Mathématiques
VI. Sommes
Tout sur les séries : convergence absolue, critère spécial des séries alternées, règle de D'Alembert, sommation des relations de comparaison, comparaison somme/intégrale y compris sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$. (La notion de fonction intégrable n'a été vue que dans ce cas.)
Familles sommables : lien avec les séries absolument convergentes, théorèmes de Fubini (1 : CNS pour qu'une famille soit sommable ; 2 : dans le cas d'une famille sommable, sommation "par paquets").
(Pour les colleurs : n'hésitez pas à admettre tel ou tel résultat sur les séries entières si ça vous arrange, mais demandez bien pour quelles valeurs de $x$ la série $\sum a_nx^n$ est absolument convergente).
VII. Produits scalaires (**sans réduction**)
Exemples usuels de produits scalaires. Il faut savoir démontrer vite et bien qu'une application donnée est un produit scalaire, en commençant par le commencement (pourquoi la série est-elle convergente ? pourquoi l'intégrale est-elle convergente ? etc).
La projection orthogonale sur un sous-espace $F$ est définie si, et seulement si, $E=F\oplus^\bot F^\bot$ et dans ce cas, le sous-espace $F$ est fermé. (Si la dimension de $F$ est finie, alors $F$ est fermé et $E=F\oplus^\bot F^\bot$.) Décompositions en somme directe orthogonale, projections orthogonales associées à la décomposition. Algorithme de Gram-Schmidt (dimension finie ou dénombrable). Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie.
Adjoint d'un endomorphisme, endomorphismes auto-adjoints (dans un espace euclidien).
Représentations matricielles : matrice relative à une base $\mathscr B$ du produit scalaire ("matrice de Gram"), expression matricielle du produit scalaire et de la norme associée ; matrice de la projection orthogonale sur $F$ connaissant une BON de $F$ ; matrice de l'adjoint. Toutes ces formules sont considérablement plus simples quand on travaille dans une BON de $E$.
Exercices de la banque CCINP
Exercices 97, 108 et 111 (il s'agit à chaque fois de vérifier qu'on dispose d'une famille sommable de réels positifs et que la somme de cette famille est égale à $1$) ; exercices 63, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 92 (bon appétit !).
