Mathématiques
XI. Espaces probabilisés
Tribus (ou $\sigma$-algèbres de Boole). Mesures de probabilité sur $(\Omega,\mathcal A)$ (application $\sigma$-additive de la tribu $\mathcal A$ dans $[0,1]$ telle que $\mathbf{P}(\Omega)=1$). Règles de calcul (dont continuité monotone). Évènements presque sûrs, évènements négligeables. Systèmes complets d'évènements (SCE). Conditionnement par un évènement non négligeable $A$, mesure de probabilité $\mathbf{P}_A$. Conditionnement par un SCE (= formule des probabilités totales). Formule des probabilités composées. Évènements indépendants. Une mesure de probabilité discrète sur un ensemble fini ou dénombrable $E$ est caractérisée par la loi $$(p_x)_{x\in E}=\bigl(\mu(\{x\})\bigr)_{x\in E}.$$
XII. Variables aléatoires discrètes
Une v.a. discrète est une application de l'univers $\Omega$ (muni d'une tribu $\mathcal A$) dans un ensemble fini ou dénombrable $E$ telle que $$\forall\ x\in E,\quad[X=x]\in\mathcal A.$$ On en déduit que $$\forall\ A\in\mathscr P(E),\quad[X\in A]\in\mathcal{A}.$$
SCE associé à une v.a. discrète $X$ à valeurs dans $E$ : $$\bigl([X=k]\bigr)_{k\in E}.$$ Une v.a. discrète $X\::\:\Omega\to E$ est caractérisée par sa loi $$\bigl(\mathbf{P}(X=k)\bigr)_{k\in E},$$ qui est une famille sommable de réels positifs, dont la somme est égale à $1$.
Lois usuelles (Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson). Opérations sur les v.a. discrètes : la composée d'une v.a. discrète $X$ par une application quelconque $f$ est une v.a. discrète.
Espérance
V.A. d'espérance finie, v.a. centrées. Espérances des lois usuelles. Méthodes pour établir qu'une v.a. est intégrable (linéarité, comparaison, formule de transfert). Inégalité de Markov.
Variance
Moments (entiers) d'une v.a., v.a. de carré intégrable. Variance d'une v.a. de carré intégrable, formule de Koenig-Huyghens, inégalité de Schwarz. Covariance. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Fonctions génératrices
Fonction génératrice d'une v.a. $X$ à valeurs dans $\mathbf N$ : $$\forall\ t\in[0,1],\qquad G_X(t)=\sum_{k=0}^{+\infty} \mathbf{P}(X=k)t^k=\mathbf{E}(t^X).$$ Caractérisation des v.a. d'espérance finie et des v.a. de carré intégrable à l'aide de la fonction génératrice, calcul de $\mathbf{E}(X)$ et de $\mathbf{V}(X)$.
Exercices de la banque CCINP
Exercices 22, 23, 24, 75, 88.
