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Bonjour,

Vous avez été admis au lycée Marcelin Berthelot à la rentrée prochaine, bravo !

Afin de préparer au mieux votre rentrée, nous vous conseillons de passer un bel été, reposant et ressourçant !

Il conviendra d'anticiper la rentrée en adoptant un rythme de vie adapté aux horaires scolaires et en vous remettant progressivement au travail avant la reprise...

Vous trouverez ici les conseils communs adressés aux étudiants des 3 classes de BCPST1 pour une entrée réussie en BCPST1...

Conseils pour les mathématiques

Conseils pour la physique-chimie

Conseils pour les SVT

Conseils pour le français

Conseils pour l'anglais

Concernant l'accès général au site cahier de prepa, il est inutile de le demander avant septembre, les comptes seront créés après la rentrée.

Au plaisir de vous rencontrer en septembre,

L'équipe enseignante

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Applications linéaires. Variables aléatoires finies.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• Une ou deux questions de cours.
• Puis on passe aux exercices.

Questions de cours : Applications linéaires

Dans la suite $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels sur $\mathbb{K}$ (de dimension finie).

• Donner la définition de l'assertion : "$f:E\rightarrow F$ est une application linéaire".
• Soit $f\in L(E,F)$. Donner la définition du noyau de $f$ et de l'image de $f$.
• Soit $f\in L(E,F)$. Donner la caractérisation de l'injectivité de $f$ par le noyau. $(\star)$ Si l’élève est volontaire, la démontrer.
• Énoncer le théorème du rang pour $f\in L(E,F)$. Application au cas $F=E$ : si $f\in L(E)$, alors $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.

Questions de cours : Variables aléatoires finies.

Soit $X$ une variable aléatoire finie, $n\geq 1$ un entier naturel et $p\in [0,1]$.

• Donner la définition de l'espérance de $X$ et montrer que l'espérance d'une variable aléatoire positive est positive.
• Énoncer et démontrer la formule de Koenig-Huygens.
• Énoncer le théorème de transfert et l'appliquer à un exemple choisi par le colleur.
• Définir l'assertion "$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$". Dans ce cas, calculer l'espérance, la variance et donner la fonction de répartition de $X$.
• Définir l'assertion "$X$ suit une loi de binomiale de paramètre $n$ et $p$". Dans ce cas, calculer l'espérance de $X$ et donner sa variance (le calcul de la variance n'a pas été fait en classe).
• Définir l'assertion "$X$ suit une loi uniforme sur $\{1,\dots, n\}$". Dans ce cas, calculer l'espérance de $X$ ainsi que sa variance.

Exercices sur le chapitre applications linéaires.

• Définition et propriétés générales élémentaires des applications linéaires (image du vecteur nul, image d'une combinaison linéaire, etc..)
• L'image d'un s.e.v par une application linéaire est un s.e.v. Précisément, si $f$ est linéaire, $$f(\mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_n))=\mathrm{Vect}(f(e_1),\dots,f(e_n)).$$
• Noyau et image d'une application linéaire. Caractérisation de l'injectivité / surjectivité / bijectivité de $f$ par noyau et image.
• Théorème du rang pour une application linéaire.
• Représentation matricielle d'une application linéaire (dans deux bases) : opérations et propriétés.
• Si $B$ est une base de $E$, $B'$ est une base de $F$ et si $f\in L(E,F)$, alors pour tout $x\in E$, $$\mathrm{coord}_{B'}(f(x))=\mathrm{Mat}_{B,B'}(f)\times \mathrm{coord}_{B}(x).$$
• Noyau et image d'une matrice.
• Théorème du rang pour une matrice.

Exercices sur le chapitre variables aléatoires finies

• Loi d'une variable aléatoire finie. Fonction de répartition d'une v.a. finie.
• Espérance, variance, écart-type et moments d'une v.a. Formule de Koenig-Huygens.
• Théorème de transfert.
• Indépendance de variables aléatoires.
• Lois usuelles : loi certaine, loi de Bernoulli, loi binomiale, loi uniforme sur un ensemble fini.

Applications linéaires. Géométrie. Python : recherche de zéros par dichotomie.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• Une ou deux questions de cours.
• Puis on passe aux exercices.

Questions de cours : Applications linéaires

Dans la suite $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels sur $\mathbb{K}$ (de dimension finie).

• Donner la définition de l'assertion : "$f:E\rightarrow F$ est une application linéaire".
• Soit $f\in L(E,F)$. Donner la définition du noyau de $f$ et de l'image de $f$.
• Soit $f\in L(E,F)$. Donner la caractérisation de l'injectivité de $f$ par le noyau. $(\star)$ Si l’élève est volontaire, la démontrer.
• Énoncer le théorème du rang pour $f\in L(E,F)$. Application au cas $F=E$ : si $f\in L(E)$, alors $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.

