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Thème de la colle : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées - parties 1 et 2 (éléments propres, diagonalisation).

• Questions de cours :
  • Définition des éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée (1.1.1) : valeur propre, spectre, vecteurs propres, sous-espaces propres.
  • Lien entre valeurs propres et racines d'un polynôme annulateur, ou du polynôme minimal (1.1.4-2, énoncé et démonstration).
  • Définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme en dimension finie ou d'une matrice carrée (1.2.2) - Propriétés (1.2.3, énoncés) : degré, coefficients des deux termes de plus haut degré et coefficient constant, racines.
  • Lien entre dimension d'un sous-espace propre et multiplicité de la valeur propre associée (1.2.6-3, énoncé) - Théorème de Cayley-Hamilton (1.3.1, énoncé).
  • Définition d'un endomorphisme $f$ en dimension finie ou d'une matrice carrée $A$ diagonalisable (2.1.1) - Propriétés (2.1.4, énoncés) : lien entre valeurs propres et coefficients diagonaux d'une matrice diagonale représentant $f$ ou semblable à $A$ - somme et produit des valeurs propres.
  • Caractérisations de la diagonalisabilité par les sous-espaces propres (2.2.1, énoncé)
  • Caractérisations de la diagonalisabilité par le polynôme caractéristique (2.2.3, énoncé)
  • Caractérisations de la diagonalisabilité par les polynômes annulateurs (2.2.4, énoncé).
  • Conditions suffisantes de diagonalisabilité : cas du polynôme caractéristique scindé à racines simples (2.2.7, énoncé) - théorème spectral matriciel (2.3.1, énoncé).
• Banque INP : 67, 68, 69, 70, 72.

Déroulement de la colle

• Une question de cours ou un exercice de la banque INP, choisis par l'interrogateur dans les listes ci-dessus.
• Un ou plusieurs exercices sur le thème de la semaine.

Programme n°10

Chapitre 6 : Propagation et rayonnement  

Équations de propagation des champs dans une région vide de charges et de courants.

·      Établir les équations de propagation à partir des équations de Maxwell.

Onde plane dans l’espace vide de charge et de courant ; onde plane progressive et aspects énergétiques.

·      Citer les solutions de l’équation de d’Alembert à une dimension.

·      Décrire la structure d’une onde plane et d’une onde plane progressive dans l’espace vide de charge et de courant.

Onde plane progressive monochromatique. Relation de dispersion.

·      Expliquer le caractère idéal du modèle de l’onde plane monochromatique.

·      Déterminer la relation de dispersion.

·      Citer les domaines du spectre des ondes électromagnétiques et leur associer des applications.

·      Exprimer le vecteur de Poynting et l’énergie électromagnétique volumique associés à une onde plane progressive monochromatique.

·      Effectuer une étude énergétique dans le cas d’une onde plane progressive monochromatique.

Onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement ou circulairement.

·      Reconnaître une onde polarisée rectilignement ou circulairement.

Onde plane transverse électrique monochromatique dans un plasma dilué. Conductivité complexe du milieu. Pulsation de coupure.

Ondes évanescentes.

·      Exprimer la conductivité complexe du milieu et établir la relation de dispersion.

·      Décrire le phénomène de dispersion.

·      Relier la fréquence de coupure aux caractéristiques du plasma et citer son ordre de grandeur dans le cas de l’ionosphère.

·      Distinguer qualitativement les ondes évanescentes et les ondes progressives du point de vue du transport de l’énergie.

Vitesse de phase, vitesse de groupe. Propagation d’un paquet d’ondes dans un milieu linéaire faiblement dispersif.

·      Calculer la vitesse de groupe à partir de la relation de dispersion.

·      Associer la vitesse de groupe à la propagation de l’enveloppe du paquet d’ondes.

 Révision de MPSI :

·      l’induction

·      optique géométrique: les lois de Snell Descartes + instruments d’optique et la notion de stigmatisme + profondeur de champ.

