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XI. Espaces probabilisés

Tribus (ou $\sigma$-algèbres de Boole). Mesures de probabilité sur $(\Omega,\mathcal A)$ (application $\sigma$-additive de la tribu $\mathcal A$ dans $[0,1]$ telle que $\mathbf{P}(\Omega)=1$). Règles de calcul (dont continuité monotone). Évènements presque sûrs, évènements négligeables. Systèmes complets d'évènements (SCE). Conditionnement par un évènement non négligeable $A$, mesure de probabilité $\mathbf{P}_A$. Conditionnement par un SCE (= formule des probabilités totales). Formule des probabilités composées. Évènements indépendants. Une mesure de probabilité discrète sur un ensemble fini ou dénombrable $E$ est caractérisée par la loi $$(p_x)_{x\in E}=\bigl(\mu(\{x\})\bigr)_{x\in E}.$$

XII. Variables aléatoires discrètes

Une v.a. discrète est une application de l'univers $\Omega$ (muni d'une tribu $\mathcal A$) dans un ensemble fini ou dénombrable $E$ telle que $$\forall\ x\in E,\quad[X=x]\in\mathcal A.$$ On en déduit que $$\forall\ A\in\mathscr P(E),\quad[X\in A]\in\mathcal{A}.$$

SCE associé à une v.a. discrète $X$ à valeurs dans $E$ : $$\bigl([X=k]\bigr)_{k\in E}.$$ Une v.a. discrète $X\::\:\Omega\to E$ est caractérisée par sa loi $$\bigl(\mathbf{P}(X=k)\bigr)_{k\in E},$$ qui est une famille sommable de réels positifs, dont la somme est égale à $1$.

Lois usuelles (Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson). Opérations sur les v.a. discrètes : la composée d'une v.a. discrète $X$ par une application quelconque $f$ est une v.a. discrète.

Espérance

V.A. d'espérance finie, v.a. centrées. Espérances des lois usuelles. Méthodes pour établir qu'une v.a. est intégrable (linéarité, comparaison, formule de transfert). Inégalité de Markov.

Variance

Moments (entiers) d'une v.a., v.a. de carré intégrable. Variance d'une v.a. de carré intégrable, formule de Koenig-Huyghens, inégalité de Schwarz. Covariance. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Fonctions génératrices

Fonction génératrice d'une v.a. $X$ à valeurs dans $\mathbf N$ : $$\forall\ t\in[0,1],\qquad G_X(t)=\sum_{k=0}^{+\infty} \mathbf{P}(X=k)t^k=\mathbf{E}(t^X).$$ Caractérisation des v.a. d'espérance finie et des v.a. de carré intégrable à l'aide de la fonction génératrice, calcul de $\mathbf{E}(X)$ et de $\mathbf{V}(X)$.

Exercices de la banque CCINP

Exercices 22, 23, 24, 75, 88.

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Tout sur les séries entières (même programme que la semaine dernière).

Banque CCINP : Exercices 2, 20, 21, 74 SAUF [1.a] (toujours le Théorème spectral) et 83.

X. Séries entières

1. Rayon de convergence

Comportement d'une série de la forme $\sum a_nz^n$ en fonction de $z\in\mathbf C$. Définition du rayon de convergence (borne supérieure de l'ensemble des réels $r\geqslant0$ tels que la suite $(a_nr^n)$ soit bornée). Méthodes de calcul : avec la définition, avec la règle de D'Alembert, par comparaison avec une série entière de référence...

Les rayons de convergence des séries de référence doivent être parfaitement connus. Les autres rayons de convergence doivent être calculés vite et bien. Cas des séries dérivées et des séries primitives (le rayon est conservé).

L'intervalle $\left]-R,R\right[$ est appelé intervalle ouvert de convergence.

2. Propriétés de la somme

La somme est continue sur le disque ouvert de convergence, de classe $C^\infty$ sur l'intervalle ouvert de convergence et les dérivées successives peuvent être calculées en dérivant terme à terme.

Chaque série entière converge normalement sur tout segment contenu dans l'intervalle ouvert de convergence. En particulier, les séries dérivées d'une série entière convergent normalement sur tout segment contenu dans l'intervalle ouvert de convergence.

Formule de Taylor : $$\forall\ n\in\mathbf{N},\quad a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.$$ Unicité du développement en série entière. Théorème d'Abel : si la série converge pour $x=R$, alors elle converge uniformément sur $[0,R]$ et la somme est donc continue sur $[0,R]$.

3. Séries de référence

Formules usuelles à connaître parfaitement, avec le rayon de convergence.

Méthodes de calcul : changements de variable $t=\alpha x^p$, combinaison linéaire, primitivation terme à terme, dérivation terme à terme, produit de Cauchy, théorème de Fubini. Ces méthodes doivent permettre de retrouver les DSE de la plupart des fonctions usuelles à partir de la série géométrique et de la série de Poisson.

Il faut aussi savoir utiliser les DSE des fonctions usuelles pour exprimer la somme de certaines séries entières.

4. Applications

4.1 Prolongements de classe $C^\infty$

Si une fonction admet un prolongement développable en série entière sur $\left]-r,r\right[$, alors ce prolongement est en particulier de classe $C^\infty$.

4.2 Équations différentielles

Recherche des solutions développables en série entière de certaines équations différentielles linéaires (par analyse et synthèse - la synthèse se limite en pratique à vérifier que le rayon de convergence est strictement positif).

Exercices de la banque CCINP

Exercices 67, 69, 72, 73.