Questions de cours : celles présentes dans les exercices de la banque INP, qui concernent les points 1.1.4, 1.2.1, 1.5.2, 2.2.4 (et 2.2.5), 2.2.7, 2.3.7 (et 2.3.8) du chapitre.
Définition d'une équation différentielle linéaire vectorielle d'ordre 1 et vocabulaire associé (1.2.1) - Écriture matricielle et système différentiel (1.2.2).
Théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires vectorielles d'ordre 1 (1.2.4, énoncé) - Conséquences sur la structure de l'ensemble des solutions (1.2.5 - points 1 et 3, énoncés).
Cas des systèmes différentiels homogènes à coefficients constants $Y' = AY$ : résolution par exponentiation (1.3.3, énoncé et démonstration), résolution par similitude (1.3.4, énoncé et démonstration), cas où $A$ est diagonalisable (1.3.6, énoncé et démonstration).
Définition d'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre $n$ et vocabulaire associé (2.1.1) - Système différentiel linéaire d'ordre 1 associé (2.1.3, énoncé et démonstration).
Théorème de Cauchy pour une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre n (2.1.4, énoncé) - Conséquences sur la structure de l'ensemble des solutions, dans le cas homogène et non homogène (2.1.5 - points 1 et 3, énoncés).
Méthode de variation des constantes pour trouver une solution d'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 non homogène (2.1.5 - point 2b, énoncé).
Remarque : autres méthodes à connaître pour une équation homogène ou non (partie 2.3) : solution "évidente", séries entières, méthode de Lagrange, changement de variable.
Définition du wronskien d'un couple de solutions d'une équation différentielle linéaire scalaire homogène d'ordre 2 (2.4.1) - Propriétés : équation différentielle vérifiée par le wronskien (2.4.2, énoncé et démonstration), caractérisation des bases de l'espace des solutions (2.4.3, énoncé).
Questions de cours sur la dérivation des fonctions à valeurs vectorielles :
Définition de la dérivabilité, en un point ou sur un intervalle, d'une fonction de la variable réelle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie (1.1.1).
Propriétés de la dérivabilité (1.1.4 et 1.2.1, énoncés) : caractérisation par les fonctions coordonnées, par un DL d'ordre 1 - dérivabilité et continuité - dérivabilité et opérations (linéarité, dérivation de $L(f)$ et de $B(f,g)$ où $f$ et $g$ sont dérivables, $L$ est linéaire et $B$ est bilinéaire).
Définition des dérivées successives et de la classe $\mathscr{C}^k$ pour les fonctions de la variable réelle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie (1.3.1) - Extension des propriétés de la dérivabilité à ce cadre (1.3.4 et 1.3.5, énoncés).
Extension des théorèmes sur la dérivabilité des suites/séries de fonctions au cas des fonctions de la variable réelle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie (3.1.1, 3.1.2 et 3.1.3, énoncés) - Dérivabilité et dérivée de $t\mapsto \exp(tA)$ où $A\in{\cal M}_p(\mathbb{K})$ (3.1.4, énoncé et démonstration).
Questions de cours sur les équations différentielles :
Définition d'une équation différentielle linéaire vectorielle d'ordre 1 et vocabulaire associé (1.2.1) - Écriture matricielle et système différentiel (1.2.2).
Théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires vectorielles d'ordre 1 (1.2.4, énoncé) - Conséquences sur la structure de l'ensemble des solutions (1.2.5 - points 1 et 3, énoncés).
Cas des systèmes différentiels homogènes à coefficients constants $Y' = AY$ : résolution par exponentiation (1.3.3, énoncé et démonstration), résolution par similitude (1.3.4, énoncé et démonstration), cas où $A$ est diagonalisable (1.3.6, énoncé et démonstration).
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