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Animation sur les ondes, les interférences, la diffraction.

Analyse de Fourier, applet

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Dans quel sens est décrite la figure de diffraction d'une fente de longueur L (très grande) et de largeur a ?

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Les taches de diffraction suivent, pour une fente éclairée par un LASER, la direction orthogonale à la longueur (considérée grande devant sa largeur) de la fente (le schéma donné au tableau était donc bon ;-)).

Je mets un lien vers une belle animation pour vous faire une idée plus claire, et tester des formes différentes !

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Mais comment montrer l'équivalence entre une forme exponentielle et une forme sinusoïdale d'une solution d'équation différentielle ?

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On cherche à démontrer comment passer d'une forme exponentielle à une forme sinusoïdale pour la solution d'une équation différentielle d'ordre 2 à coefficients constants. La solution de départ est de la forme : $$s(t)=s_p+e^{-(\omega_0/2Q)t}\left(A\exp{i\omega t}+B\exp{-i\omega t})$$. A et B sont complexes a priori. On remarque d'abord que l'on cherche une solution réelle, ainsi cela impose une contrainte sur A et B. Ecrivons : $$A=a_r+ia_i\ \text{et}\ B=b_r+ib_i$$, écrivons également en utilisant la formule d'Euler : $$\exp(i\omega t)=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$$; la partie imaginaire de l'équation précédente s'écrit alors : $$ 0=0+e^{-(\omega_0/2Q)t}\left(a_r\sin(\omega t)+a_i\cos(\omega t) +b_i\cos(\omega t)-b_r\sin(\omega t))$ $$ soit : $$ (a_r-b_r)\sin(\omega t)+(a_i+b_i)\cos(\omega t)=0 $$. Cette égalité est vraie quel que soit t, ce qui implique que $$a_r=b_r\ \text{et}\ a_i=-b_i$$; ainsi A et B sont complexes conjugués, que l'on notera par la suite $$A=a_r+ia_i$$ et $$B=a_r-ia_i$$. Reprenons alors la forme de départ de la solution de l'équation étudiée, et développons les différents termes. $$s(t)=s_p+e^{-(\omega_0/2Q)t}\left((a_r+ia_i)(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))+(a_r-ia_i)(\cos(\omega t)-i\sin(\omega t))\right)$$ soit : $$s(t)=s_p+e^{-(\omega_0/2Q)t}\left( 2a_r\cos(\omega t)-2a_i\sin(\omega t)\right)$$ CQFD