% Created 2026-03-21 sam. 09:05
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
\documentclass[10pt, tsi]{article}
          \usepackage[couleur,draft]{/home/basile/Latex/Headfiles/dip2}
                  \newlength{\recultitre}
\geometry{hmargin = 5em, tmargin = 5em, bmargin = 3.5em}
\setlength{\recultitre}{-8em}
\pgfplotsset{compat=1.16}
\newcommand\eleve[1]{\phantom{\Large {#1}}}
\def\cdt{\kern-0.5pt\ensuremath\cdot\kern-0.5pt}
\usepackage{titling}
\pretitle{\vspace*{\recultitre}\begin{center}\Large\hrule\vspace*{.5em}\scshape}
\posttitle{\vspace*{.4em}\hrule\par\end{center}}
\preauthor{}
\postauthor{}
\predate{}
\postdate{}
\newcommand{\inlinemaketitle}{{\let\newpage\relax\maketitle}}
\usepackage{listingsutf8}
\renewcommand{\ttdefault}{pcr}
\lstset{%
inputencoding=utf8,
extendedchars=true,
literate=%
{é}{{\'{e}}}1
{è}{{\`{e}}}1
{ê}{{\^{e}}}1
{ë}{{\¨{e}}}1
{É}{{\'{E}}}1
{Ê}{{\^{E}}}1
{û}{{\^{u}}}1
{ù}{{\`{u}}}1
{â}{{\^{a}}}1
{à}{{\`{a}}}1
{á}{{\'{a}}}1
{ã}{{\~{a}}}1
{Á}{{\'{A}}}1
{Â}{{\^{A}}}1
{Ã}{{\~{A}}}1
{ç}{{\c{c}}}1
{Ç}{{\c{C}}}1
{õ}{{\~{o}}}1
{ó}{{\'{o}}}1
{ô}{{\^{o}}}1
{Õ}{{\~{O}}}1
{Ó}{{\'{O}}}1
{Ô}{{\^{O}}}1
{î}{{\^{i}}}1
{Î}{{\^{I}}}1
{í}{{\'{i}}}1
{Í}{{\~{Í}}}1}
\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
\definecolor{codegreendark}{rgb}{0,0.3,0}
\definecolor{codegray}{rgb}{0.5,0.5,0.5}
\definecolor{codepurple}{rgb}{0.58,0,0.82}
\definecolor{backcolour}{rgb}{0.98,0.98,0.95}
\definecolor{gren}{rgb}{0,0,0}
\definecolor{purple}{rgb}{0.5,0,0.5}
\definecolor{darkred}{rgb}{0.5,0,0}
\definecolor{orange}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{lightgrey}{rgb}{.97,.97,.97}
\lstdefinestyle{ocamlstyle}{
backgroundcolor=\color{backcolour},
commentstyle=\color{codegreen},
keywordstyle=\color{magenta}\bf,
numberstyle=\tiny\color{codegray},
stringstyle=\color{codepurple},
basicstyle=\small\ttfamily,
breakatwhitespace=false,
breaklines=true,
captionpos=b,
escapeinside={-@@}{@@-},
keepspaces=true,
numbers=none,
numbersep=5pt,
showspaces=false,
showstringspaces=false,
showtabs=false,
tabsize=2,
language=[Objective]Caml
}
\lstnewenvironment{ocaml}{\lstset{style=ocamlstyle}}{}
\lstnewenvironment{ocamlsmall}{\lstset{style=ocamlstyle, basicstyle=\footnotesize\ttfamily}}{}
\lstdefinestyle{pythonstyle}{%
language=python,
backgroundcolor=\color{white},
basicstyle=\ttfamily,
stringstyle=\color{green},
showstringspaces=false,
alsoletter={1234567890},
keywordstyle=\bf\color{blue},
emph={access,and,as,break,class,continue,def,del,elif,else,%
except,exec,finally,for,from,global,if,import,in,is,%
lambda,not,or,pass,print,raise,return,try,while,assert},
emphstyle=\bf\color{darkred},
emph={[2]self},
emphstyle=[2]\color{black},
