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%\parindent0pt
\begin{document}


\normalsize{

%\begin{center}
%\textbf{CHAPITRE 1}
%\end{center}

%\begin{center}
%\large{\textbf{Organisation g\'en\'erale de la mati\`ere}}
%\end{center}
\begin{center}
\large{\textbf{TD5: Ph\'enom\`enes ondulatoires}}
\end{center}
\\

%\underline{Consigne:}

%$\triangleright$ Vous pouvez vous appuyer sur le tableau p\'eriodique si n\'ecessaire.

\small{CAPACIT\'ES TRAVAILL\'EES:}

$\triangleright$ Reconnaître une avance ou un retard de phase. Passer d’un décalage temporel à un déphasage
et inversement: TLB1.

$\triangleright$ Repérer précisément le passage par un déphasage de $0$ ou $\pi$ en mode XY: ex1.

$\triangleright$ Identifier une ellipse avec sa représentation
paramétrique ($x = a \cos(\omega t)$, $y = b \cos(\omega t-\phi)$)
et la tracer dans les cas particuliers $\phi = 0$, $\phi = \pi/2$ et $\phi = \pi$: ex1.

$\triangleright$ \small{\textit{Exprimer les conditions d’interférences
constructives ou destructives}}: TLB2,5, ex3.

$\triangleright$ \small{\textit{Utiliser la relation $\theta\simeq\frac{\lambda}{a}$ entre l’échelle angulaire
du phénomène de diffraction et la taille caractéristique de l’ouverture}}: TLB3,4, ex2.

$\triangleright$ \small{\textit{Utiliser l’expression reliant l’énergie d’un photon à la fréquence}}: ex4.

$\triangleright$ \small{\textit{Caractériser une source lumineuse par son spectre. Relier la longueur d’onde dans le vide et la couleur}}: ex2,4.

$\triangleright$ \small{\textit{Relever des longueurs d’onde sur un spectre}}: ex4.

\section{Questions de cours}

\textbf{QC1}: D\'ephasage entre deux signaux sinuso\"idaux de m\^eme pulsation; valeurs particuli\`eres

\textbf{QC2}: Diffraction; conditions d'observation

\textbf{QC3}: Interférences constructives ou destructives; conditions d'observation

\textbf{QC4}: Modélisations de la lumière

\section{Tester les bases}

\textbf{TLB1: D\'ephasage entre deux signaux sinuso\"idaux}

On repr\'esente graphiquement les signaux d'\'equation $x_1(t)=X_1\sin(\omega t)$ et $x_2(t)=X_2\cos(\omega t)$, qui correspondent chacun \`a la position alg\'ebrique d'un point d'un objet oscillant sans amortissement le long d'un axe (Ox) par rapport \`a sa position d'\'equilibre O.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm, keepaspectratio, angle=0]{dephasage.png}
\end{center}
%%\caption{Autoclave \`a usage m\'edical}
\end{figure}

1. D\'eterminer la p\'eriode $T$ ainsi que les amplitudes $X_1$ et $X_2$ des signaux $x_1(t)$ et $x_2(t)$.

2. D\'eterminer si le signal $x_2(t)$ est en avance ou en retard de phase par rapport \`a $x_1(t)$.

3. Calculer le d\'ephasage du signal $x_2(t)$ par rapport au signal $x_1(t)$, en radian puis en degr\'e.
\\

%\textbf{TLB1: superposition d'ondes}

%Deux ondes progressives se propagent en sens contraire sur une corde.
%La situation est schématisée ci-dessous à l'instant initial.

%\begin{figure}[h!]
%\begin{center}
%\includegraphics[width=6cm, keepaspectratio, angle=0]{ondesdroitegauche.png}
%\end{center}
%%\caption{Lentilles \`a bords minces}
%%\label{test}
%\end{figure}

%1. Justifier que ces ondes sont de nature m\'ecanique.

%2. Tracer l'allure de la corde à différents instants. Commenter.

%3. Quelle grandeur physique pourrait constituer un signal pertinent aux points A et B?

%4. Représenter sur un m\^eme graphique l'allure des signaux $s_A(t)$ et $s_B(t)$ aux points A et B respectivement.
%\\

\textbf{TLB2: Exp\'erience des fentes d'Young}

Dans le dispositif des fentes d'Young, on \'eclaire deux fentes $F_1$ et $F_2$ fines et parall\`eles \`a l'aide d'un laser, qui est mod\'elis\'e par une source lumineuse directive et monochromatique. On observe sur un \'ecran une alternance de franges brillantes et de franges sombres.

