% Created 2026-03-27 ven. 00:08
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\date{}
\title{Semaine 24\\\medskip
\large Programme de colles}
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:org46721c3}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : limites usuelle ou équivalent usuel}
\label{sec:orgd331b87}
\begin{itemize}
\item Limites usuelles : 
\begin{itemize}
\item Limites des fonctions usuelles aux bornes de leur domaine
\item Croissances comparées
\item Taux d'accroissements
\end{itemize}

\item Équivalents usuels : \(u(x) \to 0\), équivalents de \(\exp(u) - 1, \ln(1 + u), \sin(u), \cos(u) - 1, \tan(u), (1 + u)^{\alpha} - 1, \sqrt{1 + u} - 1, \arctan(u), \arcsin(u)\)
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cet exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:org6abd03c}

\begin{itemize}
\item Énoncer le théorème ou\footnote{au choix du/de la colleur\cdt euse\label{org17a1026}} l'inégalité des accroissements finis. \hfill \emph{(Chap. 16B 2.2 thm 3 ou 2.3 thm 4)}

\item Énoncer la formule de \textsc{Taylor} pour  les polynômes. \hfill \emph{(Chap. 15A 4.2 thm 3)}

\item Définition de multiplicité d'une racine.  \hfill \emph{(Chap. 15B 3. def. 4)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:org362cac8}

Les exercices de cours "\emph{pour les plus courageux\cdottext euse}" peuvent être refusés (poliment) par l'élève, dans ce cas ellui se voit proposer une autre démonstration de cours de la liste, qui devra être parfaitement traitée.

\begin{enumerate}
\item Montrer que \(\alpha\) est racine de \(P\) de multiplicité au moins 2 si et seulement si \(\tilde{P}(\alpha) = 0\) et \(\tilde{P}'(\alpha) = 0\). \hfill \emph{(Chap. 15B 3. prop. 6)}

\item Montrer la règle de dérivation du produit à l'aide des développements limités d'ordre 1.

\item Exercice \cible \hfill \emph{(1 feuille 15.1)}
\begin{exo}
Montrer que \(\forall n \in \N^*\),
\[
   X^n - 1 = (X - 1) \sum_{k = 0}^{n - 1} X^k.
   \]

En déduire, pour \(a, b\in \C\) et \(n \in \N^*\), une factorisation de \(a^n - b^n\) par \((a - b)\).
\end{exo}
Preuve à faire\textsuperscript{\ref{org17a1026}} :
\begin{enumerate}
\item Par somme télescopique ou par changement d'indice, avec le corollaire \(a^n - b^n\).
\item par récurrence, sans le corollaire.
\end{enumerate}

\item \emph{pour les plus courageux\cdottext euse} \hfill \emph{(Chap. 15B prop 2. et 3.)}
\begin{itemize}
\item Montrer qu'un polynôme non-nul de degré \(d\) a au plus \(d\) racines distinctes par récurrence sur \(d\).
\item En déduire que si un polynôme possède plus de racines que son degré, c'est le polynôme nul et que deux polynômes qui coïncident en plus de points que leur degré sont égaux.
\end{itemize}

\item \emph{pour les plus courageux\cdottext euse} \hfill \emph{(Chap. 15B 2.1)}

Factoriser \(X^6 - 1\) de trois façons différentes (complexes, \((X^2)^3 - 1\) et \((X^3)^2 - 1\)).
\end{enumerate}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:orgf045ceb}

\begin{itemize}
\item \textbf{Retour} Probas (avec maintenant l'indépendance)

\item \textbf{New} Image et noyau de matrices. Liens avec la liberté, caractère générateur de la famille de vecteurs colonne de la matrice.

\item \textbf{New} Arithmétique sur les polynômes : division divisibilité
\end{itemize}
\subsection*{En exo supplémentaire}
\label{sec:org39331fb}

\begin{itemize}
\item Famille libre et famille génératrice \uline{de \(\R^n\)} ou \uline{\(\Mm_{n,1}(\R)\)}.

\item usage d'équivalents pour calculer des limites.

\item Probabilités, probabilité conditionnelles.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 13 : Matrices}
\label{sec:org74cce94}

\begin{itemize}
\item Produit matrices \(\times\) colonne.
\item Produit de matrices.
\item Identité, matrice nulles.
\item Structures sur \(\Mm_{n}(\R)\).
\item Puissances de matrices carré.
\item Formule du binôme.
\item Inverse.
\item familles de vecteurs de \(\R^n\), \(\Vect(\_)\)
\item Famille libre et famille génératrice de \(\R^n\).

\item \textbf{New} Image et Noyau (que pour le cours).
\end{itemize}
\section*{Chapitre 22 : Proba}
\label{sec:orgd8d5aba}

\begin{itemize}
\item Généralité : expérience, issue, univers, évènement, incompatibilité.
\item Système complet d'évènements
\item Probabilité, espace probabilisé, modélisation probabiliste.
\item Cas de l'équiprobabilité.
\item Lemme de découpage : \(B = \left(B \cap A\right) \cup \left(B \cap \bar A\right)\) et cette union est disjointe.
\item Probabilité conditionnelle.
\item Formule des proba totales.

\item \textbf{New} indépendance.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 14 : Limites et continuité}
\label{sec:org8c06419}

\begin{itemize}
\item Limites de fonctions, voisinages.
\item Limites à gauche et à droite.
\item Théorème d'encadrement, passage à la limite dans une inégalité, théorème de composition de limites.
\item Continuité en un point, continuité sur un intervalle.
\item Opérations sur les fonctions  continues.
\item Théorème des valeurs intermédiaires.
\item Théorème des bornes atteintes.
\item Théorème de la bijection.
\item Équivalents, négligeabilité, domination de fonctions.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 15 : Polynômes}
\label{sec:orgd984fda}
\begin{itemize}
\item Polynôme
\item Degré
\item Opérations
\item Division Euclidienne
\item Racines
\item Multiplicité
\end{itemize}
\section*{Chapitre 16 : Dérivation (que pour le cours)}
\label{sec:org54821e9}
\begin{itemize}
\item Nombre dérivé
\item Développements limités d'ordre 1
\end{itemize}
\end{document}