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Document de 174 ko, dans Mathématiques/Cours

Equations différentielles (linéaires, ordre 1 ou 2 à coefficients constants); suites réelles. Tableaux Numpy.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• Résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1 ou 2 à coefficients (et second membre) constant.
• Une ou plusieurs questions de cours sur les suites ou Python,
• Puis on passe aux exercices.

Questions de cours : Suites réelles.

• Définir mathématiquement l'assertion : la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers le nombre $l\in \mathbb{R}$.
• Définir mathématiquement l'assertion : la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$.
• Enoncer les trois limites suivantes, appelées "croissances comparées" : pour $a>1$, $\alpha>0$ et $\beta >0$ on a $$\lim_{n\to +\infty} \frac{n!}{a^n}=+\infty,\quad \lim_{n\to +\infty} \frac{a^n}{n^\alpha}=+\infty \quad \text{et} \quad \lim_{n\to +\infty} \frac{n^\alpha}{\ln(n)^\beta}=+\infty.$$
• En utilisant la propriété du cours intitulée "Conservation des inégalités lors du passage à la limite"
  

  (si $(u_n)$ est une suite à termes positifs ou nuls convergeant vers un nombre réel $l\in \mathbb{R}$ alors $l$ est positif ou nul),

  démontrer la propriété suivante :

  si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites réelles telles que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n \leq v_n$ et si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers deux limites finies notées $l$ et $l'$, alors $l\leq l'$.
• Un calcul de limites utilisant l'un des outils suivants : les opérations ou la composition des limites, les croissances comparées ci-dessus, le théorème des gendarmes, le théorème de comparaison.
• Donner l'énoncé du théorème de convergence monotone.
• Donner l'énoncé de la propriété appelée : "alternative pour les suites croissantes".

Question de cours : Python

Note aux colleurs : n'hésitez pas, si votre salle de colle dispose d'un ordinateur, à lancer une session, puis à faire travailler directement l'étudiant.e sur la machine pour la question Python. L'algorithme de tri par comptage n'a pas encore été abordé en classe.

• Être capable d'utiliser les fonctions et outils de référence pour créer des tableaux Numpy et accéder à leurs attributs (notamment leurs éléments, leur taille, le nombre de ligne et de colonnes). En particulier : np.zeros, np.array, np.diag, np.ones. Opérations arithmétiques et fonctions sur les tableaux Numpy. Produit matriciel à l'aide de la fonction np.dot.
• Écrire une fonction Python transpose qui prend en entrée une matrice $A$ (sous la forme d'un tableau Numpy) et qui renvoie sa matrice transposée $A^T$.
• Ecrire une fonction Python qui prend en entrée une matrice $A$ (sous la forme d'un tableau Numpy) et qui renvoie True si $A$ est diagonale, False sinon

Exercices sur les suites réelles

• Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones.
• Convergence, divergence. Limite infinie.
• Comparaison de la convergence de la suite $(u_{n})$ et des deux suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$.
• Propriétés des suites convergentes : toute suite convergente est bornée; conservation des inégalités lors du passage à la limite; théorème des gendarmes; théorème de comparaison.
• Théorème de la limite monotone.
• Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes.
• Croissances comparées.
• Etude guidée d'une suite récurrente du type : $\forall n \in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=f(u_n)$.

Exercices : Python

Travail autour des tableaux Numpy.

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Chapitre sur les suites réelles. Algorithmes de tri en Python.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• La colle commence par le calcul d'une "petite" matrice carrée via l'algorithme de Gauss. Cette étape ne doit pas dépasser 5 à 10 minutes ! Il est attendu que les élèves sachent expliquer la démarche.
• Une ou plusieurs questions de cours sur les suites ou Python,
• Puis on passe aux exercices.

Questions de cours : Suites réelles.

• Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Donner la définition de chacune des assertions suivantes : $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée; $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est minorée; $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est bornée.
• Soient $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ deux suites bornées. Démontrer que les suites $(u_n+v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(u_n\times v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sont bornées. Que se passe-t-il si l'on remplace l'adjectif "borné" par l'adjectif "majoré" ?
• Définir l'assertion : la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers le nombre $l\in \mathbb{R}$.
• Enoncer les trois limites suivantes, appelées "croissances comparées" : pour $a>1$, $\alpha>0$ et $\beta >0$ on a $$\lim_{n\to +\infty} \frac{n!}{a^n}=+\infty,\quad \lim_{n\to +\infty} \frac{a^n}{n^\alpha}=+\infty \quad \text{et} \quad \lim_{n\to +\infty} \frac{n^\alpha}{\ln(n)^\beta}=+\infty.$$
• En utilisant la propriété du cours intitulée "Conservation des inégalités lors du passage à la limite"
  

  (si $(u_n)$ est une suite à termes positifs ou nuls convergeant vers un nombre réel $l\in \mathbb{R}$ alors $l$ est positif ou nul),

  démontrer la propriété suivante :

  si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites réelles telles que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n \leq v_n$ et si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers deux limites finies notées $l$ et $l'$, alors $l\leq l'$.
• Un calcul de limites utilisant l'un des outils suivants : les opérations ou la composition des limites, les croissances comparées ci-dessus, le théorème des gendarmes, le théorème de comparaison.
• Donner l'énoncé du théorème de convergence montone.
• Donner l'énoncé de la propriété appelée : "alternative pour les suites croissantes".