L'aspect de l'\'ecran vu de face, quand l'exp\'erience est r\'ealis\'ee dans un environnement sombre, est repr\'esent\'e ci-dessous \`a droite:
\\

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=16cm, keepaspectratio, angle=0]{dispYoung.png}
%\caption{Lentilles \`a bords minces}
%\label{test}
\end{figure}

1. Qualifier les interf\'erences en $A$ et en $B$ sur l'\'ecran.

2. Ci-dessous sont repr\'esent\'ees les \'evolutions temporelles du signal $s(t)$ associ\'e \`a trois ondes (a), (b) et (c) au niveau d'un point de l'\'ecran. Choisir, en justifiant, les deux ondes qui interf\`erent en $A$ et les deux ondes qui interf\`erent en $B$.
\\

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=16cm, keepaspectratio, angle=0]{ondesabc.png}
%\caption{Lentilles \`a bords minces}
%\label{test}
\end{figure}

\textbf{TLB3: Acoustique d'une salle de spectacle}

%L’étude de l’acoustique d’une salle de spectacle nécessite notamment de prendre en compte les
%différents phénomènes liés à la propagation des ondes sonores : interférences, diffraction,
%atténuation.
%\\

Une salle de concert est généralement un espace clos. Cependant, si sa porte est ouverte, le concert peut être entendu par une personne située à
l’extérieur, même lorsque l'orchestre reste hors de sa vue.

En se plaçant devant la porte, on peut entendre toute la gamme des sons. Cependant,
si on se place sur le côté, on entend surtout les sons graves, et très peu les sons aigus.

Dans les questions suivantes on s’intéresse au phénomène de diffraction d'ondes sonores sinuso\"idales. On mod\'elise la situation décrite ci-dessus par le schéma suivant :

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm, keepaspectratio, angle=0]{diffractionson.png}
\end{center}
\caption{Diffraction d'une onde sonore par une ouverture de largeur $a$}
\end{figure}

On rappelle que l’expression de l’angle $\theta$ caract\'eristique de la diffraction en fonction de la largeur de l’ouverture, notée $a$, et de la longueur d’onde $\lambda$ de l'onde sonore est : $\sin(\theta) = \frac{\lambda}{a}$.

1. Montrer que l’expression de l’angle d’ouverture $\theta$ en fonction de la largeur de l’ouverture $a$,
de la fréquence $f$ de l’onde et de sa vitesse de propagation $c$ est :
$\theta = \arcsin\left( \frac{c}{f \times a}\right)$, o\`u $\arcsin$ d\'esigne la fonction arcsinus, fonction r\'eciproque de la fonction sinus.
\\

Deux ondes sonores sont produites par un orchestre. Elles sont caractérisées par deux fréquences
typiques : $f_1 = 440$ Hz et $f_2 = 4\times f_1 = 1 760$ Hz.

2. Calculer les angles $\theta_1$ et $\theta_2$ correspondant respectivement aux fréquences $f_1$
et $f_2$.

3. Schématiser de façon cohérente la situation, en représentant les angles correspondants $\theta_1$ et $\theta_2$ après passage du son par l’ouverture. Commenter alors la phrase : « Cependant, si on se place sur le côté, on entend surtout les sons graves, et très peu les sons aigus ».
\\

\underline{Données :}

\begin{itemize}
\item fréquences $f$ audibles par l’oreille humaine : $20$ $H$z $< f < 20$ k$H$z ;
\item c\'el\'erit\'e dans l’air d’une onde sonore ou ultrasonore $c = 343$ m$\cdot$s$^{-1}$ à $20^\circ C$ ;
\item largeur de la porte de l’auditorium : $a = 1,0$ m.\\
\end{itemize}
\\

\textbf{TLB4: Mesure de la longueur d'onde d'un laser}


Le montage sch\'ematis\'e ci-dessous, qui permet d'\'etudier la diffraction par une fente rectangulaire d'une onde lumineuse \'emise par un laser, est réalisé avec une fente de largeur connue.%une diapositive comportant une fente de largeur connue.
\\

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=9cm, keepaspectratio, angle=0]{montage.png}
\end{center}
%\caption{Sch\'ema du montage de diffraction}
\end{figure}

Une série de mesures est effectu\'ee avec une distance $D = (1800 \pm 2)$ mm entre la fente et l'\'ecran. Les résultats obtenus
sont consignés dans le tableau suivant :

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm, keepaspectratio, angle=0]{tableaumesures.png}
\end{center}
%\caption{Montage de diffraction}
\end{figure}

