Compilation Topologie (mise à jour)
Publication le 01/04 à 16h11 (publication initiale le 24/03 à 13h12)
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Publication le 26/03 à 11h45
Document de 141 ko, dans Informatique (tronc commun)/Annales
Publication le 26/03 à 11h45
Document de 590 ko, dans Informatique (tronc commun)/Annales
Publication le 24/03 à 13h11
Publication le 21/03 à 22h39
Publication le 21/03 à 22h38
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Publication le 21/03 à 16h38
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Publication le 20/03 à 21h42 (publication initiale le 29/03 à 21h57)
Document de 220 ko, dans Mathématiques/Cours et exercices d'application corrigés
Publication le 19/03 à 19h36
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Publication le 19/03 à 17h30
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Publication le 18/03 à 18h12
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Publication le 18/03 à 16h55
Publication le 18/03 à 08h53
Document de 286 ko, dans Mathématiques/Cours et exercices d'application corrigés/Compléments de cours à titre culturel
Publication le 15/03 à 19h16 (publication initiale le 10/03 à 20h23)
Document de 128 ko, dans Mathématiques/Cours et exercices d'application corrigés
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Document de 125 ko, dans Mathématiques/Cours et exercices d'application corrigés
Publication le 15/03 à 19h16 (publication initiale le 10/03 à 20h23)
Document de 181 ko, dans Mathématiques/Cours et exercices d'application corrigés
Publication le 14/03 à 05h39
Tout le chapitre précédent (calcul différentiel).
Dans $\mathbf R^d$, une partie est dite compacte lorsqu'elle est fermée (= stable par passage à la limite) et bornée. Toute fonction continue sur une partie compacte est bornée et atteint ses bornes. Variantes à titre d'exercices : une fonction continue qui tend vers $0$ à l'infini atteint un extremum (minimum ou maximum) ; une fonction continue qui tend vers $+\infty$ au bord de $U$ atteint un minimum.
Condition nécessaire au premier ordre : si $f:\::U\to\mathbf R$ atteint un extremum en un point $M_0$ de l'ouvert $U$, alors la forme linéaire tangente $df(M_0)$ est identiquement nulle (= les dérivées partielles de $f$ en $M_0$ sont toutes nulles).
Étude au second ordre : on suppose que $df(M_0)$ est identiquement nulle ; si les valeurs propres de la hessienne en $M_0$ sont toutes strictement positives (resp. strictement négatives), alors $f(M_0)$ est un maximum local strict (resp. minimum local strict) ; si la hessienne possède une valeur propre strictement négative et une valeur propre strictement positive, alors $f(M_0)$ n'est pas un extremum local (point selle).
Cas des fonctions de deux variables : discussion sur le déterminant de la hessienne ($rt-s^2$).
Cas d'un polynôme quadratique (le DL à l'ordre deux est exact). Utilisation de fonctions convexes. Méthodes des crêtes.
Arc paramétré, tangente en un point régulier de l'arc. Généralisation : notion de vecteur tangent à une partie quelconque $X$. Pour une fonction $f\::\:U\to\mathbf R$ de classe $C^1$, on considère une ligne/surface de niveau $X_\lambda=[f(M)=\lambda]$ et un point $M_0\in X_\lambda$ ; si la forme linéaire $df(M_0)$ est surjective (= $M_0$ est un point régulier de $X$), alors l'ensemble $T_{M_0}X$ des vecteurs tangents à $X_\lambda$ au point $M_0$ est le sous-espace vectoriel $\ker df(M_0)$. [NB : dans le programme, le plan tangent est vectoriel, pas affine.]
Si $M_0$ est un point régulier de $X=[g(M)=0]$ et si la restriction de $f\::\:U\to\mathbf R$ à $X$ atteint un extremum au point $M_0$, alors le gradient de $f$ en $M_0$ est proportionnel au gradient de $g$ en $M_0$. (Pas de réciproque dans le cadre du programme.)
Exercices 39, 41, 52, 56, 85.
Publication le 12/03 à 16h27
Publication le 12/03 à 16h27
Publication le 12/03 à 16h27
Publication le 07/03 à 00h32
Document de 118 ko, dans Mathématiques/Kholles MPSI/Colles MPSI 1 & 2
Publication le 06/03 à 08h46
Vademecum de topologie : voisinage d'un point, partie ouverte, équivalence des normes en dimension finie, continuité des applications linéaires et multilinéaires en dimension finie.
Application linéaire tangente (existence d'un DL à l'ordre 1). Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles, gradient, notation de Leibniz.
On retiendra surtout qu'une fonction $f$ est de classe $C^1$ sur un ouvert $U$ si, et seulement si, ses dérivées partielles sont toutes définies et toutes continues sur l'ouvert $U$ (= "théorème fondamental" dans mon cours).
Les classes $C^k$ sont ensuite définies par récurrence.
La plupart du temps, on démontre qu'une fonction est de classe $C^k$ en analysant cette fonction : les fonctions linéaires, polynomiales (dont les fonctions multilinéaires) et rationnelles sont toutes de classe $C^\infty$ ; les classes $C^k$ sont toutes stables par combinaison linéaire, par produit (= composition par une application bilinéaire ou multilinéaire) et par composition. Les élèves doivent savoir justifier qu'une fonction "sans problème" est de classe $C^k$ en l'analysant au moyen d'un "diagramme sagittal" précis.
Théorème de Schwarz sur les dérivées partielles d'ordre $\geqslant2$. Formule de Taylor-Young à l'ordre deux pour les fonctions numériques de classe $C^2$ avec la matrice jacobienne (ligne) et la matrice hessienne (carrée et symétrique) ou sous forme développée.
Calcul pratique des dérivées partielles des fonctions composées (premier ou second ordre).
On doit savoir résoudre les équations élémentaires :
$$\frac{\partial f}{\partial x}\equiv0\qquad\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\equiv0\qquad\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\equiv0$$
sur un ouvert rectangulaire.
Un changement de variable (obligeamment fourni par le colleur, merci) permet de se ramener à l'une des équations élémentaires ou à une équation différentielle simple qu'on résout sur le modèle des EDP élémentaires. (Seules les EDP susceptibles d'un tel traitement existent en MP. Les élèves ont été prévenus que des EDP hostiles existaient également, mais c'est presque un mythe.)
Exercices 33, 49, 50, 51, 57.
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