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XX. Structures algébriques usuelles

1. Groupes

Notion de sous-groupe engendré par une partie. Exemples matriciels (pivot), rappels sur le groupe symétrique.

Sous-groupe engendré par un élément, ordre d'un élément. Classification des groupes monogènes : un groupe monogène infini est isomorphe à $(\mathbf{Z},+)$ ; un groupe monogène d'ordre fini $n$ est isomorphe au groupe $(\mathbb{U}_n,\times)$ des racines $n$ièmes de l'unité.

2. Anneaux et corps

Rappels sur les éléments inversibles, les éléments nilpotents, les diviseurs de zéro. Morphisme d'anneaux. Structure d'anneau produit.

Idéaux d'un anneau commutatif. Divisibilité dans un anneau intègre, éléments associés, éléments irréductibles, interprétation en termes d'idéaux.

Exemples fondamentaux : $(\mathbf{Z},+,\times)$ et $\mathbf{K}[X],+,\times)$ avec leurs divisions euclidiennes respectives.

3. Algèbres et polynômes

Structure d'algèbre (associative et unitaire). Action des polynômes sur une algèbre, morphisme d'évaluation $P\mapsto P(a)$, sous-algèbre engendrée par un élément, idéal annulateur, polynôme minimal.

XXI. Arithmétique

"Révisions" de MPSI menées en autonomie : dans $\mathbf{Z}$ et dans $\mathbf{K}[X]$, pgcd et relation de Bézout, éléments premiers entre eux, théorème de Gauss, décomposition en produit d'irréductibles. Officiellement, le ppcm est hors programme, mais c'est une anomalie.

Nouveautés (cours commencé samedi 14, ne sera pas fini avant jeudi, les exercices sur ce domaine seront réservés aux 5/2 et aux seuls 3/2 volontaires) : interprétation de la relation de Bézout en termes d'idéaux, anneau $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$, lemme chinois, indicatrice d'Euler.