\underline{Données :}

\begin{itemize}
\item approximations des petits angles, exprimés en radians : sin($\theta) \simeq \theta$ et tan($\theta)\simeq\theta$ ;
\item relation théorique entre l’angle de diffraction $\theta$ et la valeur de la largeur $a$ de la fente : $\sin(\theta)=\frac{\lambda}{a}$;
\item accord d’une mesure avec une valeur de référence : on compare, le cas échéant, le résultat d’une mesure $x$ à une valeur de référence $x_{réf}$ en utilisant le quotient $z=\frac{|x-x_{réf}|}{u(x)}$ où $u(x)$ est l’incertitude-type associée au résultat. Si $z\leq 2$, on consid\`ere que le r\'esultat de la mesure est en accord avec la valeur de r\'ef\'erence.\\
\end{itemize}
\\

1. En vous appuyant sur un raisonnement g\'eom\'etrique et l'approximation des petits angles, exprimer l’angle de diffraction $\theta$ en fonction de la largeur $L$ de la tache centrale et de la distance $D$. Compl\'eter alors le tableau avec une troisi\`eme ligne contenant la valeur de l'angle $\theta$ en radian.
\\

%En utilisant un tableur et la relation précédente, on obtient le tableau suivant :

%\begin{figure}[h!]
%\begin{center}
%\includegraphics[width=16cm, keepaspectratio, angle=0]{tableaumesures2.png}
%\end{center}
%\end{figure}

Un script écrit en langage python permet de tracer $\theta =$ f(1/a). On obtient la figure
ci-dessous dans laquelle $\theta$ est noté théta et $1/$a est noté inv$\_$a :
\\

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=18cm, keepaspectratio, angle=0]{graphe.png}
\end{center}
\caption{Gauche: trac\'e de $\theta=f(1/a)$; droite: indication de la console}
\end{figure}

2. Justifier, dans le cadre de l'approximation des petits angles, que la pente de la droite mod\`ele est \'egale \`a la longueur d’onde $\lambda$ du laser utilisé.

3. D\'eterminer la valeur de la longueur d'onde $\lambda$ du laser. En d\'eduire la couleur de la lumi\`ere qu'il \'emet.

4. D\'eterminer si la valeur de $\lambda$ mesurée est en accord avec la longueur d’onde $\lambda_{réf} = 650$ nm indiquée
sur la notice fournie par le constructeur.
\\

\textbf{TLB5: Interf\'erences entre ondes ultrasonores}

%Dans les questions suivantes, on s’intéresse au phénomène d’interférences susceptible d’intervenir
%à la suite des réflexions d’une onde sonore dans une salle de spectacle. On transpose l’étude dans
%le domaine des ondes ultrasonores.

Pour \'etudier le ph\'enom\`ene d'interf\'erences entre ondes ultrasonores, on utilise le dispositif ci-dessous, dans lequel les deux émetteurs d’ultrasons sont reliés à un même générateur.

La distance latérale entre les deux émetteurs $E_1$ et $E_2$ a pour valeur $e = 15$ cm. La distance
commune entre les émetteurs et l’axe (Ox) sur lequel se déplace le récepteur $a$ pour valeur
$D = 50$ cm.
\\

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=16cm, keepaspectratio, angle=0]{interferencesson.png}
\caption{Dispositif exp\'erimental d'\'etude des interf\'erences d'ondes ultrasonores}
\end{figure}

On relève la tension délivrée par le récepteur en fonction de la position du récepteur
repérée par son abscisse $x$ et on repère la position des maxima.
\\

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm, keepaspectratio, angle=0]{interfranges.png}
\end{center}
\caption{Position expérimentale des maxima de tension; interfranges i$_1$ à i$_4$}
\end{figure}

1. Relever les valeurs des interfranges et calculer leur moyenne $i$.

%2. Par un raisonnement g\'eom\'etrique et en utilisant la relation $\sqrt{1+x}\simeq 1+\frac{x}{2}$, valable pour $x\ll 1$, 

2. Rappeler la d\'efinition de la diff\'erence de chemin $\delta$ au niveau du r\'ecepteur entre les ondes \'emises par les deux \'emetteurs. Rappeler la condition portant sur $\delta$ et la longueur d'onde $\lambda$ des ondes ultrasonores pour observer des interf\'erences constructives au point $R$.
\\

Par un raisonnement g\'eom\'etrique dans l'approximation des petits angles, on peut montrer que la différence des distances entre chaque émetteur et le récepteur v\'erifie :
\begin{eqnarray}
E_2R-E_1R\simeq\frac{ex}{D}.\nonumber
\end{eqnarray}

3. En d\'eduire une condition d’interférences constructives portant sur $x$, puis que la distance entre deux maxima de tension consécutifs (l'interfrange) s’écrit $i = \frac{\lambda D}{e}$.

