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Réviser pour les écrits des concours !

1. Relire les différents chapitres, revoir les principaux théorèmes.
2. Retravailler les DM et DS de l'année, et revoir à nouveau, si besoin, les points du cours qui y sont utilisés.

Thème de la colle : Calcul différentiel (parties 1 et 2 du chapitre).

• Questions de cours : celles présentes dans les exercices de la banque INP, qui concernent les points 1.1.4, 1.2.1, 1.5.2, 2.2.4 (et 2.2.5), 2.2.7, 2.3.7 (et 2.3.8) du chapitre.
• Banque INP : 33, 41, 52, 56, 57, 58.

Déroulement de la colle :

• Un exercice de la banque INP, choisi par l'interrogateur dans la liste ci-dessus.
• Un ou plusieurs exercices sur le thème de la semaine.

Document de 266 ko, dans Informatique/correction TP

Thème de la colle : Équations différentielles linéaires.

• Questions de cours :
  • Définition d'une équation différentielle linéaire vectorielle d'ordre 1 et vocabulaire associé (1.2.1) - Écriture matricielle et système différentiel (1.2.2).
  • Théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires vectorielles d'ordre 1 (1.2.4, énoncé) - Conséquences sur la structure de l'ensemble des solutions (1.2.5 - points 1 et 3, énoncés).
  • Cas des systèmes différentiels homogènes à coefficients constants $Y' = AY$ : résolution par exponentiation (1.3.3, énoncé et démonstration), résolution par similitude (1.3.4, énoncé et démonstration), cas où $A$ est diagonalisable (1.3.6, énoncé et démonstration).
  • Définition d'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre $n$ et vocabulaire associé (2.1.1) - Système différentiel linéaire d'ordre 1 associé (2.1.3, énoncé et démonstration).
  • Théorème de Cauchy pour une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre n (2.1.4, énoncé) - Conséquences sur la structure de l'ensemble des solutions, dans le cas homogène et non homogène (2.1.5 - points 1 et 3, énoncés).
  • Méthode de variation des constantes pour trouver une solution d'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 non homogène (2.1.5 - point 2b, énoncé).
    Remarque : autres méthodes à connaître pour une équation homogène ou non (partie 2.3) : solution "évidente", séries entières, méthode de Lagrange, changement de variable.
  • Définition du wronskien d'un couple de solutions d'une équation différentielle linéaire scalaire homogène d'ordre 2 (2.4.1) - Propriétés : équation différentielle vérifiée par le wronskien (2.4.2, énoncé et démonstration), caractérisation des bases de l'espace des solutions (2.4.3, énoncé).
• Banque INP : 31, 32, 42, 74, 75.

Déroulement de la colle :

• Une question de cours ou un exercice de la banque INP, choisis par l'interrogateur dans les listes ci-dessus.
• Un ou plusieurs exercices sur le thème de la semaine.

Thème de la colle : Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles (parties 1 et 3.1 du chapitre) - Équations différentielles vectorielles d'ordre 1 (partie 1 du chapitre).

• Questions de cours sur la dérivation des fonctions à valeurs vectorielles :
  • Définition de la dérivabilité, en un point ou sur un intervalle, d'une fonction de la variable réelle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie (1.1.1).
  • Propriétés de la dérivabilité (1.1.4 et 1.2.1, énoncés) : caractérisation par les fonctions coordonnées, par un DL d'ordre 1 - dérivabilité et continuité - dérivabilité et opérations (linéarité, dérivation de $L(f)$ et de $B(f,g)$ où $f$ et $g$ sont dérivables, $L$ est linéaire et $B$ est bilinéaire).
  • Définition des dérivées successives et de la classe $\mathscr{C}^k$ pour les fonctions de la variable réelle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie (1.3.1) - Extension des propriétés de la dérivabilité à ce cadre (1.3.4 et 1.3.5, énoncés).
  • Extension des théorèmes sur la dérivabilité des suites/séries de fonctions au cas des fonctions de la variable réelle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie (3.1.1, 3.1.2 et 3.1.3, énoncés) - Dérivabilité et dérivée de $t\mapsto \exp(tA)$ où $A\in{\cal M}_p(\mathbb{K})$ (3.1.4, énoncé et démonstration).
• Questions de cours sur les équations différentielles :
  • Définition d'une équation différentielle linéaire vectorielle d'ordre 1 et vocabulaire associé (1.2.1) - Écriture matricielle et système différentiel (1.2.2).
  • Théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires vectorielles d'ordre 1 (1.2.4, énoncé) - Conséquences sur la structure de l'ensemble des solutions (1.2.5 - points 1 et 3, énoncés).
  • Cas des systèmes différentiels homogènes à coefficients constants $Y' = AY$ : résolution par exponentiation (1.3.3, énoncé et démonstration), résolution par similitude (1.3.4, énoncé et démonstration), cas où $A$ est diagonalisable (1.3.6, énoncé et démonstration).
• Banque INP : 3, 4, 42, 74, 75.

Déroulement de la colle :

• Une question de cours ou un exercice de la banque INP, choisis par l'interrogateur dans les listes ci-dessus.
• Un ou plusieurs exercices sur le thème de la semaine.