Thème de la colle : Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles (parties 1 et 3.1 du chapitre) - Équations différentielles vectorielles d'ordre 1 (partie 1 du chapitre).
- Questions de cours sur la dérivation des fonctions à valeurs vectorielles :
- Définition de la dérivabilité, en un point ou sur un intervalle, d'une fonction de la variable réelle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie (1.1.1).
- Propriétés de la dérivabilité (1.1.4 et 1.2.1, énoncés) : caractérisation par les fonctions coordonnées, par un DL d'ordre 1 - dérivabilité et continuité - dérivabilité et opérations (linéarité, dérivation de $L(f)$ et de $B(f,g)$ où $f$ et $g$ sont dérivables, $L$ est linéaire et $B$ est bilinéaire).
- Définition des dérivées successives et de la classe $\mathscr{C}^k$ pour les fonctions de la variable réelle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie (1.3.1) - Extension des propriétés de la dérivabilité à ce cadre (1.3.4 et 1.3.5, énoncés).
- Extension des théorèmes sur la dérivabilité des suites/séries de fonctions au cas des fonctions de la variable réelle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie (3.1.1, 3.1.2 et 3.1.3, énoncés) - Dérivabilité et dérivée de $t\mapsto \exp(tA)$ où $A\in{\cal M}_p(\mathbb{K})$ (3.1.4, énoncé et démonstration).
- Questions de cours sur les équations différentielles :
- Définition d'une équation différentielle linéaire vectorielle d'ordre 1 et vocabulaire associé (1.2.1) - Écriture matricielle et système différentiel (1.2.2).
- Théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires vectorielles d'ordre 1 (1.2.4, énoncé) - Conséquences sur la structure de l'ensemble des solutions (1.2.5 - points 1 et 3, énoncés).
- Cas des systèmes différentiels homogènes à coefficients constants $Y' = AY$ : résolution par exponentiation (1.3.3, énoncé et démonstration), résolution par similitude (1.3.4, énoncé et démonstration), cas où $A$ est diagonalisable (1.3.6, énoncé et démonstration).
- Banque INP : 3, 4, 42, 74, 75.
Déroulement de la colle :
- Une question de cours ou un exercice de la banque INP, choisis par l'interrogateur dans les listes ci-dessus.
- Un ou plusieurs exercices sur le thème de la semaine.