4. En déduire la valeur de la fréquence des signaux délivrés par les émetteurs. Commenter.

\section{Exercices}

\normalsize{\textbf{Exercice 1: D\'ephasage en mode XY}}
\\

Un \textbf{oscilloscope bicourbe} permet d'afficher simultan\'ement \`a l'\'ecran deux signaux $s_1(t)$ et $s_2(t)$, lorsqu'il est r\'egl\'e en mode temporel. On peut aussi le r\'egler en \textbf{mode XY} pour observer le signal $s_2$ en fonction du signal $s_1$: $s_2(s_1)$.
\\

Pour deux signaux sinuso\"idaux de m\^eme fr\'equence, un choix particulier d'origine des temps permet d'\'ecrire $s_1(t)=A_1\cos(\omega t)$ et $s_2(t)=A_2\cos(\omega t+\Delta\phi)$, o\`u $\Delta \phi$ est le d\'ephasage du signal $s_2(t)$ par rapport au signal $s_1(t)$. Il s'agit de la \textbf{repr\'esentation param\'etrique} d'une \textbf{ellipse}, dont la repr\'esentation graphique est par exemple:
\\

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm, keepaspectratio, angle=0]{XYellipse.png}
\end{center}
%%\caption{Structure cristalline de l’oxyde ferreux}
\end{figure}

Pour certaines valeurs de d\'ephasage, on observe que la courbe observ\'ee en mode XY a une allure particuli\`ere. Nous allons le justifier ci-dessous.
\\

1. Rappeler comment on qualifie les signaux $s_2$ et $s_1$ lorsque le d\'ephasage s'annule. Exprimer $s_2(t)$ et $s_1(t)$ et montrer que $s_2(s_1)$ a une expression simple. En d\'eduire que la courbe observ\'ee en mode XY est un segment de droite avec une pente positive.

2. Rappeler comment on qualifie les signaux $s_2$ et $s_1$ lorsque le d\'ephasage vaut $\pi$ ($\Delta\phi=\pi$). Montrer alors que $s_2(s_1)$ a une expression simple. En d\'eduire que la courbe observ\'ee en mode XY est un segment de droite avec une pente n\'egative.

3. Expliquer comment le mode XY permet de rep\'erer avec pr\'ecision un d\'ephasage $\Delta\phi=0$ ou $\Delta\phi=\pi$.

4. On suppose \`a pr\'esent que $A_1=A_2$. Exprimer $s_2$ dans le cas particulier o\`u $\Delta\phi=\pi/2$ et utiliser une relation de trigonom\'etrie pour remplacer la fonction cosinus par une fonction sinus. En utilisant la propri\'et\'e $\cos^2+\sin^2=1$, montrer qu'en mode XY on observe un cercle.
\\

\textbf{Exercice 2: Diam\`etre d'une corde de guitare}
\\

%adapt\'e de sp\'e SI Mayotte 2022

%Les guitares classiques utilisent des cordes en nylon. Les cordes aigües sont
%pleines, tandis que les cordes graves ont une âme en nylon recouverte d’un filetage métallique.
%Sur les guitares folks et les guitares électriques, toutes les cordes sont métalliques.
%Ce que l’on appelle le tirant de cordes correspond au diamètre des cordes. Le tirant est
%généralement exprimé de 2 façons :
%- À l’aide d’appellations du type « light », « extra-light », « regular ». . . Lorsqu’on est habitué
%à une marque de cordes, ces indications permettent de s’y retrouver facilement. Hélas,
%ces appellations ne sont pas très fiables puisque d’une marque à l’autre les termes ne correspondent
%pas toujours au même tirant.
%- En indiquant le diamètre de la corde la plus aigüe puis de la corde la plus grave en
%millièmes de pouces. Par exemple un tirant de corde de « 9-42 » correspond à un diamètre de
%0,009 pouces pour la corde aigüe et 0,042 pouces pour la corde grave. Au début, il n’est pas
%toujours facile de s’y retrouver dans les chiffres, mais lorsqu’on commence à s’y habituer,
%c’est une indication fiable qui peut facilement être comparée d’une marque à l’autre.
%Extrait de www.instinctguitare.com
On cherche \`a mesurer le diamètre d’une corde de guitare afin de v\'erifier l'indication port\'ee par sa pochette: 
"$.004$ inch". Pour ce faire, on utilise le montage de diffraction d'ondes lumineuses par un fil sch\'ematis\'e ci-dessous.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm, keepaspectratio, angle=0]{diffractionfil.png}
\end{center}
%\includegraphics[width=6cm, keepaspectratio, angle=0]{watashihaumamigadaisukidesuyo.png}
%\caption{Schématisation de la structure interne de l'oeil humain}
%\label{test}
\end{figure}

%L'angle caract\'eristique de la diffraction, not\'e $\theta$, d\'epend de la longueur d'onde $\lambda$ et de l'\'epaisseur de la fente, not\'ee a:
%\begin{eqnarray}
%\sin(\theta)=\frac{\lambda}{a}.\nonumber
%\end{eqnarray}
%Cette relation est vraie pour une fente rectangulaire.
%\\

%Deux objets sont dits complémentaires si les parties opaques
%de l’une correspondent à des parties transparentes de
%l’autre et inversement. D'apr\`es le théorème de Babinet, les figures de diffraction de deux
%objets complémentaires sont identiques.

