Au choix, l'une des caractérisations de la diagonalisabilité (énoncé) : par les sous-espaces propres (2.2.1) - par le polynôme caractéristique (2.2.3) - par les polynômes annulateurs (2.2.4).
Théorème spectral en version matricielle (2.3.1, énoncé) - Traduction en terme de diagonalisabilité en base orthonormale (2.3.2, énoncé et démonstration).
Définition d'un endomorphisme $f$ en dimension finie ou d'une matrice carrée $A$ trigonalisable (3.1.1) - Propriétés (3.1.3, énoncés) : lien entre valeurs propres et coefficients diagonaux d'une matrice triangulaire représentant $f$ ou semblable à $A$ - somme et produit des valeurs propres.
Caractérisations de la trigonalisabilité (3.2.1, énoncé) : par le polynôme caractéristique, par les polynômes annulateurs, par le polynôme minimal.
Définition d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée nilpotente (3.3.1) - Caractérisations de la nilpotence en dimension finie (3.3.2, énoncé et démonstration) : par la trigonalisabilité et le spectre réduit à $\{0\}$, par le polynôme caractéristique, par le polynôme minimal.
Définition des éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée (1.1.1) : valeur propre, spectre, vecteurs propres, sous-espaces propres.
Lien entre valeurs propres et racines d'un polynôme annulateur, ou du polynôme minimal (1.1.4-2, énoncé et démonstration).
Définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme en dimension finie ou d'une matrice carrée (1.2.2) - Propriétés (1.2.3, énoncés) : degré, coefficients des deux termes de plus haut degré et coefficient constant, racines.
Lien entre dimension d'un sous-espace propre et multiplicité de la valeur propre associée (1.2.6-3, énoncé) - Théorème de Cayley-Hamilton (1.3.1, énoncé).
Définition d'un endomorphisme $f$ en dimension finie ou d'une matrice carrée $A$ diagonalisable (2.1.1) - Propriétés (2.1.4, énoncés) : lien entre valeurs propres et coefficients diagonaux d'une matrice diagonale représentant $f$ ou semblable à $A$ - somme et produit des valeurs propres.
Caractérisations de la diagonalisabilité par les sous-espaces propres (2.2.1, énoncé)
Caractérisations de la diagonalisabilité par le polynôme caractéristique (2.2.3, énoncé)
Caractérisations de la diagonalisabilité par les polynômes annulateurs (2.2.4, énoncé).
Propriétés calculatoires des probabilités (1.3.5, énoncés) : probabilité d'un évènement contraire, probabilité de la réunion de deux évènements, croissance, sous-additivité, continuité croissante et décroissante.
Définition d'une probabilité conditionnelle (1.4.1) - Propriétés calculatoires des probabilités conditionnelles (1.4.3, énoncés) : formule de Bayes, formule des probabilités totales, formule des probabilités composées.
Définition d'une variable aléatoire de loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ (3.1.7) - Propriétés (3.1.9, énoncés et démonstration) : cas $n = 1$, somme de deux variables indépendantes de lois $\mathcal{B}(n_1,p)$ et $\mathcal{B}(n_2,p)$.
Définition d'une variable aléatoire de loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ (3.2.1) - Propriétés (3.2.3, énoncés et démonstrations) : situation probabiliste modélisée par la loi géométrique, probabilité $P(X>n)$.
Définition d'une variable aléatoire de loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ (3.3.1) - Propriétés (3.3.3, énoncés et démonstration du premier point) : limite de $P(X_n=k)$ lorsque $X_n\sim \mathcal{B}(n,p_n)$ où $np_n \to \lambda$, situation probabiliste modélisée par la loi de Poisson.
Banque INP : 98 (remplacer q2c par "Interpréter"), 102 (dans q2b, remplacer "En déduire $E(Y)$" par "Interpréter"), 103 (remplacer q1b par "Interpréter"), 108 (sauf q2), 111 (sauf q2c).
Les interprétations demandées sont en termes des situations probabilistes modélisées par les lois en jeu.
Déroulement de la colle
Une question de cours ou un exercice de la banque INP, choisis par l'interrogateur dans les listes ci-dessus.
Un ou plusieurs exercices sur le thème de la semaine.
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