Questions de cours : Géométrie

$n$ est un entier pouvant valoir $2$ ou $3$.

• Donner la définition du produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$. Donner la définition de la propriété "le produit scalaire est positif" et la démontrer. Donner la définition de la propriété "le produit scalaire est défini" et la démontrer.
• Donner la définition de la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$.
• Énoncer et démontrer le théorème de Pythagore dans $\mathbb{R}^n$.

Questions de cours : Python.

Exposer le principe de la méthode de recherche de zéros d'une fonction par dichotomie. On attend les hypothèses précises et une description des étapes de l'algorithme. $(\star \star)$ Pour les étudiants / étudiantes les plus à l'aise, on peut demander l'implémentation de l'algorithme en Python (Note aux colleurs : ne pas hésiter à démarrer une session sur l'ordinateur, et faire implémenter puis tester sur machine).

Exercices sur le chapitre applications linéaires.

• Définition et propriétés générales élémentaires des applications linéaires (image du vecteur nul, image d'une combinaison linéaire, etc..)
• L'image d'un s.e.v par une application linéaire est un s.e.v. Précisément, si $f$ est linéaire, $$f(\mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_n))=\mathrm{Vect}(f(e_1),\dots,f(e_n)).$$
• Noyau et image d'une application linéaire. Caractérisation de l'injectivité / surjectivité / bijectivité de $f$ par noyau et image.
• Théorème du rang pour une application linéaire.
• Représentation matricielle d'une application linéaire (dans deux bases) : opérations et propriétés.
• Si $B$ est une base de $E$, $B'$ est une base de $F$ et si $f\in L(E,F)$, alors pour tout $x\in E$, $$\mathrm{coord}_{B'}(f(x))=\mathrm{Mat}_{B,B'}(f)\times \mathrm{coord}_{B}(x).$$
• Noyau et image d'une matrice.
• Théorème du rang pour une matrice.

Exercices sur le chapitre de géométrie.

• Produit scalaire et norme euclidienne : propriétés générales (en particulier, inégalité triangulaire, inégalité de Cauchy-Schwarz).
• Déterminant de deux vecteurs du plan; déterminant et colinéarité.
• Représentation paramétrique d'une droite ou d'un plan.
• Équation cartésienne d'une droite dans le plan.
• Équation cartésienne d'un plan dans l'espace.
• Équation cartésienne d'un cercle.
• Projection orthogonale sur une droite / sur plan.
• La distance d'un point à une droite / à un plan est réalisée par le projeté orthogonal sur cette droite / sur ce plan.

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Géométrie. Python : recherche de zéros par dichotomie. Révisions sur les espaces vectoriels.

Cette semaine les colles suivent le déroulement suivant :

• Une question de cours.
• Puis on passe aux exercices.

Questions de cours : Géométrie

$n$ est un entier pouvant valoir $2$ ou $3$.

• Donner la définition du produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$. Donner la définition de la propriété "le produit scalaire est positif" et la démontrer. Donner la définition de la propriété "le produit scalaire est défini" et la démontrer.
• Donner la définition de la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$.
• Énoncer et démontrer le théorème de Pythagore dans $\mathbb{R}^n$.
• Exercice-type : représentation paramétrique d'une droite du plan ou de l'espace. Équation cartésienne d'une droite du plan.
• Exercice-type : représentation paramétrique / équation cartésienne d'un plan de l'espace.
• Exercice-type : équation cartésienne d'un cercle dans le plan.
• Exercice-type : projeté orthogonal d'un point sur une droite ou sur un plan; distance à un point ou à un plan.

Questions de cours : Python.

Exposer le principe de la méthode de recherche de zéros d'une fonction par dichotomie. On attend les hypothèses précises et une description des étapes de l'algorithme. $(\star \star)$ Pour les étudiants / étudiantes les plus à l'aise, on peut demander l'implémentation de l'algorithme en Python (Note aux colleurs : ne pas hésiter à démarrer une session sur l'ordinateur, et faire implémenter puis tester sur machine).

Exercices sur le chapitre de géométrie.

• Produit scalaire et norme euclidienne : propriétés générales (en particulier, inégalité triangulaire, inégalité de Cauchy-Schwarz).
• Déterminant de deux vecteurs du plan; déterminant et colinéarité.
• Représentation paramétrique d'une droite ou d'un plan.
• Équation cartésienne d'une droite dans le plan.
• Équation cartésienne d'un plan dans l'espace.
• Équation cartésienne d'un cercle.
• Projection orthogonale sur une droite / sur plan.
• La distance d'un point à une droite / à un plan est réalisée par le projeté orthogonal sur cette droite / sur ce plan.

Exercices de révision sur les espaces vectoriels