%Par exemple, la figure de diffraction d’un fil de diamètre $a$
%est identique à celle d’une fente de largeur $a$.
%\\

%\begin{figure}[h!]
%\begin{center}
%\includegraphics[width=6cm, keepaspectratio, angle=0]{filfente.png}
%\end{center}
%\includegraphics[width=6cm, keepaspectratio, angle=0]{watashihaumamigadaisukidesuyo.png}
%\caption{Fil et fente compl\'ementaires, donnant lieu \`a la m\^eme figure de diffraction}
%\label{test}
%\end{figure}

%On réalise au laboratoire une expérience afin d’illustrer le principe de la mesure de la taille
%d’un objet de faible dimension en mesurant le diamètre d’un fil par diffraction.

Lors de l’expérience, on intercale successivement cinq fils calibrés (de diamètres $a$ connus) sur le trajet d’un faisceau laser de longueur d’onde $\lambda$. Sur un écran blanc placé à une distance $D$ du fil utilisé, on observe une figure de diffraction : $L$ représente la largeur de la tache centrale de diffraction et $\theta$ l’angle caractéristique de la diffraction.
\\

\underline{Données :}
\begin{itemize}
\item approximations des petits angles, exprimés en radians : sin$(\theta)\simeq \theta$ et tan$(\theta)\simeq \theta$, o\`u sin d\'esigne la fonction sinus et tan la fonction tangente;
\item le résultat d’une mesure est considéré en accord avec une valeur de référence si la valeur de l'\textbf{\'ecart normalis\'e} $z=\frac{|x-x_{\mathrm{ref}}|}{u(x)}$ est inférieure ou égale à 2, avec $x$ la valeur mesurée, $x_{\mathrm{ref}}$ la valeur de référence et $u(x)$ l’\textbf{incertitude-type}.\\ %associ\'ee \`a $x$.\\
\end{itemize}
\\

1. Rappeler l'expression approch\'ee de l'angle de diffraction $\theta$ en fonction de la longueur d'onde $\lambda$ du laser et de l'\'epaisseur $a$ du fil.

2. Comme l’angle caractéristique de diffraction est petit, la largeur de la
tache centrale de diffraction peut s’exprimer sous la forme : $L=k\frac{1}{a}$. D\'eterminer l’expression
de la constante $k$ en fonction de $D$ et $\lambda$.

3. La figure ci-après représente $L=f(1/a)$. Déterminer graphiquement la valeur de la constante $k$ en m$^2$.
\\%La figure ci-après représente $L=f(1/a)$, largeur de la tache centrale de diffraction en fonction
%de l’inverse du diamètre des fils calibrés.
%\\

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm, keepaspectratio, angle=0]{la.png}
\end{center}
%\includegraphics[width=6cm, keepaspectratio, angle=0]{watashihaumamigadaisukidesuyo.png}
%\caption{Schématisation de la structure interne de l'oeil humain}
%\label{test}
\end{figure}

Afin d’en mesurer le diamètre, l’expérience précédente a été reproduite dans les mêmes
conditions expérimentales, mais avec la corde de guitare \`a tester.

La mesure de la largeur de la tache centrale de diffraction a donné : $L = 17,0$ mm.
L’incertitude-type sur la mesure réalisée est : $u(L) = 0,5$ mm.

La modélisation du \textbf{nuage de points} $L = f(1/a)$ par un tableur-grapheur a fourni la valeur de la
constante $k$ avec son incertitude-type associée : $k= 1,67 \times 10^{-6} $m$^2$ et $u(k)= 0,04\times 10^{-6}$m$^2$.

