Semaine du lundi 8 septembre 2025
Il n'y a pas de colles cette semaine.
Il n'y a pas de colles cette semaine.
La norme supérieure est un majorant, passage à la borne supérieure.
Vecteurs unitaires, parties bornées. Boules (ouvertes ou fermées), sphères. Les boules sont convexes. Exemples fondamentaux : valeur absolue, module, norme associée à un produit scalaire. Exemples usuels : norme produit, normes $\Vert\cdot\Vert_1$, $\Vert\cdot\Vert_2$ et $\Vert\cdot\Vert_\infty$ sur $\mathbf{K}^d$, sur $\mathfrak{M}_{n,p}(\mathbf{K})$, sur l'espace des fonctions continues sur un segment, sur l'espace des suites sommables.
Les boules, ouvertes ou fermées, sont convexes.
Propriétés des suites convergentes. Cas des suites dans un espace vectoriel produit (convergence composante par composante). Suites extraites et valeurs d'adhérence.
Normes équivalentes, comparaison des normes usuelles.
Cas des applications linéaires, norme subordonnée. Si $f$ est une application linéaire continue (=lipschitzienne), alors la norme subordonnée de $f$ $$ \vert\Vert f\Vert\vert=\sup_{\Vert x\Vert_E=1}\Vert f(x)\Vert_F $$ est la constante de Lipschitz optimale (= la plus petite possible) pour $f$. Continuité des applications multilinéaires (résultat admis).
* La borne supérieure d'une partie bornée est un majorant : $$ \forall\ x\in X,\qquad x\leqslant\sup X. $$
* Lorsqu'on a trouvé un majorant indépendant du paramètre : $$ \forall\ x\in X,\qquad f(x)\leqslant M $$ on peut passer à la borne supérieure : $$ \sup_{x\in X}f(x)\leqslant M. $$
* Pour démontrer que deux normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes, on démontre successivement qu'il existe deux constantes $K_1$ et $K_2$ telles que $$ \forall\ x\in E,\quad N_1(x)\leqslant K_1N_2(x) \qquad\text{et}\qquad \forall\ x\in E,\quad N_2(x)\leqslant K_2N_2(x). $$
* Pour démontrer que deux normes $N_1$ et $N_2$ ne sont pas équivalentes, on cherche une suite $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de vecteurs de $E$ qui est bornée pour l'une des deux normes sans être bornée pour l'autre norme (variante : qui tend vers $0_E$ pour l'une des normes mais pas pour l'autre).
* Une application linéaire $f\::\:E\to F$ est lipschitzienne (en fait : continue) si, et seulement si, il existe une constante $K$ telle que $$ \forall\ x\in E,\qquad \Vert f(x)\Vert_F\leq K.\Vert x\Vert_E. $$
* Pour démontrer que l'application linéaire $f$ n'est pas continue, il suffit de trouver une suite $(u_n)_{n\in\textbf{N}}$ de vecteurs (non nuls) de $E$ tels que $$ \lim_{n\to+\infty}\frac{\Vert f(u_n)\Vert_F}{\Vert u_n\Vert_E}=+\infty. $$
Révisions rapides sur image directe, image réciproque.
Notion de voisinage. Parties ouvertes, parties fermées. Adhérence d'une partie, intérieur d'une partie. Partie dense. Partie compacte.
Applications continues, uniformément continues. Image réciproque d'une partie ouverte ou fermée. Applications continues sur une partie compacte (bornes atteintes, théorème de Heine).
Cette banque d'exercices contient une foule d'exercices, très utiles pour s'assurer qu'on a bien compris le cours et qu'on sait s'en servir.
Sur le programme de cette semaine, on pourra se pencher sur les exercices suivants : 1, 13, 34, 35, 36, 37, 38, 44, 45, 54.
On peut aussi chercher des exercices posés aux oraux il y a quelque temps. Attention ! Certains énoncés demandent de savoir des choses qu'on n'a pas encore vues cette année...
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C'est par ici :