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Programme très copieux cette semaine... Les interrogations porteront en priorité sur l'algèbre linéaire. Les sommes seront encore au programme de colle après les congés de la Toussaint.

IV - Compléments d'algèbre linéaire

Familles libres ou génératrices de cardinal quelconque. Coordonnées relatives à une base (base duale en dimension finie, lien avec l'interpolation de Lagrange). Somme directe de \(r\) sous-espaces vectoriels. Décomposition en somme directe $$E=\bigoplus_{k=1}^rE_k,$$ projections \((p_k)_{1\leqslant k⩽r}\) associées à une telle décomposition : $$\sum_{k=1}^rp_k=I_E,\qquad\forall 1⩽i≠j⩽r,\quad p_i\circ p_j=0.$$

V - Calcul matriciel par blocs

Utilisation des bases canoniques de \(M_{n,1}(K)\) et de \(M_{n,p}(K)\). L'image d'une matrice est engendrée par les colonnes ; les relations de liaison entre les colonnes donnent des vecteurs du noyau (et même une base du noyau si on les trouve toutes). Écriture d'une matrice en blocs, combinaisons linéaires, produits par blocs. Opérations de pivot sur les lignes et les colonnes (calcul du rang), sur des "lignes de blocs" et sur des "colonnes de blocs". Avec des matrices à coefficients dans \(Z\) ou dans \(K[X]\), application à la résolution de l'équation de Bézout. Sous-espaces stables par un endomorphisme, traduction matricielle en blocs.

VI. Sommes

Convergence absolue, règle de D'Alembert, sommation de relations de comparaison (cas convergent et cas divergent).

Critère spécial des séries alternées, exemples d'utilisation de la transformation d'Abel.

Il est particulièrement important d'être à l'aise pour comparer efficacement somme et intégrale (en commençant par une figure légendée).

Par analogie avec les séries convergentes et les séries absolument convergentes, notion d'intégrale généralisée convergente et de fonction intégrable sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ (pour le moment). Si une fonction est intégrable sur l'intervalle $I$, alors son intégrale généralisée est convergente. Théorème de comparaison pour justifier qu'une fonction est intégrable. Exemples de fonctions intégrables de référence.

Familles sommables : lien avec les séries absolument convergentes, théorèmes de Fubini (1 : CNS pour qu'une famille soit sommable ; 2 : dans le cas d'une famille sommable, sommation "par paquets"), produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.

Questions de cours posées à l'oral de Centrale

Calcul matriciel par blocs, sous-espaces stables : rien trouvé. Séries : 71 à 77. NB : en l'état, le 72 est assez difficile. On pourra simplifier l'exercice en supposant que \(v_n=O(1/n^2)\). Intégrales : 78, 83, 84.a.

Exercices de la banque CCINP

Exercices 5, 6, 7, 16 (questions 1 et 2), 43, 46. On pourra aussi étudier les 97, 108 et 111 en se bornant à vérifier à chaque fois qu'on a une famille sommable de réels positifs et que la somme de cette famille est toujours égale à 1.

IV - Compléments d'algèbre linéaire

Familles libres ou génératrices de cardinal quelconque.

Coordonnées relatives à une base (base duale en dimension finie, lien avec l'interpolation de Lagrange).

Somme directe de $r$ sous-espaces vectoriels. Décomposition en somme directe $$ E=\bigoplus_{k=1}^r E_k, $$ projections $(p_k)_{1\leqslant k\leqslant r}$ associées à une telle décomposition : $$\sum_{k=1}^r p_k=\mathrm I_E,\qquad\forall\ 1\leqslant i\not=j\leqslant r,\quad p_i\circ p_j=0.$$

V - Calcul matriciel par blocs

Utilisation des bases canoniques de $\mathfrak M_{n,1}(\mathbf K)$ et de $\mathfrak M_{n,p}(\mathbf K)$.

L'image d'une matrice est engendrée par les colonnes ; les relations de liaison entre les colonnes donnent des vecteurs du noyau (et même une base du noyau si on les trouve toutes).

Écriture d'une matrice en blocs, combinaisons linéaires, produits par blocs. Opérations de pivot sur les lignes et les colonnes (calcul du rang), sur des "lignes de blocs" et sur des "colonnes de blocs".

