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X. Suites et séries de fonctions

Toujours d'actualité ! (ainsi que les intégrales)

XI. Séries entières

Calcul du rayon de convergence. Penser à utiliser la règle de D'Alembert même si elle ne s'applique pas toujours.

Propriétés de la somme : continuité sur le disque ouvert de convergence, théorème d'Abel "radial", classe $C^\infty$ sur l'intervalle ouvert de convergence, dérivation et primitivation terme à terme, unicité du DSE.

Fonctions développables en série entière, développements des fonctions usuelles (à connaître).

Calculs de développements : combinaison linéaire, changement de variable $u=at^p$, dérivation, primitivation, produit de Cauchy, utilisation du Théorème de Fubini.

Applications : prolongement de classe $C^\infty$, résolution d'équations différentielles linéaires.

Exercices de la banque CCINP

Exercices 2, 14 (on peut traiter directement Q3), 15, 18 à 24, 47, 51. [Il semble bien que ce soit une partie importante du cours.]

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Les intégrales, avec ou sans paramètres, restent au programme pour toutes les colles d'analyse à suivre.

X. Suites et séries de fonctions

Convergence simple, propriétés conservées par convergence simple.

Convergence uniforme. La convergence uniforme conserve la continuité. "En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur des intervalles adaptés à la situation."

Théorème "de la double limite" (= d'interversion des limites).

Cas des séries de fonctions : convergence uniforme d'une série de fonctions (= après avoir vérifié la convergence simple, on étudie la convergence de la suite des restes), convergence normale ; continuité de la somme, intégration terme à terme sur un segment, dérivation terme à terme.

Approximation uniforme sur un segment : toute fonction continue par morceaux est limite d'une suite de fonctions en escalier ; toute fonction continue est limite d'une suite de fonctions polynomiales (= Théorème de Weierstrass, admis pour le moment).

Exercices de la banque CCINP

Les nouveautés :

• Suites de fonctions : 9, 10, 11, 12, 27
• Séries de fonctions : 8, 14, 15, 16, 17, 18, 49, 53
• Approximation uniforme : 48

Révision utile : 1

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VIII. Intégrales

Reprise du programme précédent.

Théorèmes lebesguiens : convergence dominée (variante : convergence bornée sur un intervalle borné), théorème d'intégration terme à terme.

Le programme (pages 20 et 21) met à disposition deux théorèmes d'intégration terme à terme :

• cas d'une série de fonctions intégrables et positives : CNS pour que la somme de la série de fonctions soit intégrable ;
• cas d'une série de fonctions intégrables de signe quelconque (ou à valeurs complexes) : CS pour permuter l'intégrale et la somme infinie.

IX. Fonctions définies par une intégrale

On n'a pas oublié le Théorème fondamental pour étudier les intégrales en fonction des bornes !

Théorème de continuité. Théorème de dérivation sous le signe $\int$ : pour démontrer que $F$ est de classe $\mathscr C^n$, on peut se contenter de dominer la dérivée partielle d'ordre $n$ (càd de ne pas dominer les dérivées partielles d'ordre $1$ à $(n-1)$, cf programme, page 21).

Exercices de la banque CCINP

Intégrabilité : 28

Convergence dominée : 25, 26 [question subsidiaire : comment calculer la somme de la série de (3) ?]

Intégration terme à terme : 49

Étude en fonction d'un paramètre : 29, 30 [question subsidiaire : limite de $f$ au voisinage de $+\infty$ ?], 50 [questions subsidiaires : limite de $F$ au voisinage de $0$ ? équivalent de $F$ au voisinage de $0$ ? (plusieurs méthodes possibles)]

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