Mathématiques
XV. Espaces euclidiens (deuxième partie)
1. Réduction des isométries
Théorème de réduction des isométries (dans $\mathfrak M_n(\mathbf R)$ uniquement). Cas particuliers : isométries planes ; isométries en dimension 3.
En pratique, on se limite aux réflexions et rotations.
2. Théorème spectral
Théorème spectral (forme vectorielle : existence d'une base orthonormée de vecteurs propres ; forme géométrique : décomposition de $E$ en somme directe orthogonale de sous-espaces propres ; forme matricielle : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable et on peut choisir une matrice de passage orthogonale).
Si $S$ est une matrice symétrique réelle, alors $$\forall\ x\not=0,\qquad\langle x\vert Sx\rangle\geqslant0\quad\text{(resp. $>0$)}$$ si, et seulement si, les valeurs propres de $S$ sont toutes positives (resp. strictement positives). NB : La notion de forme quadratique est hors programme. (Comme d'habitude, l'éléphant est au milieu de la pièce, mais il faudrait ne pas en parler...)
Exercices de la banque CCINP
Exercices 31, 32, 55, 90, 91.