4. Calculer la valeur expérimentale du diamètre a$_{g}$ de la corde de guitare, puis son incertitude-type associée, sachant que cette derni\`ere v\'erifie:
\begin{eqnarray}
u(a_{g})=a_{g}\sqrt{\left(\frac{u(L)}{L}\right)^2+\left(\frac{u(k)}{k}\right)^2}.\nonumber
\end{eqnarray}

5. Comparer $a_g$ avec la valeur annoncée par le fabricant, sachant qu'un pouce ("inch" en anglais) vaut $2,5$ cm.
\\

\textbf{Exercice 3: Le trombone de Koenig}
\\

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm, keepaspectratio, angle=0]{trombone.png}
\end{center}
\caption{Dispositif exp\'erimental du trombone de Koenig}
\end{figure}

Le trombone de Koenig est un dispositif permettant de déterminer la célérité des ondes acoustiques. Il est composé de deux tubes en forme de U emboîtés l'un dans l'autre. Le premier est fixe, le second est mobile. Un haut-parleur, alimenté par un générateur de signaux basse fréquence, émet un son de fréquence fixe, qu'on peut mod\'eliser par une onde sinuso\"idale progressive qui se scinde en deux pour se propager dans les deux tubes. Un microphone branché sur un oscilloscope mesure le signal r\'esultant de l'addition des deux ondes à la sortie du dispositif. %On suppose que les ondes ont la même amplitude dans les deux tubes et que leur propagation a lieu sans amortissement.

Lorsque le tube mobile est enfoncé au maximum (décalage nul), le dispositif est symétrique et les deux chemins suivis par les ondes ont la même longueur. Lorsque le tube mobile est tiré, les deux chemins suivis ont des longueurs différentes.
\\ %Deux cas de figure sont illustr\'es ci-dessous (Exp\'erience 1 et exp\'erience 2).% : les ondes interfèrent.
%\\

%D’après la Mission de Sauvegarde du Patrimoine Scientifique Technique Contemporain (patstec.fr) 
%\\

%L'objectif est de déterminer la célérité des ondes acoustiques dans l'air à $20^\circ C$.

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=15cm, keepaspectratio, angle=0]{fig2.png}
\includegraphics[width=15cm, keepaspectratio, angle=0]{fig3.png}
\caption{Haut: le tube mobile est décalé vers la droite d’une distance $d$ (le sens de propagation des signaux est
représenté par une flèche) – Expérience 1; Bas: le tube mobile est décalé vers la droite d’une distance $D$ (le sens de propagation des signaux est
représenté par une flèche) – Expérience 2}
\end{figure}

%\begin{figure}[h!]
%\includegraphics[width=15cm, keepaspectratio, angle=0]{fig3.png}
%\caption{Le tube mobile est décalé vers la droite d’une distance $D$ (le sens de propagation des signaux est
%représenté par une flèche) – Expérience 2}
%\end{figure}

1. Justifier en quoi le trombone de Koenig est un dispositif qui vérifie les conditions nécessaires
à l’observation d’interférences au niveau du microphone.
\\

Sur l’écran de l’oscilloscope, on observe la figure suivante. On pr\'ecise que la voie CH1 est reliée au GBF et la voie CH2 est reliée au microphone.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm, keepaspectratio, angle=0]{fig4.png}
\end{center}
%\caption{\'Ecran d'oscilloscope}
\end{figure}

2. Préciser le type d’interférences observé sur la figure 5 et indiquer, en justifiant, si celle-ci est associée à
l’expérience 1 ou à l’expérience 2.
\\

Pour l’expérience 2, on définit $\delta$, la différence de chemin entre l’onde circulant dans le
tube en U fixe et l’onde circulant dans le tube en U mobile.

3. Exprimer $\delta$ en fonction de $D$.

4. Rappeler la relation entre $\delta$ et $\lambda$, la longueur d’onde du signal sonore, dans le cas
d’interférences constructives. On introduira dans cette relation un nombre entier positif $k$.

5. Montrer, à l'aide des questions 3 et 4, que pour tout $k$ entier positif, la distance de décalage
correspondante $D_k$, conduisant à des interférences constructives, peut se mettre sous la
forme :
\begin{eqnarray}
D_k=\frac{kv}{2f},\nonumber
\end{eqnarray}
avec v la célérité de l’onde sonore dans le trombone en m$\cdot$s$^{-1}$ et f la fréquence de l’onde sonore dans le trombone en Hz.
\\

6. Le plus petit décalage $D_1$ permettant d’observer à l’écran des interférences
constructives est $D_1 = 4,35$ cm pour une fréquence de l'onde sonore $f = 4 032$ Hz. En déduire la valeur de la célérité de l’onde sonore se propageant dans le trombone de
Koenig. Commenter.
\\

On souhaite automatiser la détermination de la célérité v des ondes acoustiques, en exploitant
toutes les valeurs $D_k$ mesurées, à l’aide du programme écrit en langage python ci-dessous.
\\

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=16cm, keepaspectratio, angle=0]{pgpython.png}
\caption{Programme permettant de déterminer la célérité et la longueur d'onde des ondes acoustiques}
\end{figure}