Avec des matrices à coefficients dans $\mathbf Z$ ou dans $\mathbf K[X]$, application à la résolution de l'équation de Bézout.

Sous-espaces stables par un endomorphisme, traduction matricielle en blocs.

Questions de cours posées à l'oral de Centrale

"Aujourd'hui, rien."

Exercices de la banque CCINP

60 et à titre de révisions : 3, 4, 55, 84, 89.

Document de 487 ko, dans Mathématiques/Cours/Exercices d'application

Document de 383 ko, dans Mathématiques/Cours/Exercices d'application

Document de 773 ko, dans Mathématiques/Cours/Exercices d'application

Document de 169 ko, dans Mathématiques/Cours

Document de 259 ko, dans Mathématiques/Cours

Document de 295 ko, dans Mathématiques/Cours

Document de 305 ko, dans Mathématiques/Compositions

Document de 277 ko, dans Mathématiques/Compositions

Deux sujets au choix :

Sujet * pas trop méchant

Sujet ** plus difficile

Au menu : beaucoup de topologie, mais pas que...

Il y aura deux sujets pour tout le monde, vous aurez tous intérêt à travailler sur ces deux sujets fort intéressants.

II. Topologie d'un espace vectoriel normé

III. Topologie produit

Applications multilinéaires

Caractérisation des applications multilinéaires continues. Exemples.

Espaces vectoriels de dimension finie

Équivalence des normes. Convergence des séries absolument convergentes (série géométrique, série exponentielle). Caractérisation des compacts. Continuité des applications linéaires définies sur un espace de dimension finie. Utilisation des coordonnées, applications polynomiales et rationnelles. Exponentielle d'une matrice carrée.

IV - Compléments d'algèbre linéaire

Familles libres ou génératrices de cardinal quelconque.

Coordonnées relatives à une base (base duale en dimension finie, lien avec l'interpolation de Lagrange).

Questions de cours posées à l'oral de Centrale

Algèbre linéaire : 21, 22, 26, 27. Topologie : 58, 110, 113, 118, 120.

Exercices de la banque CCINP

61, 64, 71, 87 (en complétant la dernière question avec le cas général $p>n$), 90.

Document de 125 ko, dans Mathématiques/Cours/Exercices divers

Document de 18 ko, dans Général

Document de 187 ko, dans Mathématiques/Compositions

II. Topologie d'un espace vectoriel normé

Reprise du programme précédent (voisinages, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, compacité, convergence...)

Exemples de calculs de limite pour des fonctions de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\) (limites infinies, limites à l'infini).

Comparaison des normes : les propriétés topologiques (voisinage, ouvert, fermé, compact, convergence, continuité...) sont conservées par passage d'une norme \(N\) à une norme équivalente à \(N\).

III. Topologie produit

On se limite au cas d'un nombre fini de facteurs. Norme "naturelle" sur un produit cartésien d'espaces vectoriels normés. Un produit d'ouverts (de fermés ; de compacts) est ouvert (fermé ; compact) pour la topologie produit.

Convergence d'une suite dans un espace produit. Continuité d'une fonction à valeurs dans un espace produit.

Questions de cours posées à l'oral de Centrale

Aux questions du précédent programme, on peut ajouter 108, 112, 115 (avec la démonstration !), 119.

Banque CCINP

Rien de neuf cette semaine.

I. Normes

Révisions sur borne supérieure et borne inférieure

La norme supérieure est un majorant, passage à la borne supérieure.

Axiomes des normes

Vecteurs unitaires, parties bornées. Boules (ouvertes ou fermées), sphères. Les boules sont convexes. Exemples fondamentaux : valeur absolue, module, norme associée à un produit scalaire. Exemples usuels : norme produit, normes $\Vert\cdot\Vert_1$, $\Vert\cdot\Vert_2$ et $\Vert\cdot\Vert_\infty$ sur $\mathbf{K}^d$, sur $\mathfrak{M}_{n,p}(\mathbf{K})$, sur l'espace des fonctions continues sur un segment, sur l'espace des suites sommables.

Parties convexes

Les boules, ouvertes ou fermées, sont convexes.

