Programme de la semaine : chapitre sur les fonctions usuelles; chapitre sur les boucles while en Python.
Déroulé de la colle, pour cette semaine :
- une question de cours le chapitre "fonction usuelles",
- une question de cours sur le chapitre "boucles while en Python",
- donner le domaine de définition, de dérivabilité et la dérivée d'une fonction composée choisie par le colleur ou la colleuse ,
- mener une étude de fonction (éventuellement en lien avec la question précédente - note aux colleurs le calcul de limite n'a pas été revu en détail à ce stade : si les étudiants se sentent capables d'étudier les limites de la fonction étudiée vous pouvez les laisser chercher; si les étudiants ne s'en sentent pas capables vous pouvez leur indiquer les limites éventuelles),
- s'il reste du temps, un ou plusieurs exercices laissés au choix du colleur sur le thème "étude de fonctions" ou "boucles while" en Python.
Questions de cours :
Fonctions usuelles
- Soit $n\in\mathbb{N}$ et $f_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$. Démontrer que si $n$ est pair (respectivement impair) alors $f_n$ est paire (respectivement impaire).
- Démontrer que si $f$ est une fonction impaire définie en $0$, alors $f(0)=0$.
- Soient $I$ et $J$ deux sous-ensembles de $\mathbb{R}$, $f:I\rightarrow J$ et $g:J\rightarrow \mathbb{R}$. Donner la définition de la fonction composée $g\circ f$. Démontrer que si $f$ est croissante sur $I$ et $g$ est croissante sur $J$ alors $g \circ f$ est croissante sur $I$.
- Énoncer le théorème du cours donnant la dérivée d'une fonction composée générale. Une application au calcul d'une "fonction composée usuelle" : $u^n$, $e^u$, $\ln(u)$, etc... choisie par le colleur.
- Si $f$ est une fonction dérivable au point $x_0$, donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $x_0$.
- Mener de manière succinte et précise l'étude d'une des fonctions de référence : fonction puissance $x\mapsto x^n$, où $n\in \mathbb{N}$; fonction racine carrée; fonction inverse; fonction exponentielle; fonction logarithme népérien (note aux colleurs c'est tout pour le moment).
Boucles while en Python :
Algorithmes de seuil : un exercice du type
- Écrire une fonction Python qui prend en entrée un nombre $M$ et qui renvoie la plus grande puissance de 2 qui lui est inférieure.
- Écrire une fonction Python qui prend en entrée un nombre $M$ et qui le plus petit entier $n$ tel que $n! \geq M$.
Exercices : fonctions usuelles; boucles while en Python.
- Fonctions usuelles : ensemble de définition et ensemble d'arrivée d'une fonction. Étudier le domaine de définition d'une fonction. Fonctions composées. Fonctions périodiques, fonctions paires, impaires. Fonctions monotones. Lien avec la dérivée. Calcul de dérivées des fonctions usuelles et des composées usuelles. Étude de fonction.
- Python : Boucles while; algorithmes de seuil. Boucles for. Comparaison entre boucles while et boucles for.