emph={[4]ArithmeticError,AssertionError,AttributeError,BaseException,%
DeprecationWarning,EOFError,Ellipsis,EnvironmentError,Exception,%
False,FloatingPointError,FutureWarning,GeneratorExit,IOError,%
ImportError,ImportWarning,IndentationError,IndexError,KeyError,%
KeyboardInterrupt,LookupError,MemoryError,NameError,None,%
NotImplemented,NotImplementedError,OSError,OverflowError,%
PendingDeprecationWarning,ReferenceError,RuntimeError,RuntimeWarning,%
StandardError,StopIteration,SyntaxError,SyntaxWarning,SystemError,%
SystemExit,TabError,True,TypeError,UnboundLocalError,UnicodeDecodeError,%
UnicodeEncodeError,UnicodeError,UnicodeTranslateError,UnicodeWarning,%
UserWarning,ValueError,Warning,ZeroDivisionError,abs,all,any,apply,%
basestring,bool,buffer,callable,chr,classmethod,cmp,coerce,compile,%
complex,copyright,credits,delattr,dict,dir,divmod,enumerate,eval,%
execfile,exit,file,filter,float,frozenset,getattr,globals,hasattr,%
hash,help,hex,id,input,int,intern,isinstance,issubclass,iter,len,%
license,list,locals,long,map,max,min,object,oct,open,ord,pow,property,%
quit,range,raw_input,reduce,reload,repr,reversed,round,set,setattr,%
slice,sorted,staticmethod,str,sum,super,tuple,type,unichr,unicode,%
vars,xrange,zip},
emphstyle=[4]\color{purple},
upquote=true,
morecomment=[s][\color{gren}]{"""}{"""},
commentstyle=\color{red}\slshape,
inputencoding=utf8,
procnamekeys={def,class},
procnamestyle=\color{blue},
breaklines=true,
breakindent=0pt,
prebreak=\mbox{$\backslash$},
postbreak=\mbox{    }
}%
\lstnewenvironment{pythonenv}{\lstset{style=pythonstyle}}{}
\lstdefinestyle{python}{%
language=python,
frameround=tttt,
%frame=BL,
frame=single,
framerule=2pt,
rulecolor=\color{gray!80},
rulesep=.3pt,
%color=\color{black},
backgroundcolor=\color{white},
basicstyle=\ttfamily,
stringstyle=\color{green},
showstringspaces=false,
alsoletter={1234567890},
otherkeywords={\ , \}, \{},
keywordstyle=\bf\color{blue},
emph={access,and,as,break,class,continue,def,del,elif,else,%
except,exec,finally,for,from,global,if,import,in,is,%
lambda,not,or,pass,print,raise,return,try,while,assert},
emphstyle=\bf\color{darkred},
emph={[2]self},
emphstyle=[2]\color{black},
emph={[4]ArithmeticError,AssertionError,AttributeError,BaseException,%
DeprecationWarning,EOFError,Ellipsis,EnvironmentError,Exception,%
False,FloatingPointError,FutureWarning,GeneratorExit,IOError,%
ImportError,ImportWarning,IndentationError,IndexError,KeyError,%
KeyboardInterrupt,LookupError,MemoryError,NameError,None,%
NotImplemented,NotImplementedError,OSError,OverflowError,%
PendingDeprecationWarning,ReferenceError,RuntimeError,RuntimeWarning,%
StandardError,StopIteration,SyntaxError,SyntaxWarning,SystemError,%
