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On garde le programme de la semaine dernière.

- Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables.

- (*) Critères de diagonalisabilité.

- (*) Cas des projecteurs et des symétries.

- Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables.

- (*) Critères de trigonalisabilité.

- Polynômes d'endomorphismes et de matrices carrées.

- Polynôme minimal.

- (*) Dimension de K[u], de K[A].

- (*)Polynômes annulateurs et valeurs propres.

- (*) Critère de diagonalisabilité et de trigonalisabilité faisant intervenir les polynômedms annulateurs et le polynôme minimal.

- (*) Lemme des noyaux.

- Théorème de Cayley-Hamilton.

- (*) Majoration de l'indice de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent, d'une matrice nilpotente.

- (*) Caractérisation des endomorphismes nilpotents et des matrices nilpotentes par le polynôme caractéristique.

Document de 477 ko, dans Général

- Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.

- (*) Si u et v sont deux endomorphismes qui commutent alors les sous-espaces propres de l'un sont stables par l'autre.

- (*) Une droite vectorielle est stable par un endomorphisme u si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de u.

- (*) Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. Étude de la réciproqure.

- Polynôme caractéristique d'un endomorphisme en dimension finie. D'une matrice carrée.

- (*) Cœfficients de X^n, de X^(n-1) et cœfficient constant du polynôme caractéristique.

- (*) Polynôme caractéristique d'une homothétie, d'un projecteur et d'une symétrie.

- (*) Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. Étude de la réciproque.

- (*) Le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par un endomorphisme u sur un sous-espace stable par u divise celui de u.

- Multiplicité d'une valeur propre.

- (*) Lien entre la multiplicité d'une valeur propre et la dimension du sous-espace propre associé.

- (*) Si le polynôme caractéristique d'un endomorphisme u (ou d'une matrucr A) est scindé, expression de la somme et du produit des valeurs propres en fonction de la trace et du déterminant.

(*) : démonstration exigible.

Document de 619 ko, dans Général

Document de 433 ko, dans Général

- Somme, somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels.

- Famille des projecteurs associés à une décomposition en somme directe de sous-espaces vectoriels.

- Détermination d'une application linéaire par ses restrictions à des sous-espaces vectoriels en somme directe égale à E.

- (*) En dimension finie, la dimension de la somme est inférieure ou égale à la somme des dimensions. Cas d'égalité.

- Base adaptée à une décomposition en somme directe de sous-espaces vectoriels.

- Opérations sur les matrices par blocs.

- Somme d'une famille finie de sous-espaces vectoriels. Somme directe.

- Projecteurs associés à une décomposition en somme directe de sous-espaces vectoriels.

- Base adaptée à une décomposition en somme directe de sous-espaces vectoriels.

- Détermination d'une application linéaire par ses restrictions à des sous-espaces vectoriels en somme directe égale à E.

- (*) En dimension finie, la dimension de la somme est inférieure à la somme des dimensions. Cas d'égalité.

- Opérations sur les matrices par blos.

- Sous-espaces stables d'un espace vectoriel. Traduction matricielle en dimension finie.

- (*) Si u et v sont deux endomorphismes qui commutent alors le noyau et l'image de l'un sont stables par l'autre.