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Applications linéaires. Géométrie. Python : recherche de zéros par dichotomie.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• Une ou deux questions de cours.
• Puis on passe aux exercices.

Questions de cours : Applications linéaires

Dans la suite $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels sur $\mathbb{K}$ (de dimension finie).

• Donner la définition de l'assertion : "$f:E\rightarrow F$ est une application linéaire".
• Soit $f\in L(E,F)$. Donner la définition du noyau de $f$ et de l'image de $f$.
• Soit $f\in L(E,F)$. Donner la caractérisation de l'injectivité de $f$ par le noyau. $(\star)$ Si l’élève est volontaire, la démontrer.
• Énoncer le théorème du rang pour $f\in L(E,F)$. Application au cas $F=E$ : si $f\in L(E)$, alors $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.

Questions de cours : Géométrie

$n$ est un entier pouvant valoir $2$ ou $3$.

• Donner la définition du produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$. Donner la définition de la propriété "le produit scalaire est positif" et la démontrer. Donner la définition de la propriété "le produit scalaire est défini" et la démontrer.
• Donner la définition de la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$.
• Énoncer et démontrer le théorème de Pythagore dans $\mathbb{R}^n$.

Questions de cours : Python.

Exposer le principe de la méthode de recherche de zéros d'une fonction par dichotomie. On attend les hypothèses précises et une description des étapes de l'algorithme. $(\star \star)$ Pour les étudiants / étudiantes les plus à l'aise, on peut demander l'implémentation de l'algorithme en Python (Note aux colleurs : ne pas hésiter à démarrer une session sur l'ordinateur, et faire implémenter puis tester sur machine).

Exercices sur le chapitre applications linéaires.

• Définition et propriétés générales élémentaires des applications linéaires (image du vecteur nul, image d'une combinaison linéaire, etc..)
• L'image d'un s.e.v par une application linéaire est un s.e.v. Précisément, si $f$ est linéaire, $$f(\mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_n))=\mathrm{Vect}(f(e_1),\dots,f(e_n)).$$
• Noyau et image d'une application linéaire. Caractérisation de l'injectivité / surjectivité / bijectivité de $f$ par noyau et image.
• Théorème du rang pour une application linéaire.
• Représentation matricielle d'une application linéaire (dans deux bases) : opérations et propriétés.
• Si $B$ est une base de $E$, $B'$ est une base de $F$ et si $f\in L(E,F)$, alors pour tout $x\in E$, $$\mathrm{coord}_{B'}(f(x))=\mathrm{Mat}_{B,B'}(f)\times \mathrm{coord}_{B}(x).$$
• Noyau et image d'une matrice.
• Théorème du rang pour une matrice.

Exercices sur le chapitre de géométrie.

• Produit scalaire et norme euclidienne : propriétés générales (en particulier, inégalité triangulaire, inégalité de Cauchy-Schwarz).
• Déterminant de deux vecteurs du plan; déterminant et colinéarité.
• Représentation paramétrique d'une droite ou d'un plan.
• Équation cartésienne d'une droite dans le plan.
• Équation cartésienne d'un plan dans l'espace.
• Équation cartésienne d'un cercle.
• Projection orthogonale sur une droite / sur plan.
• La distance d'un point à une droite / à un plan est réalisée par le projeté orthogonal sur cette droite / sur ce plan.

Géométrie. Python : recherche de zéros par dichotomie. Révisions sur les espaces vectoriels.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• Une question de cours.
• Puis on passe aux exercices.

Questions de cours : Géométrie

$n$ est un entier pouvant valoir $2$ ou $3$.

• Donner la définition du produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$. Donner la définition de la propriété "le produit scalaire est positif" et la démontrer. Donner la définition de la propriété "le produit scalaire est défini" et la démontrer.
• Donner la définition de la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$.
• Énoncer et démontrer le théorème de Pythagore dans $\mathbb{R}^n$.
• Exercice-type : représentation paramétrique d'une droite du plan ou de l'espace. Équation cartésienne d'une droite du plan.
• Exercice-type : représentation paramétrique / équation cartésienne d'un plan de l'espace.
• Exercice-type : équation cartésienne d'un cercle dans le plan.
• Exercice-type : projeté orthogonal d'un point sur une droite ou sur un plan; distance à un point ou à un plan.

