonctions usuelles aux bornes de leur domaine
\item Croissances comparées
\item Taux d'accroissements
\end{itemize}

\item Équivalents usuels : \(u_n \to 0\), équivalents de \(\exp(u_n) - 1, \ln(1 + u_n), \sin(u_n), \cos(u_n) - 1, \tan(u_n), (1 + u_n)^{\alpha} - 1, \sqrt{1 + u_n} - 1, \arctan(u_n), \arcsin(u_n)\)
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cet exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:org94175ee}

\begin{itemize}
\item Théorème des probabilités totales. \hfill \emph{(Chap. 22B 3. thm 2)}

\item Définition\footnote{au choix du/de la colleur\cdt euse\label{org7e22c09}} d'équivalence de suite, de négligeabilité, de domination. \hfill \emph{(Chap. 12F)}

\item Définition des probabilités conditionnelles, probabilité du produit et théorème de \textsc{Bayes}. \hfill \emph{(Chap. 22B def 1, prop 5, prop 6)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:org6d9d27f}

Les exercices de cours "\emph{pour les plus courageux\cdottext euse}" peuvent être refusés (poliment) par l'élève, dans ce cas ellui se voit proposer une autre démonstration de cours de la liste, qui devra être parfaitement traitée.

\begin{itemize}
\item Tableau des limites de \(q^n/n^{\alpha}\) en indiquant à chaque case le(s) argument(s) permettant de justifier la limite et avec 3 cases\textsuperscript{\ref{org7e22c09}} à justifier proprement. \hfill \emph{(Chap. 12F 1.1)}

\item Exercice \cible (version modifiée) \hfill \emph{(11 feuille 22)}
\begin{exo}
Dans une classe ne contenant que des filles et des garçons, avec 2 fois plus de garçons que de filles ; les élèves passent un concours. 80\% des filles sont reçues et 60\% des garçons sont reçus. On choisit un élève au hasard dans la classe. Sachant que cet élève est reçu, quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un garçon ?
\end{exo}

\item Lemme de découpage et preuves : \hfill \emph{(Chap. 22B 1.)}
\begin{itemize}
\item Énoncer et démontrer le lemme de découpage.
\item Énoncer et démontrer\textsuperscript{\ref{org7e22c09}} :
\begin{itemize}
\item croissance de \(\Pro\) \emph{(prop. 2)} et proba de l'évènement contraire \emph{(prop. 3)}
\item ou formule générale de la probabilité d'une union \emph{(prop. 4)}
\end{itemize}
\end{itemize}

\item \emph{pour les plus courageux\cdottext euse} \hfill \emph{(Chap. 22B 3.)}
\begin{exo}
On dispose de \(6\) urnes \(U_1, U_2, \cdots, U_6\) contentant chacune 6 jetons. L'urne \(i\) contient \(i\) jetons blancs et les \(6-i\) autres sont noirs. On lance un dé (équilibré) à 6 faces et selon le résultat \(i\), on tire deux jetons dans l'urne \(U_i\) (successivement sans remise). On note \(A\) l'évènement \ogfg{les deux jetons sont blancs}.

\begin{enumerate}
\item Déterminer \(\Pro(A)\) à l'aide d'un système complet d'évènements adapté.
\item Un joueur a obtenu deux jetons blanc, quelle est la probabilité que son dé soit tombé sur 3 ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{itemize}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:orgb5e4186}

\begin{itemize}
\item Probabilités, probabilité conditionnelles. \\
Pas encore d'indépendance.

\item \textbf{Rappel} Dénombrement.

\item \textbf{Rappel} Calcul de limite, croissances comparées.
\end{itemize}
\subsection*{En exo supplémentaire}
\label{sec:orgaab0282}

\begin{itemize}
\item Produit de matrices, puissances de matrices, binôme, inverse de matrice.

\item Suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

\item Application du théorème de la limite monotone. Étude générale d'une suite.
\emph{Remarque : aucune théorie générale des suite récurrentes n'a été abordée, et même peu d'exemples ont été étudiés.}
\end{itemize}
\section*{Chapitre 12 : Suites}
\label{sec:org7bd8998}

\begin{itemize}
\item Retour sur les inégalités dans \(\R\) : borne sup et inf.
\item Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques.
\item Suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

\item Convergence.
\item Limite de suites, opérations sur les limites.
\item Monotonie, limite monotone.
\item Suite convergentes sont bornées.
\item Encadrement, suites adjacentes.

\item \textbf{New} (Que pour le cours) Équivalents de suite, négligeabilité et domination.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 13 : Matrices}
\label{sec:org238363e}

\begin{itemize}
\item Produit matrices \(\times\) colonne.
\item Produit de matrices.
\item Identité, matrice nulles.
\item Structures sur \(\Mm_{n}(\R)\).
\item Puissances de matrices carré.
\item Formule du binôme.
\item Inverse.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 22 : Proba}
\label{sec:org7b32d05}

\begin{itemize}
\item Généralité : expérience, issue, univers, évènement, incompatibilité.
\item Système complet d'évènements
\item Probabilité, espace probabilisé, modélisation probabiliste.
\item Cas de l'équiprobabilité.
\item Lemme de découpage : \(B = \left(B \cap A\right) \cup \left(B \cap \bar A\right)\) et cette union est disjointe.
\item \textbf{New} : Probabilité conditionnelle.
\item \textbf{New} : \uline{Formule des proba totales}.
\end{itemize}

Attention : pas encore d'indépendance.
\end{document}