Chapitre 5 - Applications linéaires
Les colles doivent s'assurer d'une maîtrise des bases avant d'éventuellement attaquer des exercices plus poussés.
- Théorèmes et définitions du cours
- Définition et caractérisation d'une application linéaire. Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme.
- Définition du noyau et de l'image d'une application linéaire, utilisation dans la caractérisation de l'injectivité et la surjectivité.
- Rang d'une application linéaire, propriétés du rang.
- Théorème du rang pour les application linéaire.
- Théorème de caractérisation des automorphismes.
- Et la version "matrices" de tout ça ; image, noyau, rang d'une matrice, caractérisation des matrices inversibles.
- Passage d'une application linéaire à la matrice canoniquement associée, et réciproquement.
- Équivalence entre une formulation en terme d'application linéaire+vecteurs et matrice+vecteurs colonnes (prop 7)
- Formule de changement de base.
- Méthodes à savoir appliquer
- Savoir montrer qu'une application donnée est linéaire.
- Savoir montrer qu'une application linéaire est un (endo/iso/auto)morphisme.
- Savoir donner la matrice d'une application linéaire dans une paire de base donnée (Méthode 1).
- Savoir effectuer, de bout en bout, un changement de base (Méthode 2).
- Savoir montrer que $M' = P^{-1}MP \implies M'^k = P^{-1}M^k P$ pour $k \in \mathbb{Z}$.
On n'a pas encore parlé de changement de base, ni de matrices semblables. On a brièvement parlé de polynôme d'endomorphismes, mais on n'a pas fait d'application. L'exercice classique reposant sur $P\in \mathbb{R}[X],\; P(A) = 0_{n} \text{ et } P(0) \neq 0 \implies A \text{ inversible et } A^{-1}$ est un polynôme en $A$ a déjà été vu mais peut être retravaillé.
Chapitre 6 - Statistiques bivariées
On n'a pas encore fait de TD là dessus, et un exercice de statistiques au tableau n'est pas chose aisée. On attend en contrepartie une connaissance précise du cours, et de l'utilisation de python pour répondre à quelques questions.
- Théorèmes et définitions du cours
- Statistiques descriptives de 1ère année ; moyenne et variance empirique d'un échantillon, écart-type médiane, quartiles.
- Nuage de point d'une série statistique double. Point moyen.
- Covariance empirique (biaisée) $s_{x,y}$, formule de Kœnig-Huygens.
- Définition du coefficient de corrélation linéaire $r_{x,y}$ pour une série statistique double.
- Interprétation de $r_{x,y}$.
- Résultat d'existence et d'unicité de la droite des moindres carrés.
- Valeurs des coefficients de la droite des moindres carrés.
- Méthodes à savoir appliquer
- Savoir faire une régression linéaire (justifier a priori et a posteriori, calculer $r_{x,y}$ et $a,b$ pour $y=ax+b$, et toute valeur intermédiaire nécessaire.
- Calcul de toutes ces choses-là avec Python, affichage de nuage de points et de droites.
- Savoir faire, guidé, une régression affine avec transformation.
