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Programme de la semaine : chapitre sur les fonctions usuelles; début du chapitre sur les nombres complexes. Boucles while en Python.

Déroulé de la colle, pour cette semaine :

• une ou deux questions de cours sur les chapitres "fonctions usuelles" ou "nombres complexes",
• une question de cours sur le chapitre "boucles while en Python",
• donner le domaine de définition d'une fonction composée choisie par le colleur ou la colleuse; indiquer l'ensemble sur lequel cette fonction est dérivable et donner sa dérivée;
• mener une étude de fonction (éventuellement en lien avec la question précédente - note aux colleurs le calcul de limite n'a pas été revu en détail à ce stade : si les étudiants se sentent capables d'étudier les limites de la fonction étudiée vous pouvez les laisser chercher; si les étudiants ne s'en sentent pas capables vous pouvez leur indiquer les limites éventuelles),
• s'il reste du temps, un ou plusieurs exercices laissés au choix du colleur sur le thème "nombres complexes".

Questions de cours :

Fonctions usuelles

• Énoncer le théorème du cours donnant la dérivée d'une fonction composée générale. Une application au calcul de la dérivée d'une "fonction composée usuelle" : $u^n$, $e^u$, $\ln(u)$, etc... choisie par le colleur.
• Si $f$ est une fonction dérivable au point $x_0$, donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $x_0$. Application à un exemple simple choisi par le colleur.
• Mener de manière succinte et précise l'étude d'une des fonctions de référence : fonction puissance $x\mapsto x^n$, où $n\in \mathbb{N}$; fonction racine carrée; fonction inverse; fonction exponentielle; fonction logarithme népérien; fonctions cosinus, sinus et tangente; fonction puissance généralisée $x\mapsto x^\alpha$ où $\alpha \in \mathbb{R}$)

Nombres complexes

• Montrer que pour tout nombre complexe $z$, $\text{Re}(i\times z)=\text{Im}(z)$ et $\text{Im}(i\times z)=-\text{Re}(z)$. Donner une interprétation géométrique de ces deux égalités.
• Montrer que pour tout nombre complexe $z$, $\text{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}$ et $\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}$.
• Donner la définition du nombre conjugué $\overline{z}$ d'un nombre complexe $z$. Si on note $M(z)$ le point du plan complexe d'affixe $z$, quel est le point du plan complexe d'affixe $\overline{z}$ ?

Boucles while en Python :

Algorithmes de seuil : un exercice du type

• Écrire une fonction Python qui prend en entrée un nombre $M$ et qui renvoie la plus grande puissance de 2 qui lui est inférieure.
• Écrire une fonction Python qui prend en entrée un nombre $M$ et qui le plus petit entier $n$ tel que $n! \geq M$.

Exercices : fonctions usuelles; nombres complexes; boucles while en Python.

• Fonctions usuelles : ensemble de définition et ensemble d'arrivée d'une fonction. Étudier le domaine de définition d'une fonction. Fonctions composées. Fonctions périodiques, fonctions paires, impaires. Fonctions monotones. Lien avec la dérivée. Calcul de dérivées des fonctions usuelles et des composées usuelles. Fonctions dites usuelles (voire la liste plus haut). Tangente à la courbe. Étude de fonction.
• Nombres complexes : calculs algébriques dans $\mathbb{C}$ ; la représentation du plan complexe; conjugué d'un nombre complexe.
• Python : Boucles while; algorithmes de seuil. Boucles for. Comparaison entre boucles while et boucles for.

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Document de 1 Mo, dans Sciences Physiques/01_Colles/Programmes de colles

Programme de la semaine : chapitre sur les fonctions usuelles; chapitre sur les boucles while en Python.

Déroulé de la colle, pour cette semaine :

• une question de cours le chapitre "fonction usuelles",
• une question de cours sur le chapitre "boucles while en Python",
• donner le domaine de définition, de dérivabilité et la dérivée d'une fonction composée choisie par le colleur ou la colleuse ,
• mener une étude de fonction (éventuellement en lien avec la question précédente - note aux colleurs le calcul de limite n'a pas été revu en détail à ce stade : si les étudiants se sentent capables d'étudier les limites de la fonction étudiée vous pouvez les laisser chercher; si les étudiants ne s'en sentent pas capables vous pouvez leur indiquer les limites éventuelles),
• s'il reste du temps, un ou plusieurs exercices laissés au choix du colleur sur le thème "étude de fonctions" ou "boucles while" en Python.

