Mathématiques
VI. Intégrales généralisées
Tout.
VII. Intégrales fonction d'un paramètre
Tout.
VIII. Suites et séries de fonctions
1. Convergence ponctuelle
Convergence simple. Propriétés conservées par convergence simple (monotonie, signe, convexité, parité, périodicité...) ; propriétés perdues (a priori) par convergence simple (continuité, dérivabilité...). Cas particuliers : si les fonctions sont uniformément bornées ou uniformément lipschitziennes, le caractère borné ou lipschitzien est conservé par convergence simple.
Propriétés locales : fonction continue sur $I$ ; de classe $C^1$ sur $I$... convergence simple sur $I$
Propriétés globales : fonction bornée sur $I$ ; intégrable sur $I$ ; lipschitzienne sur $I$... convergence dominée sur $I$ ; convergence uniforme sur $I$...
Au contraire, une propriété globale peut être vraie sur chaque segment $[a,b]\subset I$ tout en étant fausse sur $I$.
2. Convergences uniformes
Convergence uniforme sur $I$, associée à la norme $$ \Vert f\Vert_\infty=\sup_{t\in I}\vert f(t)\vert.$$
Théorème : si une suite de fonctions bornées converge uniformément sur $I$, alors la famille $(f_n)_{n\in\mathbf N}$ est uniformément bornée.
Théorème : si une suite de fonctions continues converge uniformément sur $I$ vers $f$, alors elle converge simplement sur $I$ vers $f$ et la fonction limite $f$ est continue sur $I$.
Exercices de la banque CCINP
Exercices 4, 27 (en entier), 9, 10, 11.