Question de cours : Python

Note aux colleurs : n'hésitez pas, si votre salle de colle dispose d'un ordinateur, à lancer une session, puis à faire travailler directement l'étudiant.e sur la machine pour la question Python. L'algorithme de tri par comptage n'a pas encore été abordé en classe.

• Ecrire une fonction qui prend en entrée une liste $L$ et qui détermine si la liste $L$ est triée par ordre croissant (+ variations autour de ce thème).
• Décrire l'algorithme de tri par insertion (on pourra s'aider d'un exemple pour formuler ensuite l'algorithme général), et $(\star)$ donner son implémentation en Python.
• Décrire l'algorithme de tri par sélection (on pourra s'aider d'un exemple pour formuler ensuite l'algorithme général), et $(\star)$ donner son implémentation en Python.

Exercices sur les suites réelles

• Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones.
• Convergence, divergence. Limite infinie.
• Définition de la limite (cas fini, cas $+\infty$).
• Comparaison de la convergence de la suite $(u_{n})$ et des deux suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$.
• Propriétés des suites convergentes : toute suite convergente est bornée; conservation des inégalités lors du passage à la limite; théorème des gendarmes; théorème de comparaison.
• Théorème de la limite monotone.
• Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes.
• Croissances comparées.

Exercices : Python

Travail autour des manipulations de liste et des algorithmes de tri.

Matrices; début du chapitre sur les suites réelles. Algorithmes de tri en Python.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• calculer l'inverse d'une "petite" matrice carrée via l'algorithme de Gauss,
• une ou plusieurs questions de cours,
• puis on passe aux exercices.

Questions de cours : Matrices.

On note $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $n$ un nombre entier, ainsi que $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.

• Donner l'énoncé du théorème donnant la formule du binôme de Newton dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Application à un calcul de puissance, choisi par le colleur.
• Donner la définition de l'assertion : $A$ est inversible. Démontrer que si $A$ est inversible alors son inverse est unique.
• Démontrer que si $A$ et $B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ sont inversibles alors $AB$ est inversible et donner son inverse.
• Inversibilité des matrices carrées d'ordre 2 : soit $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c& d\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$. Démontrer que $M$ est inversible si et seulement si $\det(M) \neq 0$ et dans ce cas exprimer $M^{-1}$ en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$.

Questions de cours : Suites réelles.

• Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Donner la définition de chacune des assertions suivantes : $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée; $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est minorée; $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est bornée.
• Soient $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ deux suites bornées. Démontrer que les suites $(u_n+v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(u_n\times v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sont bornées. Que se passe-t-il si l'on remplace l'adjectif "borné" par l'adjectif "majoré" ?

Question de cours : Python

Note aux colleurs : n'hésitez pas, si votre salle de colle dispose d'un ordinateur, à lancer une session, puis à faire travailler directement l'étudiant.e sur la machine pour la question Python. L'algorithme de tri par comptage n'a pas encore été abordé en classe.

• Ecrire une fonction qui prend en entrée une liste $L$ et qui détermine si la liste $L$ est triée par ordre croissant (+ variations autour de ce thème).
• Décrire l'algorithme de tri par insertion (on pourra s'aider d'un exemple pour formuler ensuite l'algorithme général), et $(\star)$ donner son implémentation en Python.
• Décrire l'algorithme de tri par sélection (on pourra s'aider d'un exemple pour formuler ensuite l'algorithme général), et $(\star)$ donner son implémentation en Python.

Exercices sur les matrices

• Les ensembles de matrices $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$.
• Quelques matrices carrées particulières : triangulaires supérieures, inférieures, diagonales; symétriques et antisymétriques. Les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls.
• Opérations sur les matrices : addition, multiplication par un scalaire, produit matriciel, transposée. Propriétés du produit matriciel. Le produit de deux matrices diagonales (respectivement triangulaires) est diagonal (respectivement triangulaire).
• Puissances d'une matrice carrée. Calcul des puissances d'une matrice carrée (notamment par conjecture et récurrence, en utilisant la formule du binôme de Newton ou en utilisant une polynôme annulateur).
• Inverse d'une matrice carrée. Définition (unicité) de l'inverse. Propriétés de l'inverse. Le produit de deux matrices inversibles est inversible. Inversibilité d'une matrice diagonale (ou triangulaire supérieure).
• Inversibilité et calcul de l'inverse d'une matrice carrée dans certains cas particuliers : matrices d'ordre 2, matrices diagonales, ou via l'utilisation d'un polynôme annulateur.
• Ecriture matricielle d'un système linéaire.
• Rang d'une matrice; $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^T)$; caractérisation de l'inversibilité d'une matrice carrée par son rang.
• Inversibilité et calcul de l'inverse d'une matrice carrée : algorithme du pivot de Gauss. Lien entre l'inversion d'une matrice et la résolution des systèmes linéaires associés.

Exercices sur les suites réelles

C'est le début du chapitre. On peut étudier la monotonie ou le caractère majoré / minoré / borné de certaines suites.

Exercices : Python

Travail autour des manipulations de liste et des algorithmes de tri.

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