• Avant chaque séance de cours :
  • En cas de commencement d'un nouveau chapitre, revoir les chapitres déjà traités (en 1ère ou 2nde année) pouvant y intervenir, au vu de l'organigramme.
  • En cas de poursuite d'un chapitre entamé, revoir les parties étudiées lors des séances précédentes.
• Pour les prochaines séances de TD :
• Réduction : 1, 2, 4, 6 - 8, 10, 12, 14, 17, 19, 23 - 27, 29 - 33, 36, 37 - 41, 43, 45, 47, 50.
• Pour le prochain DS du lundi 15/12/25, réviser tout ce qui concerne :
• Suites et séries de fonctions.
• Réduction.
• Début des espaces normés ?
• Pour le 04/12/25 : DM n°7 sur la réduction des endomorphismes et matrices carrées.
• Pour le 18/12/25 : DM n°8 sur les espaces vectoriels normés.

Chapitre 3 : Électrostatique

Chapitre 4 : Magnétostatique

Chapitre 5 : Les équations de Maxwell

Chapitre 6 : Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

Équations de propagation des champs dans une région vide de charges et de courants.

Établir les équations de propagation à partir des équations de Maxwell.

Onde plane dans l’espace vide de charge et de courant ; onde plane progressive et aspects énergétiques.

• Citer les solutions de l’équation de d’Alembert à une dimension.
• Décrire la structure d’une onde plane et d’une onde plane progressive dans l’espace vide de charge et de courant.

Onde plane progressive monochromatique.

• Expliquer le caractère idéal du modèle de l'onde plane monochromatique
• Citer les domaines du spectre des ondes électromagnétiques et leur associer des applications.
• Exprimer le vecteur de Poynting et l'énergie électromagnétique volumique associés à une OPPM.
• Effectuer une étude énergétique dans le cas d'une onde plane progressive monochromatique.

Onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement ou circulairement.

Reconnaitre une onde polarisée rectilignement ou circulairement.

Et toute l'induction de MPSI.

Thème de la colle : Suites et séries de fonctions.

• Questions de cours :
• Définition de la convergence simple (1.1.1/2.1.1) et de la convergence uniforme (1.2.3/2.2.1) d'une suite/série de fonctions - Définition de la convergence normale (2.2.1) d'une série de fonctions - Lien entre ces modes de convergence (1.2.4/2.2.2, énoncés, démonstration de l'une des implications).
• Propriétés qui passent à la limite simple pour les suites/séries de fonctions (1.1.3/2.1.3, démonstration de l'un des points) : croissance, positivité, parité, $T$-périodicité.
• Théorème de la double limite pour les suites/séries de fonctions (1.3.2/2.3.1, énoncé) - Théorème de continuité pour les suites/séries de fonctions (1.3.5/2.3.4, énoncé).
• Théorème d'intégration uniforme sur un segment pour les suites/séries de fonctions (1.4.2/2.4.1, énoncé et démontration).
• Théorème de convergence dominée pour les suites/séries de fonctions (1.4.4/2.4.4, énoncé) - Théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions (2.4.5, énoncé).
• Théorème de dérivation (classe $\mathscr{C}^1$) pour les suites/séries de fonctions (1.5.2/2.5.1, énoncés) - Généralisation à la classe $\mathscr{C}^k$ où $k\in\mathbb{N}^*$ (1.5.3/2.5.3, énoncés) ou $\mathscr{C}^{\infty}$ (1.5.4/2.5.4, énoncés).
• Banque INP : 11, 16, 27, 48, 49, 53.

Déroulement de la colle

• Une question de cours ou un exercice de la banque INP, choisis par l'interrogateur dans les listes ci-dessus.
• Un ou plusieurs exercices sur le thème de la semaine.

• Écoles Centrale-Supélec
• Webinaire dédié à la présentation des cursus ingénieurs de ces écoles, le jeudi 20 novembre 2025 à 20h. Inscription au webinaire sur Microsoft Teams (une confirmation d’inscription avec un lien de connexion sera envoyée par courriel).
• Journée Portes Ouvertes le samedi 13 décembre 2025. Lien d’inscription à ces JPO.

