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VI. Sommes

Tout sur les séries : convergence absolue, critère spécial des séries alternées, règle de D'Alembert, sommation des relations de comparaison, comparaison somme/intégrale y compris sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$. (La notion de fonction intégrable n'a été vue que dans ce cas.)

Familles sommables : lien avec les séries absolument convergentes, théorèmes de Fubini (1 : CNS pour qu'une famille soit sommable ; 2 : dans le cas d'une famille sommable, sommation "par paquets").

(Pour les colleurs : n'hésitez pas à admettre tel ou tel résultat sur les séries entières si ça vous arrange, mais demandez bien pour quelles valeurs de $x$ la série $\sum a_nx^n$ est absolument convergente).

VII. Produits scalaires (**sans réduction**)

Exemples usuels de produits scalaires. Il faut savoir démontrer vite et bien qu'une application donnée est un produit scalaire, en commençant par le commencement (pourquoi la série est-elle convergente ? pourquoi l'intégrale est-elle convergente ? etc).

La projection orthogonale sur un sous-espace $F$ est définie si, et seulement si, $E=F\oplus^\bot F^\bot$ et dans ce cas, le sous-espace $F$ est fermé. (Si la dimension de $F$ est finie, alors $F$ est fermé et $E=F\oplus^\bot F^\bot$.) Décompositions en somme directe orthogonale, projections orthogonales associées à la décomposition. Algorithme de Gram-Schmidt (dimension finie ou dénombrable). Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie.

Adjoint d'un endomorphisme, endomorphismes auto-adjoints (dans un espace euclidien).

Représentations matricielles : matrice relative à une base $\mathscr B$ du produit scalaire ("matrice de Gram"), expression matricielle du produit scalaire et de la norme associée ; matrice de la projection orthogonale sur $F$ connaissant une BON de $F$ ; matrice de l'adjoint. Toutes ces formules sont considérablement plus simples quand on travaille dans une BON de $E$.

Exercices de la banque CCINP

Exercices 97, 108 et 111 (il s'agit à chaque fois de vérifier qu'on dispose d'une famille sommable de réels positifs et que la somme de cette famille est égale à $1$) ; exercices 63, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 92 (bon appétit !).

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Reprise du programme précédent

On peut encore interroger sur les décompositions en somme directe, les projections associées, le calcul matriciel par blocs.

VI. Sommes

On ajoute au cours de 1ère année la règle de D'Alembert et les sommations de relations de comparaison (cas convergent et cas divergent).

Il est particulièrement important d'être à l'aise pour comparer efficacement somme et intégrale (en commençant par une figure légendée).

Exemples d'utilisation de la transformation d'Abel.

Par analogie avec les séries convergentes et les séries absolument convergentes, notion d'intégrale généralisée convergente et de fonction intégrable sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ (pour le moment). Si une fonction est intégrable sur l'intervalle $I$, alors son intégrale généralisée est convergente. Théorème de comparaison pour justifier qu'une fonction est intégrable. Exemples de fonctions intégrables de référence.

Exercices de la banque CCINP

Exercices 5, 6, 7, 16 (questions 1 et 2), 28, 43, 46.

Exercices de l'oral Mines-Ponts (fichier)

Épreuve 4 exercice 2

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IV - Compléments d'algèbre linéaire

Familles libres ou génératrices de cardinal quelconque.

Coordonnées relatives à une base (base duale en dimension finie, lien avec l'interpolation de Lagrange).

Somme directe de $r$ sous-espaces vectoriels. Décomposition en somme directe $$ E=\bigoplus_{k=1}^r E_k, $$ projections $(p_k)_{1\leqslant k\leqslant r}$ associées à une telle décomposition : $$\sum_{k=1}^r p_k=\mathrm I_E,\qquad\forall\ 1\leqslant i\not=j\leqslant r,\quad p_i\circ p_j=0.$$

V - Calcul matriciel par blocs

Utilisation des bases canoniques de $\mathfrak M_{n,1}(\mathbf K)$ et de $\mathfrak M_{n,p}(\mathbf K)$.

L'image d'une matrice est engendrée par les colonnes ; les relations de liaison entre les colonnes donnent des vecteurs du noyau (et même une base du noyau si on les trouve toutes).

Écriture d'une matrice en blocs, combinaisons linéaires, produits par blocs. Opérations de pivot sur les lignes et les colonnes (calcul du rang), sur des "lignes de blocs" et sur des "colonnes de blocs".

Avec des matrices à coefficients dans $\mathbf Z$ ou dans $\mathbf K[X]$, application à la résolution de l'équation de Bézout.

Sous-espaces stables par un endomorphisme, traduction matricielle en blocs.

Exercices de la banque CCINP

61 (en souvenir du passé récent), 60, 64, 71, 87 (en complétant la dernière question avec le cas $p>n$), 90.

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II. Topologie d'un espace vectoriel normé

Reprise du programme précédent (voisinages, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, compacité, convergence...)

Comparaison des normes : les propriétés topologiques (voisinage, ouvert, fermé, compact, convergence, continuité...) sont conservées par passage d'une norme $N$ à une norme équivalente à $N$.

III. Topologie produit

On se limite au cas d'un nombre fini de facteurs. Norme "naturelle" sur un produit cartésien d'espaces vectoriels normés. Un produit d'ouverts (de fermés ; de compacts) est ouvert (fermé ; compact) pour la topologie produit.

Convergence d'une suite dans un espace produit. Continuité d'une fonction à valeurs dans un espace produit.

Applications multilinéaires

Caractérisation des applications multilinéaires continues. Exemples.

Espaces vectoriels de dimension finie

Équivalence des normes. Convergence des séries absolument convergentes (série géométrique, série exponentielle). Caractérisation des compacts. Continuité des applications linéaires définies sur un espace de dimension finie. Utilisation des coordonnées, applications polynomiales et rationnelles.

Exercices de la banque CCINP

Aux exercices du précédent programme, on peut ajouter le 40.

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