7. Expliquer l'intérêt des lignes 8 et 9 dans le programme.

8. Proposer à la ligne 16, à l'aide des grandeurs définies dans le programme, une formule
permettant de calculer la longueur d'onde $\lambda$ des ondes acoustiques.
\\

\textbf{Exercice 4 : laser n\'eodyme-YAG}
\\

%Le principe de télémétrie d'un lidar est similaire à celui d'un sonar: ici, une onde électromagnétique émise se réfléchit sur une surface; la mesure de la durée mise par le signal pour effectuer l’aller-retour permet de calculer la distance, connaissant la c\'el\'erit\'e (autrement dit, la vitesse de propagation) de l’onde dans le milieu considér\'e.
%\\

%Un lidar topographique utilise une seule longueur d’onde (en général $\lambda= 1064$ nm) alors
%qu'un lidar bathymétrique (pour mesurer la profondeur de l'eau) émet deux longueurs d’onde différentes: $\lambda = 1064$ nm (qui se
%réfléchit à la surface de l’eau) et $\lambda= 532$ nm (qui pénètre dans l’eau et se réfléchit sur le fond marin).
%\\

On s’intéresse au rayonnement issu d’un laser de type YAG dopé au néodyme (laser Nd-YAG), couramment utilis\'e dans les laboratoires de physique.

Un extrait de sa notice est reproduit ci-dessous:
\\

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=13cm, keepaspectratio, angle=0]{notice.png}
%\caption{Montage du titrage (gauche) et zoom sur les graduations de la burette lorsqu'on a rep\'er\'e l'\'equivalence (droite)}
\end{figure}

\underline{Données:}
\begin{itemize}
\item conversion \'electronvolt $\rightarrow$ joule: $1 $e$V  = 1,60\times 10^{-19} J$ ;
\item constante de Planck: h $= 6,63\times 10^{-34} J\cdot s$.\\
\end{itemize}
\\
%- domaine des ondes électromagnétiques :

%\begin{figure}[h!]
%\includegraphics[width=16cm, keepaspectratio, angle=0]{domaines.png}
%\caption{Montage du titrage (gauche) et zoom sur les graduations de la burette lorsqu'on a rep\'er\'e l'\'equivalence (droite)}
%\end{figure}

1. Identifier le domaine d'onde \'electromagn\'etique auquel appartient le rayonnement émis par le laser Nd-YAG.

2. Justifier qu'avec un dispositif doubleur de fr\'equence, le rayonnement produit par ce laser deviendrait vert.

%2. Rappeler la formule de Planck, qui relie l'\'energie $E$ d'un photon, la fr\'equence $\nu$ de l'onde \'electromagn\'etique qui lui est associ\'ee, et la constante de Planck $h$.

%3. Rappeler la formule qui relie la longueur d'onde $\lambda$ d'une onde \'electromagn\'etique sinuso\"idale, sa c\'el\'erit\'e $c$ et sa fr\'equence $\nu$.

%4. Avec un dispositif doubleur de fr\'equence, on peut multiplier par deux la fr\'equence des ondes \'emises par le laser. D\'eterminer si cette onde est visible ou non.

3. Calculer l'énergie $E$ d'un photon émis par le laser Nd-YAG non doubl\'e en fr\'equence.
\\

Un diagramme énergétique de la partie \'emettrice du laser Nd-YAG (ion n\'eodyme Nd$^{3+}$) est fourni ci-dessous.% (figure 1 page suivante).

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=16cm, keepaspectratio, angle=0]{niveauxE.png}
%\caption{Diagramme des niveaux d'\'energie de l'ion n\'eodyme Nd$^{3+}$}
\end{figure}

4. Vérifier, par un calcul, que les niveaux d’énergie mis en jeu lors de l’émission du faisceau laser sont $E_2$ et $E_4$. Représenter cette transition par une flèche sur le diagramme.

5. On mod\'elise souvent un laser par une source lumineuse monochromatique. Discuter ce mod\`ele au vu du spectre du laser, fourni ci-dessous.
\\
%7. Déterminer l'ordre de grandeur du nombre maximal de photons émis pendant une impulsion.

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=16cm, keepaspectratio, angle=0]{intensite.png}
\caption{Spectre du laser, obtenu gr\^ace \`a un spectrom\`etre \`a fibre optique}
\end{figure}

%\textbf{Exercice 5: onde stationnaire le long d'une corde (H.P.)}
%\\

%Une \textbf{onde stationnaire} est le résultat de la superposition d'une onde incidente et d'une onde réfléchie de même fréquence et même célérité. Une onde stationnaire se propage dans son milieu mais ne progresse pas.
%\\

%\begin{figure}[h!]
%\begin{center}
%\includegraphics[width=10cm, keepaspectratio, angle=0]{ondestationnaire.png}
%\end{center}
%\caption{Photographie d'un onde stationnaire le long d'une corde}
%\end{figure}

%%TSI pr\'epa sciences p.15 ex 1.7.

