XIX. Calculs d'extrema
Un soupçon de géométrie différentielle
Vecteurs tangents à une partie.
Théorème officiellement admis : Si $g$ est une fonction numérique définie et de classe $C^1$ sur l’ouvert $\Omega$ de $E$, si $x_0\in X:=[g(x)=0]$ et $\mathrm{d}g(x_0)\not=0$, alors l'ensemble $T_{x_0}X$ des vecteurs tangents à $X$ au point $x_0$ est le noyau de la forme linéaire tangente $\mathrm{d}g(x_0)$.
Nous avons à cette occasion admis une version plus générale : si $g\::\:\Omega\to F$ et si l'application linéaire tangente $\mathrm{d}g(x_0)\in L(E,F)$ est surjective, alors... (Cette version générale est nécessaire pour traiter certains exercices posés à certains concours. Elle me sert surtout à faire comprendre la condition de non nullité de la forme linéaire tangente dans le cas où $g$ est à valeurs dans $\mathbf{R}$.)
Extrema sous contrainte (extrema liés)
Énoncé officiel (le seul) : si $f$ et $g$ sont des fonctions à valeurs réelles, définies et de classe $C^1$ sur l’ouvert $\Omega$ de $E$, si $X=[g(x)=0]$, si $x_0\in X$ et $\mathrm{d}g(x_0)\not=0$ et si la restriction de $f$ à $X$ atteint un extremum local en $x_0$, alors la forme linéaire tangente $\mathrm{d}f(x_0)$ est proportionnelle à la forme linéaire tangente $\mathrm{d}g(x_0)$.
XX. Structures algébriques usuelles
1. Groupes
Notion de sous-groupe engendré par une partie. Exemples matriciels (pivot), rappels sur le groupe symétrique.
Sous-groupe engendré par un élément, ordre d'un élément. Classification des groupes monogènes : un groupe monogène infini est isomorphe à $(\mathbf{Z},+)$ ; un groupe monogène d'ordre fini $n$ est isomorphe au groupe $(\mathbb{U}_n,\times)$ des racines $n$ièmes de l'unité.
Version faible du Théorème de Lagrange : si $(G,\star)$ est un groupe fini, alors l'ordre de tout élément $x$ de $G$ est un diviseur de l'ordre de $G$. NB : la version "forte" (l'ordre de tout sous-groupe de $G$ divise l'ordre de $G$) a été démontrée en cours, mais elle n'est pas au programme.
