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Document de 931 ko, dans Sciences Physiques/01_Colles/Programmes de colles

Espaces vectoriels. Probabilités : événements aléatoires. Python : simulation d'événements aléatoires.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• Une question de cours sur les espaces vectoriels ou les probabilités d’événements aléatoires.
• Puis on passe aux exercices.

Questions de cours : espaces vectoriels

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soient $k$ un entier et $v_1,v_2,\dots, v_k$ des vecteurs de $E$.

• Donner la définition de l'assertion : $(v_1,v_2,\dots,v_k)$ est une famille libre.
• Donner la définition de $\text{Vect}(v_1,v_2,\dots,v_k)$ et $(\star)$ montrer que c'est un sous-espace vectoriel de $E$. Donner la définition de l'assertion : $(v_1,v_2,\dots,v_k)$ est génératrice de $E$.
• Donner la définition et la caractérisation de l'assertion : $(v_1,v_2,\dots,v_k)$ est une base de $E$ (caractérisation des bases).
• On suppose que $(v_1,\dots,v_k)$ forme une famille libre. Montrer que pour tout $\lambda_1, \lambda_2,\dots,\lambda_k, \mu_1, \mu_2,\dots,\mu_k \in \mathbb{K},$ si $$\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\dots \lambda_kv_k=\mu_1 v_1+\mu_2 v_2+\dots \mu_kv_k$$ alors $$\forall k \in [\![1,n]\!],~ \lambda_k=\mu_k.$$
• Exercice-type, à adapter par le colleur : montrer que $F=\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4~|~x+2y-z=0,~y-z-3t=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ et en déterminer une base.
• Exercice-type, à adapter par le colleur : montrer que $((1,1,0),(1,0,1),(0,1,0))$ est une base de $\mathbb{R}^3$, déterminer les coordonnées d'un vecteur dans cette base.
• Note aux colleurs : dimensions et rang pas au programme cette semaine.

Questions de cours : Probabilités d'événements aléatoires.

$\Omega$ désigne un univers fini, $A$ et $B$ sont deux événements, $P$ désigne une probabilité sur $\Omega$.

• Donner la définition de l'assertion "$\{A_1,\dots,A_p\}$ est un système complet d'événements".
• Donner la définition de la probabilité uniforme sur $\Omega$ et prouver que c'est une probabilité sur $\Omega$.
• Énoncer et prouver la formule $$P(\overline{A})=1-P(A).$$Énoncer et prouver la formule $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$
• Énoncer la formule des probabilités composées.
• Enoncer et prouver la formule des probabilités totales.
• Décrire le comportement (et utiliser au sein d'un exercice de tirage simple) des fonctions suivantes du module $\texttt{random}$ : $$\texttt{rd.uniform()},\quad \texttt{rd.randint(a,b)},\quad \texttt{rd.choice(L)}, \quad \texttt{rd.choices(L, k=n)}, \quad \texttt{rd.sample(L, n)} $$

Exercices sur les espaces vectoriels.

• Famille de vecteurs (libre, génératrice, base), dimension d'un espace vectoriel.
• Coordonnées d'un vecteur dans une base.
• Bases canoniques des espaces vectoriels de référence ($\mathbb{K}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$).
• Lemme d'échange.

Exercices sur les événements aléatoires

• Vocabulaire des probabilités (sur un univers fini) : univers, événement, issue. Evénement impossible, événement certain. Evénements incompatibles. Système complet d'événements. Mesure de probabilité sur $\Omega$.
• Propriétés classiques d'une mesure de probabilité (probabilité d'une union, de l'événement contraire, etc...)
• Probabilité uniforme.
• Probabilité conditionnelle.
• Formule des probabilités totales.
• Formule des probabilités composées.
• Formule de Bayes.
• Indépendance d'événements : indépendance deux à deux, indépendance mutuelle.

Document de 2 ko, dans Informatique/TP

Probabilités : événements aléatoires. Limite et continuité d'une fonction réelle.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• Une ou plusieurs questions de cours sur les probabilités.
• Puis on passe aux exercices (limite et continuité; probabilités d'événements aléatoires).

Questions de cours : Probabilités d'événements aléatoires.

$\Omega$ désigne un univers fini, $A$ et $B$ sont deux événements, $P$ désigne une probabilité sur $\Omega$.

• Donner la définition des assertions "$\Omega$ est un univers fini"; "$A$ est un événement", "$\omega$ est une issue" et illustrer sur un exemple vu en cours.
• Donner la définition de l'assertion "$\{A_1,\dots,A_p\}$ est un système complet d'événements".
• Définir l'assertion "$P$ est une probabilité sur $\Omega$".
• Donner la définition de la probabilité uniforme sur $\Omega$. Prouver que c'est une probabilité sur $\Omega$.
• On suppose que $P(A)>0$. Donner la définition de la probabilité conditionnelle relativement à $A$. Prouver que c'est une probabilité sur $\Omega$.
• Énoncer et prouver la formule $$P(\overline{A})=1-P(A).$$Énoncer et prouver la formule $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$
• Énoncer la formule des probabilités composées.
• Enoncer et prouver la formule des probabilités totales.
• Enoncer la formule de Bayes.

Exercices sur les événements aléatoires

• Vocabulaire des probabilités (sur un univers fini) : univers, événement, issue. Evénement impossible, événement certain. Evénements incompatibles. Système complet d'événements. Mesure de probabilité sur $\Omega$.
• Propriétés classiques d'une mesure de probabilité (probabilité d'une union, de l'événement contraire, etc...)
• Probabilité uniforme.
• Probabilité conditionnelle.
• Formule des probabilités totales.
• Formule des probabilités composées.
• Formule de Bayes.
• Indépendance d'événements : indépendance deux à deux, indépendance mutuelle.