Distance à une partie

Suites et séries de vecteurs

Propriétés des suites convergentes. Cas des suites dans un espace vectoriel produit (convergence composante par composante). Suites extraites et valeurs d'adhérence.

Comparaison des normes

Normes équivalentes, comparaison des normes usuelles.

Applications lipschitziennes

Cas des applications linéaires, norme subordonnée. Si $f$ est une application linéaire continue (=lipschitzienne), alors la norme subordonnée de $f$ $$ \vert\Vert f\Vert\vert=\sup_{\Vert x\Vert_E=1}\Vert f(x)\Vert_F $$ est la constante de Lipschitz optimale (= la plus petite possible) pour $f$. Continuité des applications multilinéaires (résultat admis).

Méthodes à connaître

* La borne supérieure d'une partie bornée est un majorant : $$ \forall\ x\in X,\qquad x\leqslant\sup X. $$

* Lorsqu'on a trouvé un majorant indépendant du paramètre : $$ \forall\ x\in X,\qquad f(x)\leqslant M $$ on peut passer à la borne supérieure : $$ \sup_{x\in X}f(x)\leqslant M. $$

* Pour démontrer que deux normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes, on démontre successivement qu'il existe deux constantes $K_1$ et $K_2$ telles que $$ \forall\ x\in E,\quad N_1(x)\leqslant K_1N_2(x) \qquad\text{et}\qquad \forall\ x\in E,\quad N_2(x)\leqslant K_2N_2(x). $$

* Pour démontrer que deux normes $N_1$ et $N_2$ ne sont pas équivalentes, on cherche une suite $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de vecteurs de $E$ qui est bornée pour l'une des deux normes sans être bornée pour l'autre norme (variante : qui tend vers $0_E$ pour l'une des normes mais pas pour l'autre).

* Une application linéaire $f\::\:E\to F$ est lipschitzienne (en fait : continue) si, et seulement si, il existe une constante $K$ telle que $$ \forall\ x\in E,\qquad \Vert f(x)\Vert_F\leq K.\Vert x\Vert_E. $$

* Pour démontrer que l'application linéaire $f$ n'est pas continue, il suffit de trouver une suite $(u_n)_{n\in\textbf{N}}$ de vecteurs (non nuls) de $E$ tels que $$ \lim_{n\to+\infty}\frac{\Vert f(u_n)\Vert_F}{\Vert u_n\Vert_E}=+\infty. $$

II. Topologie d'un espace vectoriel normé

Révisions rapides sur image directe, image réciproque.

Notion de voisinage. Parties ouvertes, parties fermées. Adhérence d'une partie, intérieur d'une partie. Partie dense. Partie compacte.

Continuité

Applications continues, uniformément continues. Image réciproque d'une partie ouverte ou fermée. Applications continues sur une partie compacte (bornes atteintes, théorème de Heine).

Exercices de la banque CCINP (fichier)

En filière MP, 40% de la note d'oral de mathématiques porte sur un exercice d'application du cours tiré d'un recueil publié sur le site du concours en début d'année scolaire. Cette banque d'exercices contient une centaine d'exercices, très utiles pour s'assurer qu'on a bien compris le cours et qu'on sait s'en servir.

Au sujet du programme de cette semaine, on pourra se pencher sur les exercices suivants : 1, 13, 34, 35, 36, 37, 38, 44, 45, 54.

Questions de cours posées à l'oral de Centrale (fichier)

Autre salle, autre ambiance : des questions de cours sont posées à l'oral de Centrale, mais elles restent à la discrétion des interrogateurs, il n'y a pas de recueil officiel. Voici donc un recueil officieux, donc partiel, et qui ne préjuge pas des questions qui seront posées à l'avenir.

Au sujet du programme de cette semaine, on pourra se pencher sur les questions suivantes : 105, 106, 107, 109, 111, 116, 117, 121.

Moi aussi, j'ai des questions à poser - en général, en lien avec l'actualité (le cours, la dernière composition en date). Ça se passe par ici.

Vous avez des questions à poser ? Posez-les !

Discrétion garantie (dans les limites de l'article 40 du code de procédure pénale).

Retrouvez les réponses ici