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II. Topologie d'un espace vectoriel normé

Reprise du programme précédent (voisinages, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, compacité, convergence...)

Exemples de calculs de limite pour des fonctions de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\) (limites infinies, limites à l'infini).

Comparaison des normes : les propriétés topologiques (voisinage, ouvert, fermé, compact, convergence, continuité...) sont conservées par passage d'une norme \(N\) à une norme équivalente à \(N\).

III. Topologie produit

On se limite au cas d'un nombre fini de facteurs. Norme "naturelle" sur un produit cartésien d'espaces vectoriels normés. Un produit d'ouverts (de fermés ; de compacts) est ouvert (fermé ; compact) pour la topologie produit.

Convergence d'une suite dans un espace produit. Continuité d'une fonction à valeurs dans un espace produit.

Questions de cours posées à l'oral de Centrale

Aux questions du précédent programme, on peut ajouter 108, 112, 115 (avec la démonstration !), 119.

Banque CCINP

Rien de neuf cette semaine.

I. Normes

Révisions sur borne supérieure et borne inférieure

La norme supérieure est un majorant, passage à la borne supérieure.

Axiomes des normes

Vecteurs unitaires, parties bornées. Boules (ouvertes ou fermées), sphères. Les boules sont convexes. Exemples fondamentaux : valeur absolue, module, norme associée à un produit scalaire. Exemples usuels : norme produit, normes $\Vert\cdot\Vert_1$, $\Vert\cdot\Vert_2$ et $\Vert\cdot\Vert_\infty$ sur $\mathbf{K}^d$, sur $\mathfrak{M}_{n,p}(\mathbf{K})$, sur l'espace des fonctions continues sur un segment, sur l'espace des suites sommables.

Parties convexes

Les boules, ouvertes ou fermées, sont convexes.

Distance à une partie

Suites et séries de vecteurs

Propriétés des suites convergentes. Cas des suites dans un espace vectoriel produit (convergence composante par composante). Suites extraites et valeurs d'adhérence.

Comparaison des normes

Normes équivalentes, comparaison des normes usuelles.

Applications lipschitziennes

Cas des applications linéaires, norme subordonnée. Si $f$ est une application linéaire continue (=lipschitzienne), alors la norme subordonnée de $f$ $$ \vert\Vert f\Vert\vert=\sup_{\Vert x\Vert_E=1}\Vert f(x)\Vert_F $$ est la constante de Lipschitz optimale (= la plus petite possible) pour $f$. Continuité des applications multilinéaires (résultat admis).

Méthodes à connaître

* La borne supérieure d'une partie bornée est un majorant : $$ \forall\ x\in X,\qquad x\leqslant\sup X. $$

* Lorsqu'on a trouvé un majorant indépendant du paramètre : $$ \forall\ x\in X,\qquad f(x)\leqslant M $$ on peut passer à la borne supérieure : $$ \sup_{x\in X}f(x)\leqslant M. $$

* Pour démontrer que deux normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes, on démontre successivement qu'il existe deux constantes $K_1$ et $K_2$ telles que $$ \forall\ x\in E,\quad N_1(x)\leqslant K_1N_2(x) \qquad\text{et}\qquad \forall\ x\in E,\quad N_2(x)\leqslant K_2N_2(x). $$

* Pour démontrer que deux normes $N_1$ et $N_2$ ne sont pas équivalentes, on cherche une suite $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de vecteurs de $E$ qui est bornée pour l'une des deux normes sans être bornée pour l'autre norme (variante : qui tend vers $0_E$ pour l'une des normes mais pas pour l'autre).

* Une application linéaire $f\::\:E\to F$ est lipschitzienne (en fait : continue) si, et seulement si, il existe une constante $K$ telle que $$ \forall\ x\in E,\qquad \Vert f(x)\Vert_F\leq K.\Vert x\Vert_E. $$

* Pour démontrer que l'application linéaire $f$ n'est pas continue, il suffit de trouver une suite $(u_n)_{n\in\textbf{N}}$ de vecteurs (non nuls) de $E$ tels que $$ \lim_{n\to+\infty}\frac{\Vert f(u_n)\Vert_F}{\Vert u_n\Vert_E}=+\infty. $$

II. Topologie d'un espace vectoriel normé

Révisions rapides sur image directe, image réciproque.

Notion de voisinage. Parties ouvertes, parties fermées. Adhérence d'une partie, intérieur d'une partie. Partie dense. Partie compacte.

Continuité

Applications continues, uniformément continues. Image réciproque d'une partie ouverte ou fermée. Applications continues sur une partie compacte (bornes atteintes, théorème de Heine).

Exercices de la banque CCINP (fichier)

En filière MP, 40% de la note d'oral de mathématiques porte sur un exercice d'application du cours tiré d'un recueil publié sur le site du concours en début d'année scolaire. Cette banque d'exercices contient une centaine d'exercices, très utiles pour s'assurer qu'on a bien compris le cours et qu'on sait s'en servir.

Au sujet du programme de cette semaine, on pourra se pencher sur les exercices suivants : 1, 13, 34, 35, 36, 37, 38, 44, 45, 54.

Questions de cours posées à l'oral de Centrale (fichier)

Autre salle, autre ambiance : des questions de cours sont posées à l'oral de Centrale, mais elles restent à la discrétion des interrogateurs, il n'y a pas de recueil officiel. Voici donc un recueil officieux, donc partiel, et qui ne préjuge pas des questions qui seront posées à l'avenir.

Au sujet du programme de cette semaine, on pourra se pencher sur les questions suivantes : 105, 106, 107, 109, 111, 116, 117, 121.

Moi aussi, j'ai des questions à poser - en général, en lien avec l'actualité (le cours, la dernière composition en date). Ça se passe par ici.

Vous avez des questions à poser ? Posez-les !

Discrétion garantie (dans les limites de l'article 40 du code de procédure pénale).

Retrouvez les réponses ici

Dorénavant, le porche de Joyeuse sera ouvert le samedi matin de 7 h 30 à 8 h 05 ; sur le temps de la récréation du matin et de 11 h 45 à 12 h 15.

Les autres jours, le porche de Joyeuse ne sera ouvert qu'entre 7h30 et 8h05 et le reste du temps, il faudra passer par la rue des Minimes (arrivée sous le bâtiment scientifique).

Les cyclistes pourront garer leur vélo sous le préau du bâtiment scientifique (à condition d'arriver tôt, les places m'ont l'air un peu rares).

Prenez vos précautions, il ne sera guère possible d'aller faire un saut à la boulangerie lors de la pause de 10h.

La version préliminaire du colloscope est en ligne.

La composition des groupes peut encore changer.

Il reste très peu de degrés de liberté pour les colles de lettres (le vendredi après-midi).

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L'emploi du temps est publié ici (identification nécessaire).

Le déroulement du tronc commun d'informatique (alias le cours de Python) se trouve ici.

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Le rapport du jury pour l'épreuve écrite de lettres 2026 est déjà disponible ici. Le programme a changé, la manière de produire une dissertation reste.