% Created 2026-04-02 jeu. 19:31
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\date{}
\title{Semaine 25\\\medskip
\large Programme de colles}
\hypersetup{
 pdfauthor={Basile Pillet},
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:orga0e97af}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : limites usuelle ou équivalent usuel}
\label{sec:org9e56e61}
\begin{itemize}
\item Limites usuelles : 
\begin{itemize}
\item Limites des fonctions usuelles aux bornes de leur domaine
\item Croissances comparées
\item Taux d'accroissements
\end{itemize}

\item Équivalents usuels : \(u(x) \to 0\), équivalents de \(\exp(u) - 1, \ln(1 + u), \sin(u), \cos(u) - 1, \tan(u), (1 + u)^{\alpha} - 1, \sqrt{1 + u} - 1, \arctan(u), \arcsin(u)\)

\item \(DL_1\) usuels (les mêmes que les équivalents)
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cet exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:org1e1c71b}

\begin{itemize}
\item Relations coefficients-racines (pour les termes de degrés \(0\) et \(n-1\)). \hfill \emph{(Chap. 15B 4.)}

\item Théorème de \textsc{Leibniz} pour les dérivées successives de fonctions ou\footnote{au choix du/de la colleur\cdt euse\label{org754a38b}} Théorème du binôme de \textsc{Newton}. \hfill \emph{(Chap. 16C thm. 2 ou 6B thm. 1)}

Attention à bien identifier les différences entre les deux.

\item Définition de sous-espace vectoriel.  \hfill \emph{(Chap. 18A def. 2)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:org4c862a1}

Les exercices de cours "\emph{pour les plus courageux\cdottext euse}" peuvent être refusés (poliment) par l'élève, dans ce cas ellui se voit proposer une autre démonstration de cours de la liste, qui devra être parfaitement traitée.

\begin{enumerate}
\item Montrer que \(x \mapsto x^2 \sin\left(\frac 1 x\right)\) prolongée par continuité en \(0\) est dérivable en \(0\), mais que sa dérivée n'est pas continue en \(0\). \hfill \emph{(Chap. 16C 1.)}

\item Soit \(d = \ens{(x,y) \in \R^2}{3y + 4x = 0}\).
Montrer que \(d\) est un sous-espace vectoriel de \(\R^2\). \hfill \emph{(Chap. 18A 3.)}

\item Exercice \cible \hfill \emph{(1 feuille 15.1)}
\begin{exo}
Montrer que \(\forall n \in \N^*\),
\[
   X^n - 1 = (X - 1) \sum_{k = 0}^{n - 1} X^k.
   \]

En déduire, pour \(a, b\in \C\) et \(n \in \N^*\), une factorisation de \(a^n - b^n\) par \((a - b)\).
\end{exo}
Preuve à faire\textsuperscript{\ref{org754a38b}} :
\begin{enumerate}
\item Par somme télescopique ou changement d'indice. Plus le corollaire \(a^n - b^n\).
\item Par récurrence.
\item \textbf{New} Par les racine \(n\)-èmes de l'unité.
\item \textbf{New} \emph{pour les plus courageux\cdt euse} par somme géométrique. Plus le corollaire \(a^n - b^n\).
\end{enumerate}

\item \emph{pour les plus courageux\cdt euse} \hfill \emph{(Chap. 16C 1.)}
Montrer que \(x \mapsto x^3 \sin\left(\frac 1 x\right)\) prolongée par continuité en \(0\) est de classe \(\Cc^1\) sur \(\R\) mais n'est pas dérivable deux fois en \(0\).
\end{enumerate}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:org04ab14a}

\begin{itemize}
\item \textbf{New} Factorisation de polynômes.

\item \textbf{New} Dérivabilité et prolongements.

\item \textbf{New} Rolle et accroissements finis : applications.
\end{itemize}
\subsection*{En exo supplémentaire}
\label{sec:org3362bcf}

\begin{itemize}
\item Arithmétique sur les polynômes

\item Image et noyau de matrices. Liens avec la liberté, caractère générateur de la famille de vecteurs colonne de la matrice.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 15 : Polynômes}
\label{sec:orgee83bd3}
\begin{itemize}
\item Polynôme
\item Degré
\item Opérations
\item Division Euclidienne
\item Racines
\item Multiplicité
\item Théorème de Taylor
\end{itemize}
\section*{Chapitre 16 : Dérivation}
\label{sec:orgf38136d}

\begin{itemize}
\item Dérivabilité, dérivée à droite et à gauche.
\item Développement limité à l'ordre 1.
\item Théorème de la limite de la dérivée.
\item Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis.
\item Classes de régularité, dérivée d'ordre supérieure, formule de Leibniz
\end{itemize}
\section*{Chapitre 18 : Espaces Vectoriels (que pour le cours)}
\label{sec:org39d1385}

\begin{itemize}
\item Espace Vectoriel.
\item Exemples.
\item Sous-espace vectoriel.
\end{itemize}
\end{document}