SystemExit,TabError,True,TypeError,UnboundLocalError,UnicodeDecodeError,%
UnicodeEncodeError,UnicodeError,UnicodeTranslateError,UnicodeWarning,%
UserWarning,ValueError,Warning,ZeroDivisionError,abs,all,any,apply,%
basestring,bool,buffer,callable,chr,classmethod,cmp,coerce,compile,%
complex,copyright,credits,delattr,dict,dir,divmod,enumerate,eval,%
execfile,exit,file,filter,float,frozenset,getattr,globals,hasattr,%
hash,help,hex,id,input,int,intern,isinstance,issubclass,iter,len,%
license,list,locals,long,map,max,min,object,oct,open,ord,pow,property,%
quit,range,raw_input,reduce,reload,repr,reversed,round,set,setattr,%
slice,sorted,staticmethod,str,sum,super,tuple,type,unichr,unicode,%
vars,xrange,zip},
emphstyle=[4]\color{purple},
upquote=true,
morecomment=[s][\color{gren}]{"""}{"""},
commentstyle=\color{red}\slshape,
inputencoding=utf8,
procnamekeys={def,class},
procnamestyle=\color{blue},
breaklines=true,
breakindent=0pt,
prebreak=\mbox{$\backslash$},
postbreak=\mbox{    }
}%
\lstnewenvironment{python}{\lstset{style=python}}{}
\lstdefinestyle{sqlstyle}{
commentstyle=\color{codegreendark},
keywordstyle=\bf,
numberstyle=\tiny\color{codegray},
stringstyle=\color{codepurple},
basicstyle=\small\ttfamily,
breakatwhitespace=false,
breaklines=true,
captionpos=b,
keepspaces=true,
numbers=none,
numbersep=5pt,
showspaces=false,
showstringspaces=false,
showtabs=false,
tabsize=2,
language=SQL
}
\lstnewenvironment{sql}{\lstset{style=sqlstyle}}{}
\lstdefinestyle{sql}%
{%
language=sql,
frameround=tttt,
frame=single,
framerule=1pt,
showstringspaces=false,
backgroundcolor=\color{white},
basicstyle=\ttfamily,
keywordstyle=\color{darkred}\bf,
commentstyle=\color{purple}\slshape,
stringstyle=\color{green},
emph={[2]no, column, read},
emphstyle=[2],
otherkeywords={TEXT, REFERENCES, EXISTS}
}%
\lstnewenvironment{sql1}{\lstset{style=sql}}{}
\usepackage[compact]{titlesec}
\titlespacing\section{-1em}{12pt plus 4pt minus 2pt}{5pt plus 2pt minus 2pt}
\titlespacing\subsection{3em}{8pt plus 4pt minus 2pt}{6pt plus 2pt minus 2pt}
\setcounter{secnumdepth}{0}
\date{}
\title{Semaine 23\\\medskip
\large Programme de colles}
\hypersetup{
 pdfauthor={Basile Pillet},
 pdftitle={Semaine 23},
 pdfkeywords={},
 pdfsubject={},
 pdfcreator={Emacs 29.3 (Org mode 9.7.12)}, 
 pdflang={English}}
\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:orge6b6b5f}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : limites usuelle ou équivalent usuel}
\label{sec:org2e1a39f}
\begin{itemize}
\item Limites usuelles : 
\begin{itemize}
\item Limites des fonctions usuelles aux bornes de leur domaine
\item Croissances comparées
\item Taux d'accroissements
\end{itemize}

