Mathématiques
Thème de la colle : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées - Parties 1, 2.1 et 2.2 (éléments propres, diagonalisabilité et caractérisations de la diagonalisabilité).
- Questions de cours :
- Définition des éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée (1.1.1) : valeur propre, spectre, vecteurs propres, sous-espaces propres.
- Lien entre valeurs propres et racines d'un polynôme annulateur, ou du polynôme minimal (1.1.4-2, énoncé et démonstration).
- Définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme en dimension finie ou d'une matrice carrée (1.2.2) - Propriétés (1.2.3, énoncés) : degré, coefficients des deux termes de plus haut degré et coefficient constant, racines.
- Lien entre dimension d'un sous-espace propre et multiplicité de la valeur propre associée (1.2.6-3, énoncé) - Théorème de Cayley-Hamilton (1.3.1, énoncé).
- Définition d'un endomorphisme $f$ en dimension finie ou d'une matrice carrée $A$ diagonalisable (2.1.1) - Propriétés (2.1.4, énoncés) : lien entre valeurs propres et coefficients diagonaux d'une matrice diagonale représentant $f$ ou semblable à $A$ - somme et produit des valeurs propres.
- Caractérisations de la diagonalisabilité par les sous-espaces propres (2.2.1, énoncé)
- Caractérisations de la diagonalisabilité par le polynôme caractéristique (2.2.3, énoncé)
- Caractérisations de la diagonalisabilité par les polynômes annulateurs (2.2.4, énoncé).
- Banque INP : 59, 65, 67, 69, 72.
Déroulement de la colle
- Une question de cours ou un exercice de la banque INP, choisis par l'interrogateur dans les listes ci-dessus.
- Un ou plusieurs exercices sur le thème de la semaine.
