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Séquence 9 : diagonalisation de matrices

• Déterminer les valeurs propres d’une matrice (cas des matrices 2×2, triangulaires, à l’aide d’un polynôme annulateur, ou dans le cas général).
• Déterminer le sous-espace propre associé à une valeur propre λ.
• Montrer qu’un polynôme est annulateur d’une matrice.
• Étudier la diagonalisabilité d’une matrice A ∈ Mn(R).
• Calculer les puissances d’une matrice diagonalisable.

Remarques :

• Méthode pour déterminer les valeurs propres d’une matrice : Pivot de Gauss.
• Un énoncé utilisant une autre méthode sera guidé (exemple : mettre en évidence un polynôme annulateur, le lien entre spectre et ensemble des racines, etc.).
• Les méthodes « hors-programme » sont acceptées : déterminant, polynôme caractéristique, polynôme annulateur...
• Autre caractérisation de la diagonalisabilité : somme des dimensions des sous-espaces propres.

Séquence 8 : les intégrales généralisées

• Connaitre les primitives usuelles, calculer une intégrale à l’aide d’une primitive
• Calculer une intégrale par intégration par parties (en se ramenant à un segment dans le cas d'une intégrale généralisée)
• Étudier la convergence d’une intégrale par comparaison à des intégrales de référence (Riemann et exponentielle)

Pas de changements de variables

Séquence 9 : diagonalisation de matrices

• Déterminer les valeurs propres d’une matrice (cas des matrices 2×2, triangulaires, à l’aide d’un polynôme annulateur, ou dans le cas général).
• Déterminer le sous-espace propre associé à une valeur propre λ.
• Montrer qu’un polynôme est annulateur d’une matrice.
• Étudier la diagonalisabilité d’une matrice A ∈ Mn(R).
• Calculer les puissances d’une matrice diagonalisable.

Remarques :

• Méthode pour déterminer les valeurs propres d’une matrice : Pivot de Gauss.
• Un énoncé utilisant une autre méthode sera guidé (exemple : mettre en évidence un polynôme annulateur, le lien entre spectre et ensemble des racines, etc.).
• Les méthodes « hors-programme » sont acceptées : déterminant, polynôme caractéristique, polynôme annulateur...
• Autre caractérisation de la diagonalisabilité : somme des dimensions des sous-espaces propres.

Séquence 8 : les intégrales généralisées

• Connaitre les primitives usuelles, calculer une intégrale à l’aide d’une primitive
• Calculer une intégrale par intégration par parties (en se ramenant à un segment dans le cas d'une intégrale généralisée)
• Étudier la convergence d’une intégrale par comparaison à des intégrales de référence (Riemann et exponentielle)

Pas de changements de variables

Séquence 7 : les applications linéaires

• Montrer qu’une application est linéaire
• Déterminer le noyau et l’image d’une application linéaire
• Utiliser le théorème du rang et son application à la caractérisation des isomorphismes
• Écrire la matrice d’une application linéaire ou d’une composée d’applications linéaires dans une base
• Déterminer le rang d’une application linéaire ou celle de sa matrice associée
• Utiliser la formule de changement de base

Séquence 8 : les intégrales

• Connaitre les primitives usuelles, calculer une intégrale à l’aide d’une primitive
• Calculer une intégrale par intégration par parties
• Étudier des suites d'intégrales

Remarques :

• L'intégration généralisée sera vue la semaine prochaine
• Les changements de variables ne sont pas au programme de l'écrit de l'ENS