\item Équivalents usuels : \(u(x) \to 0\), équivalents de \(\exp(u) - 1, \ln(1 + u), \sin(u), \cos(u) - 1, \tan(u), (1 + u)^{\alpha} - 1, \sqrt{1 + u} - 1, \arctan(u), \arcsin(u)\)
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cet exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:org0139252}

\begin{itemize}
\item Définition de \emph{polynôme}, \emph{monôme}, \emph{degré}, \(\K[X]\), \(\K_m[X]\). \hfill \emph{(Chap. 15A 1. def 1 et 2)}

\item Théorème de division euclidienne dans \(\K[X]\). \hfill \emph{(Chap. 15A 3. thm 1)}

\item Définition de \(\ker(A)\) ou\footnote{au choix du/de la colleur\cdt euse} \(\Im(A)\) \hfill \emph{(Chap. 13E 1 def. 1 et 2. def 2.)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:org4be8716}

Les exercices de cours "\emph{pour les plus courageux\cdottext euse}" peuvent être refusés (poliment) par l'élève, dans ce cas ellui se voit proposer une autre démonstration de cours de la liste, qui devra être parfaitement traitée.

\begin{itemize}
\item Montrer que \(\ker(A) = \{\ov 0\} \Leftrightarrow f_A\) injective. \hfill \emph{(Chap. 13E 2.1 prop. 5)}

On fera bien attention à être capable à chaque instant de la preuve, d'identifier le type des objets (matrice, fonction, \ldots{}) et pour les matrices, de donner leur taille.

\item Division euclidienne de \(A(X) = 15X^3 - (12 + 5i)X^2 + (3 - 4i)X + 1 - i\) par \(B(X) = 3X - i\). \hfill \emph{(Chap. 15A 3.1)}

\item Indépendance (retour des exos de proba la semaine prochaine) \hfill \emph{(Chap. 22C)}
On lance \(n\) fois de suite de manière indépendante une pièce de monnaie truquée ayant pour probabilité \(p\) de tomber sur pile. Pour \(i \in \{1,2,\cdots n\}\), on note \(A_i\) l'évènement correspondant au fait de faire pile au \(i\)-ième lancer.
\begin{enumerate}
\item Donner un univers modélisant cette expérience, écrire \(A_i\) dans cette modélisation. Est-on en situation d'équiprobabilité ?
\item Déterminer \(\Pro\left(\bigcap_{i = 1}^n A_i\right)\).
\item Pour \(k \in \{1,2,\cdots, n- 1\}\), déterminer la probabilité de \(A_1\cap  A_2\cap \cdots \cap A_k \cap \bar A_{k+1} \cap \cdots \cap \bar A_n\).
\end{enumerate}

\item \emph{pour les plus courageux\cdottext euse} \hfill \emph{(Chap. 14C prop 3.)}
Énoncer et démontrer les opérations sur les petits \(o\) et grand \(O\).
\end{itemize}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:org1669459}

\begin{itemize}
\item Recherche d'équivalent de fonction.

\item TVA et compagnie.

\item Famille libre et famille génératrice \uline{de \(\R^n\)}.
\end{itemize}

La semaine prochaine (S24) : retour des probas, noyau et images de matrices et arithmétique sur les polynômes ! C'est beaucoup, il faut commencer dès maintenant !
\subsection*{En exo supplémentaire}
\label{sec:org4ab8d13}

\begin{itemize}
\item usage d'équivalents pour calculer des limites.

\item Probabilités, probabilité conditionnelles.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 13 : Matrices}
\label{sec:org5692484}

\begin{itemize}
\item Produit matrices \(\times\) colonne.
\item Produit de matrices.
\item Identité, matrice nulles.
\item Structures sur \(\Mm_{n}(\R)\).
\item Puissances de matrices carré.
\item Formule du binôme.
\item Inverse.
\item familles de vecteurs de \(\R^n\), \(\Vect(\_)\)
\item Famille libre et famille génératrice de \(\R^n\).

\item \textbf{New} Image et Noyau (que pour le cours).
\end{itemize}
\section*{Chapitre 14 : Limites et continuité}
\label{sec:org89ae323}

\begin{itemize}
\item Limites de fonctions, voisinages.
\item Limites à gauche et à droite.
\item Théorème d'encadrement, passage à la limite dans une inégalité, théorème de composition de limites.
\item Continuité en un point, continuité sur un intervalle.
\item Opérations sur les fonctions  continues.
\item Théorème des valeurs intermédiaires.
\item Théorème des bornes atteintes.
\item Théorème de la bijection.
\item Équivalents, négligeabilité, domination de fonctions.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 15 : Polynômes (que pour le cours)}
\label{sec:org0026d66}
\begin{itemize}
\item Polynôme
\item Degré
\item Opérations
\item Division Euclidienne
\end{itemize}
\end{document}