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VII. Produits scalaires (sans réduction)

Produits scalaires, projections orthogonales, adjoint, endomorphismes auto-adjoints (lien avec les matrices symétriques).

Isométries, rotations (= isométries dont le déterminant est égal à $1$), matrices orthogonales. Groupe orthogonal $O_n(\mathbf{R})$, groupe spécial orthogonal $SO_n(\mathbf{R})$.

Étude des matrices orthogonales en dimension 2.

VIII. Intégrales

On étend la notion d'intégrale à tous les intervalles.

L'intégrale généralisée $$\int_a^b f(t)d t$$ est convergente lorsque l'intégrale $$\int_m^x f(t)dt$$ tend vers une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$ et lorsque $x$ tend vers $b$.

La fonction $f$ est intégrable sur l'intervalle $I=(a,b)$ lorsque l'intégrale généralisée $$\int_a^b \vert f(t)\vert dt$$ est convergente. L'intégrabilité de $f$ est donc une propriété de $\vert f\vert$ (et non de $f$).

Si $f$ est intégrable sur $(a,b)$, alors l'intégrale généralisée $$\int_a^b f(t)dt$$ est convergente.

Théorème de comparaison : quelques conditions suffisantes pour qu'une fonction continue par morceaux soit intégrable au voisinage d'un point $t_0$ (réel ou infini).

Linéarité, inégalités diverses, intégration par parties.

Changement de variable. Le théorème de changement de variable peut servir à démontrer qu'une fonction est intégrable.

Intégration des relations de comparaison. Études d'ordre de grandeur par encadrement, intégration par parties, intégration des relations de comparaison.

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Reprise du programme précédent

On peut encore interroger sur les décompositions en somme directe, les projections associées, le calcul matriciel par blocs.

VI. Sommes

On ajoute au cours de 1ère année la règle de D'Alembert et les sommations de relations de comparaison (cas convergent et cas divergent).

Il est particulièrement important d'être à l'aise pour comparer efficacement somme et intégrale (en commençant par une figure légendée).

Exemples d'utilisation de la transformation d'Abel.

Par analogie avec les séries convergentes et les séries absolument convergentes, notion d'intégrale généralisée convergente et de fonction intégrable sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ (pour le moment). Si une fonction est intégrable sur l'intervalle $I$, alors son intégrale généralisée est convergente. Théorème de comparaison pour justifier qu'une fonction est intégrable. Exemples de fonctions intégrables de référence.

Exercices de la banque CCINP

Exercices 5, 6, 7, 16 (questions 1 et 2), 28, 43, 46.

Exercices de l'oral Mines-Ponts (fichier)

Épreuve 4 exercice 2 (corrigé ici)

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VI. Sommes

Tout sur les séries : convergence absolue, critère spécial des séries alternées, règle de D'Alembert, sommation des relations de comparaison, comparaison somme/intégrale y compris sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$. (La notion de fonction intégrable n'a été vue que dans ce cas.)

Familles sommables : lien avec les séries absolument convergentes, théorèmes de Fubini (1 : CNS pour qu'une famille soit sommable ; 2 : dans le cas d'une famille sommable, sommation "par paquets").

(Pour les colleurs : n'hésitez pas à admettre tel ou tel résultat sur les séries entières si ça vous arrange, mais demandez bien pour quelles valeurs de $x$ la série $\sum a_nx^n$ est absolument convergente).

VII. Produits scalaires (**sans réduction**)

Exemples usuels de produits scalaires. Il faut savoir démontrer vite et bien qu'une application donnée est un produit scalaire, en commençant par le commencement (pourquoi la série est-elle convergente ? pourquoi l'intégrale est-elle convergente ? etc).

La projection orthogonale sur un sous-espace $F$ est définie si, et seulement si, $E=F\oplus^\bot F^\bot$ et dans ce cas, le sous-espace $F$ est fermé. (Si la dimension de $F$ est finie, alors $F$ est fermé et $E=F\oplus^\bot F^\bot$.) Décompositions en somme directe orthogonale, projections orthogonales associées à la décomposition. Algorithme de Gram-Schmidt (dimension finie ou dénombrable). Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie.

Adjoint d'un endomorphisme, endomorphismes auto-adjoints (dans un espace euclidien).

Représentations matricielles : matrice relative à une base $\mathscr B$ du produit scalaire ("matrice de Gram"), expression matricielle du produit scalaire et de la norme associée ; matrice de la projection orthogonale sur $F$ connaissant une BON de $F$ ; matrice de l'adjoint. Toutes ces formules sont considérablement plus simples quand on travaille dans une BON de $E$.

Exercices de la banque CCINP

Exercices 97, 108 et 111 (il s'agit à chaque fois de vérifier qu'on dispose d'une famille sommable de réels positifs et que la somme de cette famille est égale à $1$) ; exercices 63, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 92 (bon appétit !).

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