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XII. Réduction des endomorphismes

Polynôme minimal : définition (= polynôme annulateur unitaire de plus bas degré possible), existence assurée en dimension finie, caractérisation (= $P$ est un polynôme annulateur ssi $P$ est divisible par le polynôme minimal), les racines du polynôme minimal sont les valeurs propres, CNS de diagonalisabilité. Cas de l'endomorphisme induit par restriction à un sous-espace stable.

Polynôme caractéristique : définition, son degré est égal à la dimension de $E$, ses racines sont les valeurs propres. La dimension d'un sous-espace propre est comprise entre $1$ et la multiplicité de la valeur propre (en tant que racine du polynôme caractéristique). Cas de l'endomorphisme induit par restriction à un sous-espace stable. Théorème de Cayley-Hamilton.

Morphisme d'algèbres $P\mapsto P(u)$. Son image $\mathbf{K}[u]$ est une sous-algèbre commutative de $\mathrm{L}(E)$. Son noyau est l'idéal annulateur. Polynômes annulateurs, toute valeur propre de $u$ est une racine de chaque polynôme annulateur. Action de $P(u)$ sur un sous-espace propre. Le noyau et l'image de $P(u)$ sont stables par $u$, quel que soit le polynôme $P$.

Endomorphismes nilpotents. L'indice de nilpotence est majoré par la dimension de l'espace, il est égal au degré du polynôme minimal. Caractérisation : un endomorphisme est nilpotent ssi il est trigonalisable et admet $0$ pour seule valeur propre. Indications pratiques sur la trigonalisation d'un endomorphisme nilpotent.

Théorème de décomposition des noyaux : cas d'un polynôme annulateur, cas d'un polynôme quelconque. Dans le cas d'un polynôme annulateur scindé à racines simples, expression des projections associées à la décomposition en somme directe. Caractérisation des endomorphismes diagonalisables (<=> il existe un polynôme annulateur non nul, scindé, à racines simples). Si $u$ est diagonalisable et si le sous-espace $F$ est stable par $u$, alors l'endomorphisme de $F$ induit par restriction de $u$ est diagonalisable. Caractérisation des endomorphismes trigonalisables (<=> il existe un polynôme annulateur non nul scindé).

Applications : calculs des puissances d'une matrice carrée ; résolution de systèmes différentiels à coefficients constants (avec l'exponentielle de matrices mais sans la théorie des équations différentielles) ; matrices compagnons, solutions des suites récurrentes linéaires d'ordre $n$, solutions des équations différentielles scalaires d'ordre $n$ à coefficients constants.

XIII + XIV +XV - Calcul des probabilités

Tribus, mesures de probabilité discrètes, espaces probabilisés.

Variables aléatoires discrètes, espérance, variance.

Vecteurs aléatoires, lois marginales, échantillons de v.a.i.i.d.

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Intégrales, séries de fonctions, séries entières : toujours d'actualité.

XII. Réduction des endomorphismes

Rappels sur les matrices semblables.

Polynôme minimal

Sous-algèbre de $L(E)$ constituée des polynômes en $u$. Idéal annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée. Polynôme minimal (lorsque l'idéal annulateur n'est pas réduit au polynôme nul). Polynôme minimal d'un endomorphisme nilpotent, indice de nilpotence. Dimension de $K[u]$ (= le degré du polynôme minimal).

Éléments propres

Vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres. Les sous-espaces propres sont en somme directe.

Polynôme caractéristique

Lien avec la trace et le déterminant. Multiplicité d'une valeur propre. Encadrement de la dimension des sous-espaces propres.

Endomorphismes diagonalisables

Définition matricielle (= existence d'une base de vecteurs propres). Caractérisation géométrique : $u$ est diagonalisable ssi $$E=\bigoplus_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}\ker(u-\lambda\mathrm{I}_E).$$

Caractérisation avec les multiplicités des valeurs propres.

Endomorphismes trigonalisables

Définition matricielle. Caractérisation géométrique (= existence d'un drapeau stable). Caractérisation polynomiale (<=> le polynôme caractéristique est scindé). Trigonalisation d'un endomorphisme nilpotent (cas où l'indice de nilpotence est la dimension de $E$ ; cas général).

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X. Suites et séries de fonctions

Toujours d'actualité ! (ainsi que les intégrales)

XI. Séries entières

Calcul du rayon de convergence. Penser à utiliser la règle de D'Alembert même si elle ne s'applique pas toujours.

Propriétés de la somme : continuité sur le disque ouvert de convergence, théorème d'Abel "radial", classe $C^\infty$ sur l'intervalle ouvert de convergence, dérivation et primitivation terme à terme, unicité du DSE.

Fonctions développables en série entière, développements des fonctions usuelles (à connaître).

Calculs de développements : combinaison linéaire, changement de variable $u=at^p$, dérivation, primitivation, produit de Cauchy, utilisation du Théorème de Fubini.

Applications : prolongement de classe $C^\infty$, résolution d'équations différentielles linéaires.

Exercices de la banque CCINP

Exercices 2, 14 (on peut traiter directement Q3), 15, 18 à 24, 47, 51. [Il semble bien que ce soit une partie importante du cours.]

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