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Dernière semaine de colle de l'année. Dérivation, calcul de primitives et d'intégrales. Méthode des rectangles en Python.

Questions de cours :

Dérivation

Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f$ une fonction définie sur $I$.

• Donner la définition de l'assertion "$f$ est dérivable en $a$", et dans ce cas donner l'expression du nombre dérivé de $f$ en $a$.
• En revenant à la définition du nombre dérivé, calculer le nombre dérivé de la fonction carrée en un nombre réel $x_0$ quelconque. Même question avec la fonction $\sqrt{\cdotp}$ en un réel $x_0 > 0$.
• Si $f$ est dérivable en $a$, donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $a$.
• Un calcul de dérivée.
• Justifier les équivalents suivants dits usuels :
  • $\sin(x)\underset{0}{\sim} x$
  • $\exp(x)-1\underset{0}{\sim} x$
  • $\sqrt{1+x}-1\underset{0}{\sim} \dots$
  • $(1+x)^\alpha-1\underset{0}{\sim} \dots$ pour $\alpha \in \mathbb{R}$
  • $\ln(1+x)\underset{0}{\sim} \dots$

Calcul de primitives et d'intégrales

Note aux colleurs : lors de leur utilisation, l'utilisation d'une I.P.P ou d'un changement de variable devra être indiquée aux étudiants.

• Calculer la primitive de fonctions usuelles ou de composées usuelles
• Calculer une primitive ou une intégrale par intégration par parties (l'utilisation d'une I.P.P devra être indiquée)
• Calculer une primitive ou une intégrale en utilisant la formule du changement de variables (le changement de variable devra être donné)

Exercices :

Dérivation

• Calcul de dérivée.
• Calcul de limite en faisant apparaître un taux d'accroissement. Utilisation des équivalents usuels.
• Utilisation du théorème de Rolle.
• Utilisation du T.A.F.
• (Pour les étudiants les plus à l'aise : ) Etude guidée de suites récurrentes via l'utilisation du T.A.F (note aux colleurs : l'inégalité des accroissements finis est hors-programme).
• Lien entre monotonie de $f$ et signe de $f'$ sur un intervalle.
• Fonctions de classe $C^n$ sur $I$, où $n$ est un entier naturel.

Calcul de primitives et d'intégrales

• Calculs d'intégrales ou de primitives
• Propriétés des intégrales : l'intégrale est positive, inégalité triangulaire, relation de Chasles, égalité de la moyenne, etc.

Python

• Expliquer et implémenter en Python la méthode des rectangles pour approximer la valeur d'une intégrale.

Cette semaine : applications linéaires, dérivation. Simulation de variables aléatoires en Python.

Questions de cours :

Applications linéaires

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie sur $\mathbb{K}$ et soit $f:E\rightarrow F$ une application linéaire.

• Donner la définition de l'assertion "$f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$". Notation : $f\in \mathcal{L}(E,F)$.
• Démontrer que $f(0_E)=0_F$ et que pour tout $x\in E$, $f(-x)=-f(x)$.
• Donner la définition de $\text{Ker}(f)$ et démontrer que c'est un sous espace vectoriel de $E$.
• Donner la définition de $\text{Im}(f)$ et démontrer que c'est un sous espace vectoriel de $F$.
• Énoncer et démontrer la propriété suivante : $f$ est injective si et seulement si $\text{Ker}(f)=\{0_E\}.$
• Énoncer le théorème du rang. Application au cas d'un endomorphisme de $E$.
• Déterminer la matrice d'une application linéaire dans deux bases données.

Dérivation

Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f$ une fonction définie sur $I$.

• Donner la définition de l'assertion "$f$ est dérivable en $a$", et dans ce cas donner l'expression du nombre dérivé de $f$ en $a$.
• En revenant à la définition du nombre dérivé, calculer le nombre dérivé de la fonction carrée en un nombre réel $x_0$ quelconque. Même question avec la fonction $\sqrt{\cdotp}$ en un réel $x_0 > 0$.
• Si $f$ est dérivable en $a$, donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $a$.
• Un calcul de dérivée.
• Justifier les équivalents suivants dits usuels :
  • $\sin(x)\underset{0}{\sim} x$
  • $\exp(x)-1\underset{0}{\sim} x$
  • $\sqrt{1+x}-1\underset{0}{\sim} \dots$
  • $(1+x)^\alpha-1\underset{0}{\sim} \dots$ pour $\alpha \in \mathbb{R}$
  • $\ln(1+x)\underset{0}{\sim} \dots$
• Énoncer le théorème de Rolle. Illustration schématique. (Note aux colleurs : les théorèmes de Rolle et des A.F. ont été énoncé avec l'hypothèse $f$ dérivable sur $[a,b]$).
• Énoncer le théorème des accroissements finis. Illustration schématique.

Exercices :

Applications linéaires

Note aux colleurs : les exemples prennent la plupart du temps place dans des espaces vectoriels du type $\mathbb{K}^n$ avec $n=(1,)2,3$ ou $4$.

