Espaces vectoriels. Probabilités : événements aléatoires. Python : simulation d'événements aléatoires.
Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :
- Une question de cours sur les espaces vectoriels ou les probabilités d’événements aléatoires.
- Puis on passe aux exercices.
Questions de cours : espaces vectoriels
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soient $k$ un entier et $v_1,v_2,\dots, v_k$ des vecteurs de $E$.
- Donner la définition de l'assertion : $(v_1,v_2,\dots,v_k)$ est une famille libre.
- Donner la définition de $\text{Vect}(v_1,v_2,\dots,v_k)$ et $(\star)$ montrer que c'est un sous-espace vectoriel de $E$. Donner la définition de l'assertion : $(v_1,v_2,\dots,v_k)$ est génératrice de $E$.
- Donner la définition et la caractérisation de l'assertion : $(v_1,v_2,\dots,v_k)$ est une base de $E$ (caractérisation des bases).
- On suppose que $(v_1,\dots,v_k)$ forme une famille libre. Montrer que pour tout $\lambda_1, \lambda_2,\dots,\lambda_k, \mu_1, \mu_2,\dots,\mu_k \in \mathbb{K},$ si $$\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\dots \lambda_kv_k=\mu_1 v_1+\mu_2 v_2+\dots \mu_kv_k$$ alors $$\forall k \in [\![1,n]\!],~ \lambda_k=\mu_k.$$
- Exercice-type, à adapter par le colleur : montrer que $F=\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4~|~x+2y-z=0,~y-z-3t=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ et en déterminer une base.
- Exercice-type, à adapter par le colleur : montrer que $((1,1,0),(1,0,1),(0,1,0))$ est une base de $\mathbb{R}^3$, déterminer les coordonnées d'un vecteur dans cette base.
- Note aux colleurs : dimensions et rang pas au programme cette semaine.
Questions de cours : Probabilités d'événements aléatoires.
$\Omega$ désigne un univers fini, $A$ et $B$ sont deux événements, $P$ désigne une probabilité sur $\Omega$.
- Donner la définition de l'assertion "$\{A_1,\dots,A_p\}$ est un système complet d'événements".
- Donner la définition de la probabilité uniforme sur $\Omega$ et prouver que c'est une probabilité sur $\Omega$.
- Énoncer et prouver la formule $$P(\overline{A})=1-P(A).$$Énoncer et prouver la formule $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$
- Énoncer la formule des probabilités composées.
- Enoncer et prouver la formule des probabilités totales.
- Décrire le comportement (et utiliser au sein d'un exercice de tirage simple) des fonctions suivantes du module $\texttt{random}$ : $$\texttt{rd.uniform()},\quad \texttt{rd.randint(a,b)},\quad \texttt{rd.choice(L)}, \quad \texttt{rd.choices(L, k=n)}, \quad \texttt{rd.sample(L, n)} $$
Exercices sur les espaces vectoriels.
- Famille de vecteurs (libre, génératrice, base), dimension d'un espace vectoriel.
- Coordonnées d'un vecteur dans une base.
- Bases canoniques des espaces vectoriels de référence ($\mathbb{K}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$).
- Lemme d'échange.
Exercices sur les événements aléatoires
- Vocabulaire des probabilités (sur un univers fini) : univers, événement, issue. Evénement impossible, événement certain. Evénements incompatibles. Système complet d'événements. Mesure de probabilité sur $\Omega$.
- Propriétés classiques d'une mesure de probabilité (probabilité d'une union, de l'événement contraire, etc...)
- Probabilité uniforme.
- Probabilité conditionnelle.
- Formule des probabilités totales.
- Formule des probabilités composées.
- Formule de Bayes.
- Indépendance d'événements : indépendance deux à deux, indépendance mutuelle.
