Colles du 25/11 en Mathématiques
Publication le 21/11 à 21h14
VIII. Suites et séries de fonctions
1. Convergence ponctuelle
Convergence simple. Propriétés conservées par convergence simple (monotonie, signe, convexité, parité, périodicité...) ; propriétés perdues (a priori) par convergence simple (continuité, dérivabilité...). Cas particuliers : si les fonctions sont uniformément bornées ou uniformément lipschitziennes, le caractère borné ou lipschitzien est conservé par convergence simple.
Propriétés locales : continuité, dérivabilité... Pour établir ces propriétés sur un intervalle ouvert $I$, il suffit de les démontrer sur tout segment $[a,b]\subset I$.
2. Convergences uniformes
Convergence uniforme sur $I$, associée à la norme $$ \Vert f\Vert_\infty=\sup_{t\in I}\vert f(t)\vert.$$ Convergence uniforme sur tout segment de $I$ (pas de norme ou alors une norme pour chaque segment !).
Théorème : si une suite de fonctions bornées converge uniformément sur $I$, alors la famille $(f_n)_{n\in\mathbf N}$ est uniformément bornée.
Théorème : si une suite de fonctions continues converge uniformément sur $I$ vers $f$, alors elle converge simplement sur $I$ vers $f$ et la fonction limite $f$ est continue sur $I$. Généralisation : théorème d'interversion des limites (ou "de la double limite"). $$\lim_{x\to\omega}\lim_{n\to+\infty} u_n(x)=\lim_{n\to+\infty}\lim_{x\to\omega}u_n(x).$$
Application : si une suite de fonctions continues converge uniformément sur le segment $[a,b]$ vers $f$, alors $$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f_n(t)d t=\int_a^b f(t)dt. $$NB : sur un intervalle non borné, il faut recourir au théorème de convergence dominée.
3. Approximation uniforme
Théorème : toute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.
Théorème de Weierstrass : toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales.
4. Séries de fonctions
Théorème : si une série de fonctions continues converge uniformément sur $I$, alors la somme est continue. Généralisation au passage à la limite terme à terme en cas de convergence uniforme sur un voisinage de $\omega$ : $$\lim_{x\to\omega}\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\lim_{x\to\omega}u_n(x).$$
Théorème : si une série de fonctions de classe $C^1$ converge simplement sur $I$ et si la série dérivée $\sum u_n'$ converge uniformément sur $I$, alors la somme est de classe $C^1$ et sa dérivée se calcule en dérivant terme à terme. $$\frac d{dx}\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{d u_n}{dx}(x).$$ Généralisation au cas des fonctions $C^n$.
Méthode pour la convergence uniforme : on vérifie d'abord la convergence simple ; ensuite, on cherche à dominer le reste $\vert R_n(x)\vert$ par un majorant indépendant de $x$ et de limite nulle ("M-test de Weierstrass"), ce qui revient à démontrer que $$\lim_{n\to+\infty}\Vert R_n\Vert_\infty = 0.$$
Cas particulier (convergence normale) : si la série numérique $\sum\Vert u_n\Vert_\infty$ converge, alors la série de fonctions $\sum u_n$ converge uniformément.
Exercices de la banque CCINP
Exercices 8, 12, 14, 15 et 16.