Programme n°8

Chapitre 3 : Électrostatique

Chapitre 4 : Magnétostatique

Chapitre 5 : Les équations de Maxwell

Principe de la conservation de la charge : formulation locale.

Établir l'équation locale de la conservation de la charge. note : on a établi cette équation avec l'opérateur divergence.

Équations de Maxwell : formulations locale et intégrale.

• Associer l'équation de Maxwell-Faraday à la loi de Faraday.
• Citer, utiliser et interpréter les équations de Maxwell sous la forme intégrale.
• Vérifier la cohérence des équations de Maxwell avec l'équation locale de la conservation de la charge.

Équations de propagation des champs

Établir les équations de propagation à partir des équations de Maxwell. note : on a traité l'équation différentielle du champ magnétique dans un matériau supraconducteur en régime permanent, on n'a pas encore traité l'onde électromagnétique dans le vide, ou dans les métaux etc.

Cas des champs statiques : équations locales

Établir les lois locales des champs statiques à partir des équations de Maxwell.

Équation de Poisson et équation de Laplace de l'électrostatique.

• Établir les équations de Poisson et de Laplace de l'électrostatique.
• Exprimer par analogie les équations de Poisson et de Laplace dans le cas de la gravitation.

Énergie du champ électromagnétique

• Force électromagnétique volumique. Puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charge.

• Établir et utiliser l'expression de la puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charge.

• Loi d'Ohm locale ; puissance volumique dissipée par effet Joule.
• Énergie électromagnétique volumique, vecteur de Poynting et bilan d'énergie.

• Interpréter chaque terme de l'équation locale de Poynting, celle-ci étant fournie.
• Effectuer un bilan d'énergie sous forme intégrale.

note : on a établi cette équation avec l'opérateur divergence.

Thème de la colle : Suites et séries de fonctions.

• Questions de cours :
• Définition de la convergence simple (1.1.1/2.1.1) et de la convergence uniforme (1.2.3/2.2.1) d'une suite/série de fonctions - Définition de la convergence normale (2.2.1) d'une série de fonctions - Lien entre ces modes de convergence (1.2.4/2.2.2, énoncés, démonstration de l'une des implications).
• Propriétés qui passent à la limite simple pour les suites/séries de fonctions (1.1.3/2.1.3, démonstration de l'un des points) : croissance, positivité, parité, $T$-périodicité.
• Théorème de la double limite pour les suites/séries de fonctions (1.3.2/2.3.1, énoncé) - Théorème de continuité pour les suites/séries de fonctions (1.3.5/2.3.4, énoncé).
• Théorème d'intégration uniforme sur un segment pour les suites/séries de fonctions (1.4.2/2.4.1, énoncé et démontration).
• Théorème de convergence dominée pour les suites/séries de fonctions (1.4.4/2.4.4, énoncé) - Théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions (2.4.5, énoncé).
• Théorème de dérivation (classe $\mathscr{C}^1$) pour les suites/séries de fonctions (1.5.2/2.5.1, énoncés) - Généralisation à la classe $\mathscr{C}^k$ où $k\in\mathbb{N}^*$ (1.5.3/2.5.3, énoncés) ou $\mathscr{C}^{\infty}$ (1.5.4/2.5.4, énoncés).
• Banque INP : 11, 16, 27, 48, 49, 53.

Déroulement de la colle

• Une question de cours ou un exercice de la banque INP, choisis par l'interrogateur dans les listes ci-dessus.
• Un ou plusieurs exercices sur le thème de la semaine.

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Programme n°7

Chapitre 3 : Électrostatique

Chapitre 4 : Magnétostatique

Chapitre 5 : Les équations de Maxwell

Principe de la conservation de la charge : formulation locale.

Établir l'équation locale de la conservation de la charge. note : on a établi cette équation avec l'opérateur divergence.

Équations de Maxwell : formulations locale et intégrale.