Exercices sur les limites et la continuité.

• Calculs de limites.
• Conservation des inégalités lors du passage à la limite.
• Théorème des gendarmes, théorème de comparaison.
• Croissances comparées.
• Fonctions équivalentes, équivalents usuels.
• Déterminer si une fonction est continue en un point (respectivement continue à gauche, continue à droite).
• Les grands théorèmes de continuité : bornes atteintes, valeurs intermédiaires, bijection.
• Étude de suites implicites.

Document de 282 ko, dans Mathématiques/Concours blanc 2025

Document de 407 ko, dans Mathématiques/Concours blanc 2025

Document de 139 ko, dans Mathématiques/Cours

Matrices; début du chapitre sur les suites réelles. Algorithmes de tri en Python.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• calculer l'inverse d'une "petite" matrice carrée via l'algorithme de Gauss,
• une ou plusieurs questions de cours,
• puis on passe aux exercices.

Questions de cours : Matrices.

On note $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $n$ un nombre entier, ainsi que $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.

• Donner l'énoncé du théorème donnant la formule du binôme de Newton dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Application à un calcul de puissance, choisi par le colleur.
• Donner la définition de l'assertion : $A$ est inversible. Démontrer que si $A$ est inversible alors son inverse est unique.
• Démontrer que si $A$ et $B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ sont inversibles alors $AB$ est inversible et donner son inverse.
• Inversibilité des matrices carrées d'ordre 2 : soit $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c& d\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$. Démontrer que $M$ est inversible si et seulement si $\det(M) \neq 0$ et dans ce cas exprimer $M^{-1}$ en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$.

Questions de cours : Suites réelles.

• Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Donner la définition de chacune des assertions suivantes : $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée; $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est minorée; $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est bornée.
• Soient $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ deux suites bornées. Démontrer que les suites $(u_n+v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(u_n\times v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sont bornées. Que se passe-t-il si l'on remplace l'adjectif "borné" par l'adjectif "majoré" ?

Question de cours : Python

Note aux colleurs : n'hésitez pas, si votre salle de colle dispose d'un ordinateur, à lancer une session, puis à faire travailler directement l'étudiant.e sur la machine pour la question Python. L'algorithme de tri par comptage n'a pas encore été abordé en classe.

• Ecrire une fonction qui prend en entrée une liste $L$ et qui détermine si la liste $L$ est triée par ordre croissant (+ variations autour de ce thème).
• Décrire l'algorithme de tri par insertion (on pourra s'aider d'un exemple pour formuler ensuite l'algorithme général), et $(\star)$ donner son implémentation en Python.
• Décrire l'algorithme de tri par sélection (on pourra s'aider d'un exemple pour formuler ensuite l'algorithme général), et $(\star)$ donner son implémentation en Python.

Exercices sur les matrices

• Les ensembles de matrices $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$.
• Quelques matrices carrées particulières : triangulaires supérieures, inférieures, diagonales; symétriques et antisymétriques. Les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls.
• Opérations sur les matrices : addition, multiplication par un scalaire, produit matriciel, transposée. Propriétés du produit matriciel. Le produit de deux matrices diagonales (respectivement triangulaires) est diagonal (respectivement triangulaire).
• Puissances d'une matrice carrée. Calcul des puissances d'une matrice carrée (notamment par conjecture et récurrence, en utilisant la formule du binôme de Newton ou en utilisant une polynôme annulateur).
• Inverse d'une matrice carrée. Définition (unicité) de l'inverse. Propriétés de l'inverse. Le produit de deux matrices inversibles est inversible. Inversibilité d'une matrice diagonale (ou triangulaire supérieure).
• Inversibilité et calcul de l'inverse d'une matrice carrée dans certains cas particuliers : matrices d'ordre 2, matrices diagonales, ou via l'utilisation d'un polynôme annulateur.
• Ecriture matricielle d'un système linéaire.
• Rang d'une matrice; $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^T)$; caractérisation de l'inversibilité d'une matrice carrée par son rang.
• Inversibilité et calcul de l'inverse d'une matrice carrée : algorithme du pivot de Gauss. Lien entre l'inversion d'une matrice et la résolution des systèmes linéaires associés.

Exercices sur les suites réelles

C'est le début du chapitre. On peut étudier la monotonie ou le caractère majoré / minoré / borné de certaines suites.

Exercices : Python

Travail autour des manipulations de liste et des algorithmes de tri.

* Le concours blanc se déroulera en salle 501 pour tous les étudiants de la classe. (un temps supplémentaire est prévu pour les étudiants ayant un aménagement).

* Munissez vous de vos copies et feuilles de brouillon, des copies type examen + des feuilles de brouillon seront - peut-être - fournies pour certaines épreuves...

Lundi 28 avril : 08h - 11h : SVT

Lundi 28 avril : 13h30 - 16h30 : Français

Mardi 29 avril : 8h - 11h : Physique - Chimie

Mercredi 30 avril : 8h - 11h : Maths

Mercredi 30 avril : 13h10 - 15h10 : Anglais

Le jeudi 1er mai est férié

Les cours auront lieu normalement le vendredi 2 mai : attention, prévoir une séance rallongée de physique-chimie l'après-midi jusqu'à 16h15.

Document de 81 ko, dans Mathématiques/TDs