Mathématiques
I. Normes
Révisions sur borne supérieure et borne inférieure
La norme supérieure est un majorant, passage à la borne supérieure.
Axiomes des normes
Vecteurs unitaires, parties bornées. Boules (ouvertes ou fermées), sphères. Les boules sont convexes. Exemples fondamentaux : valeur absolue, module, norme associée à un produit scalaire. Exemples usuels : norme produit, normes $\Vert\cdot\Vert_1$, $\Vert\cdot\Vert_2$ et $\Vert\cdot\Vert_\infty$ sur $\mathbf{K}^d$, sur $\mathfrak{M}_{n,p}(\mathbf{K})$, sur l'espace des fonctions continues sur un segment, sur l'espace des suites sommables.
Parties convexes
Les boules, ouvertes ou fermées, sont convexes.
Distance à une partie
Suites et séries de vecteurs
Propriétés des suites convergentes. Cas des suites dans un espace vectoriel produit (convergence composante par composante). Suites extraites et valeurs d'adhérence.
Comparaison des normes
Normes équivalentes, comparaison des normes usuelles.
Applications lipschitziennes
Cas des applications linéaires, norme subordonnée. Si $f$ est une application linéaire continue (=lipschitzienne), alors la norme subordonnée de $f$ $$ \vert\Vert f\Vert\vert=\sup_{\Vert x\Vert_E=1}\Vert f(x)\Vert_F $$ est la constante de Lipschitz optimale (= la plus petite possible) pour $f$. Continuité des applications multilinéaires (résultat admis).
Méthodes à connaître
* La borne supérieure d'une partie bornée est un majorant : $$ \forall\ x\in X,\qquad x\leqslant\sup X. $$
* Lorsqu'on a trouvé un majorant indépendant du paramètre : $$ \forall\ x\in X,\qquad f(x)\leqslant M $$ on peut passer à la borne supérieure : $$ \sup_{x\in X}f(x)\leqslant M. $$
* Pour démontrer que deux normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes, on démontre successivement qu'il existe deux constantes $K_1$ et $K_2$ telles que $$ \forall\ x\in E,\quad N_1(x)\leqslant K_1N_2(x) \qquad\text{et}\qquad \forall\ x\in E,\quad N_2(x)\leqslant K_2N_2(x). $$
* Pour démontrer que deux normes $N_1$ et $N_2$ ne sont pas équivalentes, on cherche une suite $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de vecteurs de $E$ qui est bornée pour l'une des deux normes sans être bornée pour l'autre norme (variante : qui tend vers $0_E$ pour l'une des normes mais pas pour l'autre).
* Une application linéaire $f\::\:E\to F$ est lipschitzienne (en fait : continue) si, et seulement si, il existe une constante $K$ telle que $$ \forall\ x\in E,\qquad \Vert f(x)\Vert_F\leq K.\Vert x\Vert_E. $$
* Pour démontrer que l'application linéaire $f$ n'est pas continue, il suffit de trouver une suite $(u_n)_{n\in\textbf{N}}$ de vecteurs (non nuls) de $E$ tels que $$ \lim_{n\to+\infty}\frac{\Vert f(u_n)\Vert_F}{\Vert u_n\Vert_E}=+\infty. $$
II. Topologie d'un espace vectoriel normé
Révisions rapides sur image directe, image réciproque.
Notion de voisinage. Parties ouvertes, parties fermées. Adhérence d'une partie, intérieur d'une partie. Partie dense. Partie compacte.
Continuité
Applications continues, uniformément continues. Image réciproque d'une partie ouverte ou fermée. Applications continues sur une partie compacte (bornes atteintes, théorème de Heine).
Exercices de la banque CCINP (fichier)
En filière MP, 40% de la note d'oral de mathématiques porte sur un exercice d'application du cours tiré d'un recueil publié sur le site du concours en début d'année scolaire. Cette banque d'exercices contient une centaine d'exercices, très utiles pour s'assurer qu'on a bien compris le cours et qu'on sait s'en servir.
Au sujet du programme de cette semaine, on pourra se pencher sur les exercices suivants : 1, 13, 34, 35, 36, 37, 38, 44, 45, 54.
Questions de cours posées à l'oral de Centrale (fichier)
Autre salle, autre ambiance : des questions de cours sont posées à l'oral de Centrale, mais elles restent à la discrétion des interrogateurs, il n'y a pas de recueil officiel. Voici donc un recueil officieux, donc partiel, et qui ne préjuge pas des questions qui seront posées à l'avenir.
Au sujet du programme de cette semaine, on pourra se pencher sur les questions suivantes : 105, 106, 107, 109, 111, 116, 117, 121.
