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XV. Espaces euclidiens (deuxième partie)

1. Réduction des isométries

Théorème de réduction des isométries (dans $\mathfrak M_n(\mathbf R)$ uniquement). Cas particuliers : isométries planes ; isométries en dimension 3.
En pratique, on se limite aux réflexions et rotations.

2. Théorème spectral

Théorème spectral (forme vectorielle : existence d'une base orthonormée de vecteurs propres ; forme géométrique : décomposition de $E$ en somme directe orthogonale de sous-espaces propres ; forme matricielle : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable et on peut choisir une matrice de passage orthogonale).

Si $S$ est une matrice symétrique réelle, alors $$\forall\ x\not=0,\qquad\langle x\vert Sx\rangle\geqslant0\quad\text{(resp. $>0$)}$$ si, et seulement si, les valeurs propres de $S$ sont toutes positives (resp. strictement positives). NB : La notion de forme quadratique est hors programme. (Comme d'habitude, l'éléphant est au milieu de la pièce, mais il faudrait ne pas en parler...)

Exercices de la banque CCINP

Exercices 31, 32, 55, 90, 91.

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XIV. Équations différentielles linéaires

1. Recettes de calcul

Révisions de première année : équations du premier ordre ; équations du second ordre à coefficients constants (et second membre très simple).

2. Équations du premier ordre

Pour pouvoir appliquer la théorie de Cauchy-Lipschitz, une équation différentielle (ou un système différentiel) DOIT être mise sous forme canonique au premier ordre : $$\forall\ t\in I,\quad X'(t)=A(t).X(t)+B(t)$$ où $I$ est un intervalle et les coefficients de la matrice $A$ et de la colonne $B$ sont des fonctions continues de la variable $t$. Cette mise sous forme canonique risque de faire apparaître des singularités (= une division par zéro qui scinde l'intervalle initial en deux ou plusieurs sous-intervalles).

Une fonction (numérique) $x$ de classe $C^n$ est solution d'une équation (scalaire) d'ordre $n$ si, et seulement si, la fonction (vectorielle) $$X(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\ x'(t)\\\vdots\\ x^{(n-1)}(t)\end{pmatrix}$$ est solution de l'équation (matricielle) canonique. La théorie vue en cours s'applique à l'inconnue vectorielle $X$ mais c'est bien entendu l'inconnue scalaire $x$ qu'on cherche !

La taille de la colonne $X(t)$ donne la dimension de l'espace d'états (ou espace des phases) et définit la notion de condition initiale. Théorème de Cauchy-Lipschitz.

3. Équations homogènes

Si $X\in\mathfrak M_{n,1}(\mathbf K)$, alors l'ensemble $S_H$ des solutions de l'équation homogène $$\forall\ t\in I,\qquad X'(t)=A(t).X(t)$$ est un sous-espace vectoriel de $C^1(I,\mathbf K^n)$ de dimension $n$.

Si une famille de solutions $(X_1,\dots,X_n)$ est une base de $S_H$, alors, pour tout $t\in I$, la famille $\bigl(X_1(t),\dots,X_n(t)\bigr)$ est une base de $\mathbf K^n$. Réciproquement, s'il existe un instant $t_0\in I$ tel que la famille $\bigl(X_1(t_0),\dots,X_n(t_0)\bigr)$ soit une base de $\mathbf K^n$, alors la famille $(X_1,\dots,X_n)$ est une base de $S_H$.

Wronskien. Les wronskiens sont de la forme $$W(t)=W_0.\exp\left(\int^t \mathrm{tr}A(s)d s\right).$$

En dehors des équations à coefficients constants (voir plus bas), il n'y a pas de méthode générale pour résoudre une équation homogène. Je prie les colleurs de guider les élèves et de veiller à donner des exemples qui puissent être traités dans la durée de la colle ET dans l'espace disponible du tableau.

4. Résolution de l'équation complète

On suppose connue une base de l'espace $S_H$ des solutions de l'équation homogène et on applique la méthode de variation des constantes : on définit une matrice carrée inversible $M_t$ qui contient une base de l'espace $S_H$ des solutions de l'équation homogène et on cherche une solution particulière de la forme $X_t=M_t.\Lambda_t$. (Pour des raisons de temps et de place, il faudra sans doute choisir : faire chercher les solutions de l'équation homogène ou faire varier les constantes.)

5. Cas des coefficients constants

5.1 Exponentielle de matrices

Pour toute matrice $A\in\mathfrak M_n(\mathbf K)$, $$\exp(A)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac1{k!}A^k.$$ Cas d'une matrice diagonale. Exponentielle de matrices semblables : $$\exp(Q^{-1}AQ)=Q^{-1}\exp(A)Q.$$ L'application $[t\mapsto\exp(tA)]$ est de classe $C^1$ et sa dérivée est égale à $A.\exp(tA)=\exp(tA).A$. Propriété de morphisme : $$\forall\ s,t\in\mathbf R,\qquad\exp[(s+t)A]=\exp(sA).\exp(tA)=\exp(tA).\exp(sA).$$

5.2 Résolution d'une équation à coefficients constants

Une matrice fondamentale (qui donne une base de l'espace $S_H$ des solutions de l'équation homogène) est donnée par $M_t=\exp(tA)$. On en déduit la solution générale de l'équation complète par variation des constantes.

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Exercices 101, 102, 108, 110, 111.

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