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Les objectifs :

• Revenir sur les nombres complexes et quelques points de méthodes;
• Étendre le cours d’ECG sur les espaces euclidiens au cas de la dimension infinie;
• En s’appuyant sur les deux premiers points, faire une introduction aux séries de Fourier;
• Généraliser la notion de déterminant à toute matrice de taille (n;n) puis voir les différentes techniques de calcul de ce dernier;
• Étendre le cours sur la réduction des matrices/endomorphismes en utilisant en particulier deux nouvelles notions : le déterminant et les nombres complexes;
• Étudier les équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2.

Espaces préhilbertiens réels et complexes

Espaces préhilbertiens réels et espaces euclidiens, formes sesquilinéaires, produit scalaire complexe, norme, représentation matricielle des formes sesquilinéaires, inégalité de Cauchy-Schwarz.

Compléments en analyse

Intégrales des fonctions complexes, séries entières.

Séries de Fourier

Définition des séries de Fourier, conditions de convergence, interprétation géométrique des séries de Fourier.

Équations différentielles I

Équations différentielles linéaires du premier et second ordre, problème de Cauchy, cas des fonctions à valeur dans un espace vectoriel de dimension finie supérieure à 1, équations différentielles linéaires scalaires d’ordre \(n\).

Déterminants

Déterminant d’un endomorphisme, déterminant d’une matrice, propriétés.

Réduction d’endomorphismes

Polynômes annulateurs, vecteurs propres et valeurs propres, polynôme minimal, polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation, cas nilpotent.

Équations différentielles II

Cas des fonctions à valeur dans un espace vectoriel de dimension finie supérieure à 1, équations différentielles linéaires scalaires d’ordre \(n\).

Python

Manipulation de matrices, programmation d’algorithmes pour la réduction d’endomorphismes.