• Montrer qu'une fonction est ou n'est pas une application linéaire.
• Déterminer l'image et le noyau d'une application linéaire. Utilisation du théorème du rang.
• Caractérisation de l'injectivité par le noyau.
• Caractérisation de la surjectivité par l'image.
• Être capable d'utiliser le fait que si $f \in L(E)$ ($f$ est un endomorphisme de $E$) alors on a la caractérisation suivante : $f$ est bijective si et seulement si $f$ est injective si et seulement si $f$ est surjective.
• Être capable d'utiliser (et d'expliquer) que si $E=\text{Vect}(u_1,u_2,\dots, u_n)$ alors $f(E)=\text{Vect}(f(u_1),f(u_2),\dots, f(u_n))$, déterminer une base de l'image de $f$.
• Représentation matricielle d'une application linéaire.

Dérivation

• Calcul de dérivée.
• Calcul de limite en faisant apparaitre un taux d'accroissement. Utilisation des équivalents usuels.
• Utilisation du théorème de Rolle.
• Utilisation du T.A.F.
• (Pour les étudiants les plus à l'aise : ) Etude guidée de suites récurrentes via l'utilisation du T.A.F (note aux colleurs : l'inégalité des accroissements finis est hors-programme).
• Lien entre monotonie de $f$ et signe de $f'$ sur un intervalle.
• Fonctions de classe $C^n$ sur $I$, où $n$ est un entier naturel.

Python

• Simulation de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli; une loi binomiale; une loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$.
• Valeur approchée de l'espérance d'une variable aléatoire en Python.

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Cette semaine : variables aléatoires finies, applications linéaires.

Questions de cours :

Variables aléatoires finies

Soit $X$ une variable aléatoire finie, $n\geq 1$ un entier naturel et $p\in [0,1]$.

• Donner la définition de l'espérance de $X$ et montrer que l'espérance d'une variable aléatoire positive est positive.
• Énoncer et démontrer la formule de Koenig-Huygens.
• Énoncer le théorème de transfert et l'appliquer à un exemple choisi par le colleur.
• Définir l'assertion "$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$". Dans ce cas, calculer l'espérance, la variance et donner la fonction de répartition de $X$.
• Définir l'assertion "$X$ suit une loi de binomiale de paramètre $n$ et $p$". Dans ce cas, calculer l'espérance de $X$ et donner sa variance (le calcul de la variance n'a pas été fait en classe).
• Définir l'assertion "$X$ suit une loi uniforme sur $\{1,\dots, n\}$". Dans ce cas, calculer l'espérance de $X$ ainsi que sa variance.

Applications linéaires

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie sur $\mathbb{K}$ et soit $f:E\rightarrow F$ une application linéaire.

• Donner la définition de l'assertion "$f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$". Notation : $f\in \mathcal{L}(E,F)$.
• Démontrer que $f(0_E)=0_F$ et que pour tout $x\in E$, $f(-x)=-f(x)$.
• Donner la définition de $\text{Ker}(f)$ et démontrer que c'est un sous espace vectoriel de $E$.
• Donner la définition de $\text{Im}(f)$ et démontrer que c'est un sous espace vectoriel de $F$.
• Énoncer et démontrer la propriété suivante : $f$ est injective si et seulement si $\text{Ker}(f)=\{0_E\}.$
• Énoncer le théorème du rang. Application au cas d'un endomorphisme de $E$.
• Déterminer la matrice d'une application linéaire dans deux bases données.

Exercices :

Variables aléatoires finies

• Loi d'une variable aléatoire finie. Fonction de répartition d'une v.a. finie.
• Espérance, variance, écart-type et moments d'une v.a. Formule de Koenig-Huygens.
• Théorème de transfert.
• Indépendance de variables aléatoires.
• Lois usuelles : loi certaine, loi de Bernoulli, loi binomiale, loi uniforme sur un ensemble fini.

Applications linéaires

Note aux colleurs : les exemples prennent la plupart du temps place dans des espaces vectoriels du type $\mathbb{K}^n$ avec $n=(1,)2,3$ ou $4$.

• Montrer qu'une fonction est ou n'est pas une application linéaire.
• Déterminer l'image et le noyau d'une application linéaire. Utilisation du théorème du rang.
• Caractérisation de l'injectivité par le noyau.
• Caractérisation de la surjectivité par l'image.
• Être capable d'utiliser le fait que si $f \in L(E)$ ($f$ est un endomorphisme de $E$) alors on a la caractérisation suivante : $f$ est bijective si et seulement si $f$ est injective si et seulement si $f$ est surjective.
• Être capable d'utiliser (et d'expliquer) que si $E=\text{Vect}(u_1,u_2,\dots, u_n)$ alors $f(E)=\text{Vect}(f(u_1),f(u_2),\dots, f(u_n))$, déterminer une base de l'image de $f$.
• Représentation matricielle d'une application linéaire.