Mathématiques
VII. Produits scalaires (sans réduction)
Produits scalaires, projections orthogonales, adjoint, endomorphismes auto-adjoints (lien avec les matrices symétriques).
Isométries, rotations (= isométries dont le déterminant est égal à $1$), matrices orthogonales. Groupe orthogonal $O_n(\mathbf{R})$, groupe spécial orthogonal $SO_n(\mathbf{R})$.
Étude des matrices orthogonales en dimension 2.
VIII. Intégrales
On étend la notion d'intégrale à tous les intervalles.
L'intégrale généralisée $$\int_a^b f(t)d t$$ est convergente lorsque l'intégrale $$\int_m^x f(t)dt$$ tend vers une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$ et lorsque $x$ tend vers $b$.
La fonction $f$ est intégrable sur l'intervalle $I=(a,b)$ lorsque l'intégrale généralisée $$\int_a^b \vert f(t)\vert dt$$ est convergente. L'intégrabilité de $f$ est donc une propriété de $\vert f\vert$ (et non de $f$).
Si $f$ est intégrable sur $(a,b)$, alors l'intégrale généralisée $$\int_a^b f(t)dt$$ est convergente.
Théorème de comparaison : quelques conditions suffisantes pour qu'une fonction continue par morceaux soit intégrable au voisinage d'un point $t_0$ (réel ou infini).
Linéarité, inégalités diverses, intégration par parties.
Changement de variable. Le théorème de changement de variable peut servir à démontrer qu'une fonction est intégrable.
Intégration des relations de comparaison. Études d'ordre de grandeur par encadrement, intégration par parties, intégration des relations de comparaison.