• Associer l'équation de Maxwell-Faraday à la loi de Faraday.
• Citer, utiliser et interpréter les équations de Maxwell sous la forme intégrale.
• Vérifier la cohérence des équations de Maxwell avec l'équation locale de la conservation de la charge.

Équations de propagation des champs

Établir les équations de propagation à partir des équations de Maxwell. note : on a traité l'équation différentielle du champ magnétique dans un matériau supraconducteur en régime permanent, on n'a pas encore traité l'onde électromagnétique dans le vide, ou dans les métaux etc.

Cas des champs statiques : équations locales

Établir les lois locales des champs statiques à partir des équations de Maxwell. note : ne sera vu que lundi 10 novembre.

Équation de Poisson et équation de Laplace de l'électrostatique.

• Établir les équations de Poisson et de Laplace de l'électrostatique.
• Exprimer par analogie les équations de Poisson et de Laplace dans le cas de la gravitation. Note : ne sera vu que lundi 10 novembre.

Les révisions de MPSI

• Force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle; champs électrique et magnétique. Évaluer l' ordre de grandeur des forces électrique ou magnétique et les comparer à celle de la force gravitationnelle.
• Puissance de la force de Lorentz. Justifier qu'un champ électrique peut modifier l'énergie cinétique d'une particule alors qu'un champ magnétique peut courber la trajectoire sans fournir d'énergie à la particule.
• Mouvement d'une particule dans un champ électrostatique uniforme. Mettre en équation le mouvement et le caractériser comme un mouvement à vecteur accélération constant. Effectuer un bilan énergétique pour déterminer la valeur de la vitesse d'une particule chargée accélérée par une différence de potentiel.
• Mouvement d'une particule dans un champ magnétostatique uniforme dans le cas où le vecteur vitesse initial est perpendiculaire au champ magnétostatique. Déterminer le rayon de la trajectoire et le sens de parcours.

Thème de la colle : Espaces probabilisés.

• Questions de cours :
  • Définition d'une probabilité sur un espace probabilisable (1.3.1) - Cas des probabilités associées à une distribution de probabilités discrètes (1.3.2).
  • Propriétés calculatoires des probabilités (1.3.5, énoncés) : probabilité d'un évènement contraire, probabilité de la réunion de deux évènements, croissance, sous-additivité, continuité croissante et décroissante.
  • Définition d'une probabilité conditionnelle (1.4.1) - Propriétés calculatoires des probabilités conditionnelles (1.4.3, énoncés) : formule de Bayes, formule des probabilités totales, formule des probabilités composées.
  • Définition d'une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisable (2.1.1) - Définition de la loi d'une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé (2.2.1).
  • Définition de l'indépendance d'un couple, ou d'une famille, d'événements (1.5.1) - Définition de l'indépendance d'un couple, ou d'une famille, de variables aléatoires discrètes (2.4.1).
  • Définition d'une variable aléatoire de loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ (3.2.1) - Propriétés (3.2.3, énoncés et démonstrations) : situation probabiliste modélisée par la loi géométrique, probabilité $P(X\geqslant n)$.
  • Définition d'une variable aléatoire de loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ (3.3.1) - Propriétés (3.3.3, énoncés et démonstration du premier point) : limite de $P(X_n=k)$ lorsque $X_n\sim \mathcal{B}(n,p_n)$ où $np_n \to \lambda$ - situation probabiliste modélisée par la loi de Poisson.
• Banque INP : 98 (remplacer q2c par "Interpréter"), 102 (dans q2b, remplacer "En déduire $E(Y)$" par "Interpréter"), 103 (remplacer q1b par "Interpréter"), 105, 108 (sauf q2).
  Les interprétations demandées sont en termes des situations probabilistes usuelles modélisées par les lois en jeu.

Déroulement de la colle

• Une question de cours ou un exercice de la banque INP, choisis par l'interrogateur dans les listes ci-dessus.
• Un ou plusieurs exercices sur le thème de la semaine.

Document de 235 ko, dans Informatique/TP

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