% Created 2026-03-12 jeu. 17:36
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\date{}
\title{Semaine 22\\\medskip
\large Programme de colles}
\hypersetup{
 pdfauthor={Basile Pillet},
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:orgb3955ad}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : limites usuelle ou équivalent usuel}
\label{sec:orgc07adbb}
\begin{itemize}
\item Limites usuelles : 
\begin{itemize}
\item Limites des fonctions usuelles aux bornes de leur domaine
\item Croissances comparées
\item Taux d'accroissements
\end{itemize}

\item Équivalents usuels : \(u_n \to 0\), équivalents de \(\exp(u_n) - 1, \ln(1 + u_n), \sin(u_n), \cos(u_n) - 1, \tan(u_n), (1 + u_n)^{\alpha} - 1, \sqrt{1 + u_n} - 1, \arctan(u_n), \arcsin(u_n)\)
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cet exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:orga48ef20}

\begin{itemize}
\item Définition de famille libre ou\footnote{au choix du/de la colleur\cdt euse\label{org94089bd}} génératrice de \(\R^n\). \hfill \emph{(Chap. 13D)}

\item Définition de \emph{combinaison linéaire} d'une famille de vecteurs de \(\R^n\) et de \(\Vect(\_)\). \hfill \emph{(Chap. 13D)}

\item Théorème des valeurs intermédiaires + dessin. \hfill \emph{(Chap. 14B 3. thm. 2)}

\item Théorème des bornes atteintes. \hfill \emph{(Chap. 14B 3. thm. 3)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:orgb41a5ad}

Les exercices de cours "\emph{pour les plus courageux\cdottext euse}" peuvent être refusés (poliment) par l'élève, dans ce cas ellui se voit proposer une autre démonstration de cours de la liste, qui devra être parfaitement traitée.

\begin{itemize}
\item Continuité et prolongement. \hfill \emph{(Chap. 14B 1.)}
\begin{enumerate}
\item Montrer que \(f : x \mapsto \dfrac 1 {1 + e^{1/x}}\) et telle que \(f(0) = 0\) est discontinue en \(0\).
\item Montrer que \(x \mapsto \dfrac {\sin(x)} x\) est prolongeable par continuité en \(0\).
\end{enumerate}

\item Exercice (qui pourrait être \cible) \hfill \emph{(2 feuille 12.3)}
\setcounter{exo}{1}
\begin{exo}
Calculer
\[
  \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{2}{n}\right)^{3n}.
  \]
\end{exo}

\item Montrer que \(\Tt = \left((1,1),(-1,1)\right)\) est libre ou\textsuperscript{\ref{org94089bd}} génératrice de \(\R^2\). \hfill \emph{(Chap. 13D)}

\item \emph{pour les plus courageux\cdottext euse} \hfill \emph{(Chap. 14A)}

Montrer que \(\frac 1 {x^2} \to +\infty\) quand \(x \to 0\).
\end{itemize}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:org42aeac6}

\begin{itemize}
\item \textbf{New} : \textbf{Recherche d'équivalent de suite}

\item \textbf{New} : usage d'équivalents pour calculer des limites.

\item \textbf{New} : Famille libre et famille génératrice \uline{de \(\R^n\)}.
\end{itemize}
\subsection*{En exo supplémentaire}
\label{sec:org35dd37e}

\begin{itemize}
\item Probabilités, probabilité conditionnelles. \\
Pas encore d'indépendance.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 12 : Suites}
\label{sec:org8f07877}

\begin{itemize}
\item Retour sur les inégalités dans \(\R\) : borne sup et inf.
\item Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques.
\item Suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

\item Convergence.
\item Limite de suites, opérations sur les limites.
\item Monotonie, limite monotone.
\item Suite convergentes sont bornées.
\item Encadrement, suites adjacentes.

\item Équivalents de suite, négligeabilité et domination.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 13 : Matrices}
\label{sec:orgb0b4936}

\begin{itemize}
\item Produit matrices \(\times\) colonne.
\item Produit de matrices.
\item Identité, matrice nulles.
\item Structures sur \(\Mm_{n}(\R)\).
\item Puissances de matrices carré.
\item Formule du binôme.
\item Inverse.
\item \textbf{New} : familles de vecteurs de \(\R^n\), \(\Vect(\_)\)
\item \textbf{New} : Famille libre et famille génératrice de \(\R^n\).
\end{itemize}
\section*{Chapitre 22 : Proba}
\label{sec:org4fe2fee}

\begin{itemize}
\item Généralité : expérience, issue, univers, évènement, incompatibilité.
\item Système complet d'évènements
\item Probabilité, espace probabilisé, modélisation probabiliste.
\item Cas de l'équiprobabilité.
\item Lemme de découpage : \(B = \left(B \cap A\right) \cup \left(B \cap \bar A\right)\) et cette union est disjointe.
\item Probabilité conditionnelle.
\item Formule des proba totales.
\end{itemize}

Attention : pas encore d'indépendance.
\section*{Chapitre 14 : Limites et continuité}
\label{sec:org699fcf3}

\begin{itemize}
\item Limites de fonctions, voisinages.
\item Limites à gauche et à droite.
\item Théorème d'encadrement, passage à la limite dans une inégalité, théorème de composition de limites.
\item Continuité en un point, continuité sur un intervalle.
\item Opérations sur les fonctions  continues.
\item Théorème des valeurs intermédiaires.
\item Théorème des bornes atteintes.
\item Théorème de la bijection.
\end{itemize}
\end{document}