Equations différentielles (linéaires, ordre 1 ou 2 à coefficients constants); suites réelles. Tableaux Numpy.
Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :
- Résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1 ou 2 à coefficients (et second membre) constant.
- Une ou plusieurs questions de cours sur les suites ou Python,
- Puis on passe aux exercices.
Questions de cours : Suites réelles.
- Définir mathématiquement l'assertion : la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers le nombre $l\in \mathbb{R}$.
- Définir mathématiquement l'assertion : la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$.
- Enoncer les trois limites suivantes, appelées "croissances comparées" : pour $a>1$, $\alpha>0$ et $\beta >0$ on a $$\lim_{n\to +\infty} \frac{n!}{a^n}=+\infty,\quad \lim_{n\to +\infty} \frac{a^n}{n^\alpha}=+\infty \quad \text{et} \quad \lim_{n\to +\infty} \frac{n^\alpha}{\ln(n)^\beta}=+\infty.$$
- En utilisant la propriété du cours intitulée "Conservation des inégalités lors du passage à la limite"
(si $(u_n)$ est une suite à termes positifs ou nuls convergeant vers un nombre réel $l\in \mathbb{R}$ alors $l$ est positif ou nul),
démontrer la propriété suivante :
si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites réelles telles que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n \leq v_n$ et si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers deux limites finies notées $l$ et $l'$, alors $l\leq l'$.
- Un calcul de limites utilisant l'un des outils suivants : les opérations ou la composition des limites, les croissances comparées ci-dessus, le théorème des gendarmes, le théorème de comparaison.
- Donner l'énoncé du théorème de convergence monotone.
- Donner l'énoncé de la propriété appelée : "alternative pour les suites croissantes".
Question de cours : Python
Note aux colleurs : n'hésitez pas, si votre salle de colle dispose d'un ordinateur, à lancer une session, puis à faire travailler directement l'étudiant.e sur la machine pour la question Python. L'algorithme de tri par comptage n'a pas encore été abordé en classe.
- Être capable d'utiliser les fonctions et outils de référence pour créer des tableaux Numpy et accéder à leurs attributs (notamment leurs éléments, leur taille, le nombre de ligne et de colonnes). En particulier : np.zeros, np.array, np.diag, np.ones. Opérations arithmétiques et fonctions sur les tableaux Numpy. Produit matriciel à l'aide de la fonction np.dot.
- Écrire une fonction Python transpose qui prend en entrée une matrice $A$ (sous la forme d'un tableau Numpy) et qui renvoie sa matrice transposée $A^T$.
- Ecrire une fonction Python qui prend en entrée une matrice $A$ (sous la forme d'un tableau Numpy) et qui renvoie True si $A$ est diagonale, False sinon
Exercices sur les suites réelles
- Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones.
- Convergence, divergence. Limite infinie.
- Comparaison de la convergence de la suite $(u_{n})$ et des deux suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$.
- Propriétés des suites convergentes : toute suite convergente est bornée; conservation des inégalités lors du passage à la limite; théorème des gendarmes; théorème de comparaison.
- Théorème de la limite monotone.
- Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes.
- Croissances comparées.
- Etude guidée d'une suite récurrente du type : $\forall n \in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=f(u_n)$.
Exercices : Python
Travail autour des tableaux Numpy.