%Une corde AB a une extr\'emit\'e B fixe et l'autre extr\'emit\'e A actionn\'ee transversalement par un vibreur de fr\'equence f $=100$Hz.

%La c\'el\'erit\'e des ondes transversales sur la corde est c $=25$ m$\cdot$s$^{-1}$.
%\\

%1. L'onde progressive sinuso\"idale se propage de A vers B, dans le sens des $x$ croissants. Dans le rep\`ere (Ox), d'origine O choisie en un point quelconque de la corde, l'\'equation horaire de O est $y_O(t)=a\cos(\omega t)$, $a$ \'etant l'amplitude, suppos\'ee constante tout le long de la corde.

%1.a. Donner l'\'equation horaire $y_M(t)$ d'un point M de la corde, d'abscisse $x$.

%1.b. D\'eterminer la pulsation $\omega$ et la longueur d'onde $\lambda$.
%\\

%2. L'onde se r\'efl\'echit en B en subissant un d\'ephasage $\phi$. Pour simplifier, on prendra maintenant l'origine du rep\`ere en B.

%2.a. Exprimer les \'elongations $y_{Bi}(t)$ due \`a l'onde incidente et $y_{Br}(t)$ due \`a l'onde r\'efl\'echie, et montrer que $\phi=\pi$.

%2.b. Pour un point M d'abscisse x (n\'egative), exprimer $y_{Mi}(t)$ et $y_{Mr}(t)$, puis l'\'elongation $y_M(t)$ r\'esultant de la superposition des deux ondes.
%\\

%On rappelle la formule de trigonom\'etrie: $\cos(a)-\cos(b)=-2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)$.

%2.c. Montrer que certains points, appel\'es \textbf{n\oe uds de vibration}, n'oscillent pas du tout. Interpr\'eter ce fait \`a l'aide de la notion de d\'ephasage entre les ondes incidente et r\'efl\'echie. D\'eterminer la distance qui les s\'epare.

%2.d. Montrer que certains points, appel\'es \textbf{ventres de vibration}, oscillent maximalement. Interpr\'eter ce fait \`a l'aide de la notion de d\'ephasage entre les ondes incidente et r\'efl\'echie. D\'eterminer la distance qui les s\'epare.
%\\

\section{R\'esolution de probl\`emes}
\\

\textbf{RP1: Lampe et photons}
\\

\'Evaluer l'ordre de grandeur du nombre de photons \'emis chaque seconde par une lampe de puissance $P=100W$.
\\

\textbf{RP2: l'exp\'erience "laser-Lune"}
\\

L'exp\'erience "laser-Lune" de l'Observatoire de la C\^ote d'Azur (OCA) a pour but la d\'etermination pr\'ecise de la distance Terre-Lune et de ses variations.

Le principe est la mesure de la dur\'ee d'aller-retour d'une impulsion laser \'emise du sol terrestre vers un r\'eflecteur lunaire, soit $\tau=2,56$ s entre l'\'emission d'une impulsion et la r\'eception du signal de retour correspondant. %Actuellement, la distance Terre-Lune est d\'etermin\'ee au centim\`etre pr\`es, l'incertitude-type sur la mesure de $\tau$ \'etant de $u(\tau)\simeq 100$ps.

On utilise un laser de longueur d'onde $\lambda=532$ nm (laser Nd-YAG doubl\'e). Le diam\`etre du faisceau \`a la sortie du laser est de $1,2$ cm. Le laser \'emet une centaines d'impulsion de 10 s. Chaque impulsion du laser \'emet une \'energie E $=0,3$ J sur une dur\'ee de $0,03$ $\mu$s.

Le r\'eflecteur lunaire est un panneau compos\'e d'une mosa\"ique d'\'el\'ements catadioptriques, de type "coin de cube". La proportion moyenne des photons d\'etect\'es apr\`es r\'eflexion sur la Lune est inf\'erieure \`a 1 sur $10^{19}$.
\\

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm, keepaspectratio, angle=0]{miroir.png}
\end{center}
\caption{R\'eflecteur d\'epos\'e sur la Lune par la mission Apollo XV ($1,0$m$\times 0,6$m)}
\end{figure}

\'Evaluer l'ordre de grandeur du nombre de photons qui atteignent le réflecteur posé sur la Lune lors de chaque impulsion du laser.

%Indication: penser au ph\'enom\`ene de diffraction

}

\end{document}