Questions de cours :

Fonctions usuelles

• Soit $n\in\mathbb{N}$ et $f_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$. Démontrer que si $n$ est pair (respectivement impair) alors $f_n$ est paire (respectivement impaire).
• Démontrer que si $f$ est une fonction impaire définie en $0$, alors $f(0)=0$.
• Soient $I$ et $J$ deux sous-ensembles de $\mathbb{R}$, $f:I\rightarrow J$ et $g:J\rightarrow \mathbb{R}$. Donner la définition de la fonction composée $g\circ f$. Démontrer que si $f$ est croissante sur $I$ et $g$ est croissante sur $J$ alors $g \circ f$ est croissante sur $I$.
• Énoncer le théorème du cours donnant la dérivée d'une fonction composée générale. Une application au calcul d'une "fonction composée usuelle" : $u^n$, $e^u$, $\ln(u)$, etc... choisie par le colleur.
• Si $f$ est une fonction dérivable au point $x_0$, donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $x_0$.
• Mener de manière succinte et précise l'étude d'une des fonctions de référence : fonction puissance $x\mapsto x^n$, où $n\in \mathbb{N}$; fonction racine carrée; fonction inverse; fonction exponentielle; fonction logarithme népérien (note aux colleurs c'est tout pour le moment).

Boucles while en Python :

Algorithmes de seuil : un exercice du type

• Écrire une fonction Python qui prend en entrée un nombre $M$ et qui renvoie la plus grande puissance de 2 qui lui est inférieure.
• Écrire une fonction Python qui prend en entrée un nombre $M$ et qui le plus petit entier $n$ tel que $n! \geq M$.

Exercices : fonctions usuelles; boucles while en Python.

• Fonctions usuelles : ensemble de définition et ensemble d'arrivée d'une fonction. Étudier le domaine de définition d'une fonction. Fonctions composées. Fonctions périodiques, fonctions paires, impaires. Fonctions monotones. Lien avec la dérivée. Calcul de dérivées des fonctions usuelles et des composées usuelles. Étude de fonction.
• Python : Boucles while; algorithmes de seuil. Boucles for. Comparaison entre boucles while et boucles for.

Programme de la semaine : calcul de sommes, produits (suite et fin). Début du chapitre sur les fonctions usuelles. Boucles for Python.

Déroulé de la colle, pour cette semaine :

• une question de cours sur le chapitre "sommes et produits" ou sur le chapitre "fonction usuelles",
• une question de cours sur le chapitre "Boucles for en Python",
• un ou plusieurs exercices laissés au choix du colleur.

Questions de cours :

Sommes et produits

• (Somme téléscopique) Calculer $$\sum_{k=1}^n \ln\left(\frac{k+1}{k}\right)$$.
• Donner la définition du coefficient binomial $\binom{n}{k}$. Énoncer la relation de Pascal. Si l'étudiant/e est volontaire, la preuve peut-être présentée. Construire les premières lignes du triangle de Pascal et faire le lien avec la relation de Pascal.
• Énoncer la formule du binôme de Newton (note aux colleurs : la preuve n'a pas été abordée en classe.) Un exercice sur le thème : calculer $11^5$ à l'aide de la formule du binôme.

Fonctions usuelles

• Soit $n\in\mathbb{N}$ et $f_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$. Démontrer que si $n$ est pair (respectivement impair) alors $f_n$ est paire (respectivement impaire).
• Démontrer que si $f$ est une fonction impaire définie en $0$, alors $f(0)=0$.
• Soit $D$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ et $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $D$. Démontrer que si $f$ et $g$ sont croissantes sur $D$ alors $f+g$ est croissante sur $D$.
• Soient $I$ et $J$ deux sous-ensembles de $\mathbb{R}$, $f:I\rightarrow J$ et $g:J\rightarrow \mathbb{R}$. Donner la définition de la fonction composée $g\circ f$. Démontrer que si $f$ est croissante sur $I$ et $g$ est croissante sur $J$ alors $g \circ f$ est croissante sur $I$.

Boucles for en Python :

(Note aux colleurs : le calcul de complexité est hors-programme en BCPST. On pourra néanmoins faire réfléchir les étudiants au nombre d'opérations (addition, multiplication) effectuées lors de l'exécution d'un programme)

• Donner la définition de $n!$ pour $n\in \mathbb{N}$. Ecrire une fonction Python prenant en argument $n\in \mathbb{N}$ et renvoyant $n!$.
• Un exercice sur le thème : Écrire un programme Python qui calcule le 20-ème terme de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=2$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $$u_{n+1}=-2u_n+3.$$
• Un exercice sur le thème : Écrire une fonction Python qui prend en argument $n$ et qui renvoie le $n$-ème terme de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=0$, $u_1=1$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $$u_{n+2}=\sqrt{u_n+u_{n+1}^2}.$$

Exercices : calcul de sommes et de produits, boucles for en Python. Révision sur les suites usuelles.

• Calcul de sommes et de produits : linéarité de la somme, relation de Chasles. Sommes de référence (voir question de cours). Sommes téléscopiques, méthode du changement d'indice. Produit, multiplicativité du produit. Factorielle. Coefficients binomiaux, formule de Newton. Formule du pion, relation de Pascal.
• Fonctions usuelles : ensemble de définition et ensemble d'arrivée d'une fonction. Étudier le domaine de définition d'une fonction. Fonctions composées. Fonctions périodiques, fonctions paires, impaires. Fonctions monotones.
• Python : Boucles for. Fonction range. Calcul des termes d'une suite récurrente simple ou double, calcul de somme ou de produit. Nombre d'opérations.

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