Derniers contenus

- Représentation des formes linéaires sur un espace euclidien. Théorème de Riesz (*).

- Adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien.

- Propriétés de l'adjoint (*).

- Matrices orthogonales.

- Groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal.

- Orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie.

- Isométries vectorielles d'un espace euclidien.

- Symétries orthogonales, réflexions.

- Matrices orthogonales de taille 2 (*).

- Rotation d'un plan euclidien orienté.

- Classification des isométries vectorielles d'un plan euclidien.

- Réduction des isométries vectorielles (*).

- Isométries vectorielles positives d'un espace euclidien de dimension 3 (*).

- Endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien.

- Projecteur orthogonal.

- Théorème spectral (*).

- Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs.

- Matrices symétriques réelles positives, définies positives.

- Caractérisation avec les valeurs propres des endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs, des matrices symétriques réelles positives, définies positives (*).

(*) : démonstration exigible

Document de 50 ko, dans Général

- Polynômes d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.

- Idéal annulateur, polynômes annulateurs.

- Algèbres K[u] et K[A].

- Polynôme minimal.

- Polynômes annulateurs et valeurs propres.

- (*) Lemme de décomposition des noyaux.

- Polynômes annulateurs et réduction.

- Théorème de Cayley-Hamilton.

- Endomorphismes nilpotens.

- (*) Majoration de l'indice de nilpotence.

- (*) Caracrérisation des endomorphismes nilpotents par le polynôme caractéristique.

- Sous-espaces caractéristiques.

- (*) Dimension des sous-espaces caractéristiques.

(*) Démonstration exigible

- Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.

- (*) Une droite vectorielle est stable par un endomorphisme u si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de u.

- (*) La somme d'une famille finie de sous-espaces propres est directe.

- (*) Le spectre d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie n est fini de cardinal au plus n.

- (*) Si 2 endomorphismes commutent alors les sous-espaces propres, le noyau et l'image de l'un sont stables par l'autre.

- (*) Deux matrices semblables ont le même spectre.

- Spectre réel, spectre complexe d'une matrice à cœfficients réels.

- Polynôme caractéristique d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, d'une matrice carrée.

- (*) Cœfficient du polynôme caractéristique de degrés n, n-1 et 0.

- (*) Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.

- (*) Polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire.

- (*) Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit.

- (*) Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.

- Multiplicité d'une valeur propre.

- (*) La dimension du sous-espace propre associé une valeur propre est inférieure ou égale à sa multiplicité.

- Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables.

- (*) Critères de diagonalisabilité.

- (*) Les projecteurs et les symétries sont diagonalisables.

- Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables.

- (*) Critère de trigonalisabilité.

- (*) Expression du déterminant et de la trace d'un endomorphisme (ou d'une matrice carrée) trigonalisable à l'aide des valeurs propres.

(*) : démonstration exigible.

- Somme, somme directe d'une famille finie de sous-espaces vectiriels.

- Projecteurs associés à une décomposition d'un espace vectoriel en une saomme directe de sous-espaces vectoriels.

- Base adaptée à une décomposition d'un espace vectoriel en une saomme directe de sous-espaces vectoriels.

- La dimension de la somme est inférieure ou égale à la somme des dimensions. (*)

- Cas d'égalité. (*)

- Détermination d'une application linéaire.

- Opérations sur les matrices par blocs.

- Matrices trinagulaires par blocs.

- Transvection par blocs.

- Sous-espaces stables par un endomorphisme.

- Endomorphisme induit.

- Droite stable.

- Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.

(*) : démonstration exigible.

Document de 203 ko, dans Général

- Sous-groupe engendré par une partie. Partie génératrice d'un groupe.

- Sous-groupes de (Z,+) (*).

- Générateurs de Z/nZ (*).

- Groupe monogène, groupe cyclique.

- Ordre d'un élément d'un groupe.

- L'ordre d'un élément d'un groupe fini divise le cardinal du groupe. (*) Démonstration dans le cas d'un groupe abélien.

- Idéal d'un anneau commutatif.

- Idéal engendré par un élément.

- Divisibilité dans un anneau commutatif intègre. Interprétation en termes d'idéaux.

- Idéaux de Z (*).

- Définition du PGCD de n entiers relatifs en termes d'idéaux.

- Anneau Z/nZ.

- Inversibles de Z/nZ (*).

- Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ soit un corps.

- Théorème chinois (*).

- Indicatrice d'Euler.

- Théorème d'Euler (*).

- Idéaux de K[X] où K est un sous-corps de C.

- Définition du PGCD de n polynômes en termes d'idéaux.

- Algèbres, sous-algèbres, morphisme d'algèbre.

(*) : démonstration exigible.

Document de 50 ko, dans Général