% Created 2026-05-09 sam. 18:06
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\setcounter{secnumdepth}{0}
\date{}
\title{Semaine 29\\\medskip
\large Programme de colles}
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\begin{document}

\maketitle
\thispagestyle{firststyle}
\section*{Questions de cours}
\label{sec:orgd03a8e2}

\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\triangle$}  Rapide : Développement limité usuels}
\label{sec:orgec0b391}
\begin{itemize}
\item DL usuels :
\begin{itemize}
\item à tout ordre en \(0\) : \(\exp, \sin, \cos, \dfrac {1} {1 \pm \_}, \ln(1 \pm \_), \arctan, (1 + \_)^\alpha\)
\item \(\tan\) jusqu'à l'ordre \(4\).
\item \(\sqrt{1 + \_}\) à l'ordre \(3\).
\end{itemize}
\end{itemize}

\emph{En cas de méconnaissance, jusqu'à 4 points peuvent être retirés de la note.} On ne s'attardera pas sur cet exercice, quel que soit le niveau de l'élève.
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\square$}  Récitation}
\label{sec:orgeb05008}

\begin{itemize}
\item Définition de \emph{dimension finie}, théorème de \emph{cardinalité des bases} et définition de \emph{dimension}. \hfill \emph{(Chap. 19A)}

\item Énoncer le théorème de transfert et son corollaire pour l'espérance. \hfill \emph{(Chap. 23B 2. thm 1. prop. 4)}

\item Énoncer les relations entre nombre de vecteurs d'une famille, liberté et caractère générateur. \hfill \emph{(Chap. 19A prop. 3 et 19B prop.1 thm. 1)}
\end{itemize}
\subsection*{\hspace{5em}\fbox{$\blacksquare$}  Démonstrations et exercices de cours.}
\label{sec:orgf0938f0}

Les exercices de cours "\emph{pour les plus courageux\cdottext euse}" peuvent être refusés (poliment) par l'élève, dans ce cas ellui se voit proposer une autre démonstration de cours de la liste, qui devra être parfaitement traitée.


\begin{itemize}
\item Trouver une base sur \(\R\) de \(\Im(A)\) où \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \end{pmatrix}\). \hfill \emph{(Chap. 19A 2.)}

\item On lance deux dés à 4 faces (tétraédriques) équilibrés et on note X le produit des résultats. Déterminer la loi de X.
\hfill \emph{(Chap. 23A 2.)}

\item Déterminer le rang de \((\cos, \arctan, t\mapsto \sqrt{1 + t^2})\) dans \(\Cc^0(\R,\R)\).
\hfill \emph{(Chap. 17B 2.2)}

\item \emph{pour les plus courageux\cdt euse}
Montrer qu'une famille finie de rang \(n\) d'un espace vectoriel de dimension \(n\) est génératrice. \emph{On sera particulièrement rigoureux sur les arguments utilisés.}
\end{itemize}
\section*{Méthodes à connaître et exercices élémentaires}
\label{sec:org0b6b491}

\begin{itemize}
\item \textbf{New} DL

\item \textbf{New} Somme de \textsc{Riemann}

\item \textbf{New} Famille libre et génératrice, base, coordonnées
\end{itemize}
\section*{Chapitre 18 : Espaces Vectoriels}
\label{sec:org1926144}

\textbf{Attention} en première année on ne considère que des familles finies.

\begin{itemize}
\item Espace Vectoriel.
\item Exemples.
\item Sous-espace vectoriel.
\item Vect
\item Cas particulier de \(\ker(A)\), des solutions d'un système homogène et des solutions d'une EDH.
\item Famille libre, génératrice, base et coordonnées.
\end{itemize}
\section*{Chapitre 20 : Intégration}
\label{sec:org5505933}
\begin{itemize}
\item Rappels.
\item Valeur moyenne.
\item Somme de Riemann.
\item Intégration par partie.
\item Changement de variable.
\item Intégrale d'une fonction impaire sur un domaine symétrique par rapport à \(0\).
\end{itemize}
\section*{Chapitre 17 : DL}
\label{sec:orgaa244c3}
\begin{itemize}
\item DL usuels.
\item Opérations sur les DL.
\end{itemize}
\section*{Chapitre  23 : Variables aléatoires (que pour le cours)}
\label{sec:orgc8c942e}
\end{document}