Questions de cours : Python.

Exposer le principe de la méthode de recherche de zéros d'une fonction par dichotomie. On attend les hypothèses précises et une description des étapes de l'algorithme. $(\star \star)$ Pour les étudiants / étudiantes les plus à l'aise, on peut demander l'implémentation de l'algorithme en Python (Note aux colleurs : ne pas hésiter à démarrer une session sur l'ordinateur, et faire implémenter puis tester sur machine).

Exercices sur le chapitre de géométrie.

• Produit scalaire et norme euclidienne : propriétés générales (en particulier, inégalité triangulaire, inégalité de Cauchy-Schwarz).
• Déterminant de deux vecteurs du plan; déterminant et colinéarité.
• Représentation paramétrique d'une droite ou d'un plan.
• Équation cartésienne d'une droite dans le plan.
• Équation cartésienne d'un plan dans l'espace.
• Équation cartésienne d'un cercle.
• Projection orthogonale sur une droite / sur plan.
• La distance d'un point à une droite / à un plan est réalisée par le projeté orthogonal sur cette droite / sur ce plan.

Exercices de révision sur les espaces vectoriels

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Espaces vectoriels. Python : simulation d'événements aléatoires.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• Une question de cours sur les espaces vectoriels; une question de cours sur la simulation de tirage aléatoire en Python.
• Puis on passe aux exercices.

Questions de cours : espaces vectoriels

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On suppose que $E$ est de dimension finie, notée $n\in \mathbb{N}$. Soient $k$ un entier et $v_1,v_2,\dots, v_k$ des vecteurs de $E$.

• Donner la définition de l'assertion : $(v_1,v_2,\dots,v_k)$ est une famille libre / génératrice / base de $E$.
• Donner la définition de $\text{Vect}(v_1,v_2,\dots,v_k)$ et $(\star)$ montrer que c'est un sous-espace vectoriel de $E$.
• On suppose que $(v_1,\dots,v_k)$ forme une famille libre. Montrer que pour tout $\lambda_1, \lambda_2,\dots,\lambda_k, \mu_1, \mu_2,\dots,\mu_k \in \mathbb{K},$ si $$\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\dots \lambda_kv_k=\mu_1 v_1+\mu_2 v_2+\dots \mu_kv_k$$ alors pour tout $k \in [\![1,n]\!],~ \lambda_k=\mu_k.$
• Donner la définition de la dimension de $E$.
• Donner la définition du rang de la famille $(v_1,\dots, v_k)$.
• $(\star \star)$ Montrer que $\text{rg}(v_1,\dots, v_k)=k$ si et seulement si la famille $(v_1,\dots, v_k)$ est libre.
• $(\star \star)$ Montrer que $\text{rg}(v_1,\dots, v_k)=n$ si et seulement si la famille $(v_1,\dots, v_k)$ est génératrice de $E$.

Questions de cours : Python, simulation d'événements aléatoires.

Décrire le comportement (et utiliser au sein d'un exercice de tirage simple) des fonctions suivantes du module $\texttt{random}$ : $$\texttt{rd.uniform()},\quad \texttt{rd.randint(a,b)},\quad \texttt{rd.choice(L)}, \quad \texttt{rd.choices(L, k=n)}, \quad \texttt{rd.sample(L, n)} $$ Voir le TP11. Expériences aléatoires.

Exercices sur les espaces vectoriels.

• Famille de vecteurs (libre, génératrice, base), dimension d'un espace vectoriel.
• Coordonnées d'un vecteur dans une base.
• Bases canoniques des espaces vectoriels de référence ($\mathbb{K}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$).
• Lemme d'échange.
• Dimension d'un espace vectoriel. Lien entre le cardinal d'une famille de vecteurs et la dimension de l'espace vectoriel surjacent.
• Théorème de la base incomplète.
• Rang d'une famille de vecteurs. Caractérisation de la liberté, du caractère générateur d'une famille de vecteurs par le rang.

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