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Tout le chapitre précédent (calcul différentiel).

XVII. Recherche d'extrema

1. Existence d'extrema

Dans $\mathbf R^d$, une partie est dite compacte lorsqu'elle est fermée (= stable par passage à la limite) et bornée. Toute fonction continue sur une partie compacte est bornée et atteint ses bornes. Variantes à titre d'exercices : une fonction continue qui tend vers $0$ à l'infini atteint un extremum (minimum ou maximum) ; une fonction continue qui tend vers $+\infty$ au bord de $U$ atteint un minimum.

2. Extrema locaux

Condition nécessaire au premier ordre : si $f:\::U\to\mathbf R$ atteint un extremum en un point $M_0$ de l'ouvert $U$, alors la forme linéaire tangente $df(M_0)$ est identiquement nulle (= les dérivées partielles de $f$ en $M_0$ sont toutes nulles).

Étude au second ordre : on suppose que $df(M_0)$ est identiquement nulle ; si les valeurs propres de la hessienne en $M_0$ sont toutes strictement positives (resp. strictement négatives), alors $f(M_0)$ est un maximum local strict (resp. minimum local strict) ; si la hessienne possède une valeur propre strictement négative et une valeur propre strictement positive, alors $f(M_0)$ n'est pas un extremum local (point selle).

Cas des fonctions de deux variables : discussion sur le déterminant de la hessienne ($rt-s^2$).

3. Extrema globaux

Cas d'un polynôme quadratique (le DL à l'ordre deux est exact). Utilisation de fonctions convexes. Méthodes des crêtes.

4. Introduction à la géométrie différentielle

Arc paramétré, tangente en un point régulier de l'arc. Généralisation : notion de vecteur tangent à une partie quelconque $X$. Pour une fonction $f\::\:U\to\mathbf R$ de classe $C^1$, on considère une ligne/surface de niveau $X_\lambda=[f(M)=\lambda]$ et un point $M_0\in X_\lambda$ ; si la forme linéaire $df(M_0)$ est surjective (= $M_0$ est un point régulier de $X$), alors l'ensemble $T_{M_0}X$ des vecteurs tangents à $X_\lambda$ au point $M_0$ est le sous-espace vectoriel $\ker df(M_0)$. [NB : dans le programme, le plan tangent est vectoriel, pas affine.]

5. Extrema sous contrainte

Si $M_0$ est un point régulier de $X=[g(M)=0]$ et si la restriction de $f\::\:U\to\mathbf R$ à $X$ atteint un extremum au point $M_0$, alors le gradient de $f$ en $M_0$ est proportionnel au gradient de $g$ en $M_0$. (Pas de réciproque dans le cadre du programme.)

Exercices de la banque CCINP

Exercices 39, 41, 52, 56, 85.

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XVI. Calcul différentiel

Vademecum de topologie : voisinage d'un point, partie ouverte, équivalence des normes en dimension finie, continuité des applications linéaires et multilinéaires en dimension finie.

1. Fonctions différentiables

Application linéaire tangente (existence d'un DL à l'ordre 1). Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles, gradient, notation de Leibniz.

2. Fonctions de classe $C^k$ avec $k\geqslant1$

On retiendra surtout qu'une fonction $f$ est de classe $C^1$ sur un ouvert $U$ si, et seulement si, ses dérivées partielles sont toutes définies et toutes continues sur l'ouvert $U$ (= "théorème fondamental" dans mon cours).

Les classes $C^k$ sont ensuite définies par récurrence.

La plupart du temps, on démontre qu'une fonction est de classe $C^k$ en analysant cette fonction : les fonctions linéaires, polynomiales (dont les fonctions multilinéaires) et rationnelles sont toutes de classe $C^\infty$ ; les classes $C^k$ sont toutes stables par combinaison linéaire, par produit (= composition par une application bilinéaire ou multilinéaire) et par composition. Les élèves doivent savoir justifier qu'une fonction "sans problème" est de classe $C^k$ en l'analysant au moyen d'un "diagramme sagittal" précis.

Théorème de Schwarz sur les dérivées partielles d'ordre $\geqslant2$. Formule de Taylor-Young à l'ordre deux pour les fonctions numériques de classe $C^2$ avec la matrice jacobienne (ligne) et la matrice hessienne (carrée et symétrique) ou sous forme développée.

3. Règle de la chaîne

Calcul pratique des dérivées partielles des fonctions composées (premier ou second ordre).

4. Équations aux dérivées partielles

On doit savoir résoudre les équations élémentaires :

$$\frac{\partial f}{\partial x}\equiv0\qquad\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\equiv0\qquad\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\equiv0$$

sur un ouvert rectangulaire.

Un changement de variable (obligeamment fourni par le colleur, merci) permet de se ramener à l'une des équations élémentaires ou à une équation différentielle simple qu'on résout sur le modèle des EDP élémentaires. (Seules les EDP susceptibles d'un tel traitement existent en MP. Les élèves ont été prévenus que des EDP hostiles existaient également, mais c'est presque un mythe.)

Exercices de la banque CCINP

Exercices 33, 49, 50, 51, 57.