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• Chapitre 21 : Probabilités sur un univers fini

Pas de démonstration exigible (mais toujours des questions de cours).

Il est attendu que sur un exercice de probabilités décrivant une expérience aléatoire :

• si l'énoncé ne le fait pas déjà, vous posiez des événements bien définis et pertinents,
• vous identifiiez par une formule le résultat qui vous est demandé,
• vous meniez un calcul rigoureux en justifiant les passages par des points précis du cours (trois mousquetaires, indépendance, etc.) ou en référant précisément à l'énoncé.

L'exemple à suivre est celui de la question 1 de l'exercice 2.

• Chapitre 19 : Espaces vectoriels
• Chapitre 20 : Applications linéaires et représentations matricielles

Démonstrations exigibles :

• L'image/image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel.
• $f \in \mathscr{L}(E,F)$ est injective ssi $\ker(f)=0$.
• $\varphi$ est inj/surj ssi $\varphi$ envoie une base sur une famille libre/génératrice.
• $p \in \mathscr{L}(E)$ est un projecteur ssi $p \circ p = p$.
• $s \in \mathscr{L}(E)$ est une symétrie ssi $s \circ s = \text{id}$.
• $H$ est un hyperplan de $E$ ssi $H$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle de $E$.
• Une matrice de rang $r$ est équivalente à $J_r$. Par conséquent, deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang.
• Propriétés calculatoires sur la trace d'une matrice.

Savoir-faire importants :

• Déterminer la matrice d'une application linéaire dans des bases.
• Calculer le rang d'une matrice.

• Chapitre 19 : Espaces vectoriels
• Chapitre 20 : Applications linéaires et représentations matricielles

Démonstrations exigibles :

• L'image/image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel.
• $f \in \mathscr{L}(E,F)$ est injective ssi $\ker(f)=0$.
• $\varphi$ est inj/surj ssi $\varphi$ envoie une base sur une famille libre/génératrice.
• $p \in \mathscr{L}(E)$ est un projecteur ssi $p \circ p = p$.
• $s \in \mathscr{L}(E)$ est une symétrie ssi $s \circ s = \text{id}$.
• $H$ est un hyperplan de $E$ ssi $H$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle de $E$.

Savoir-faire importants :

• Calculer le noyau, l'image et le rang d'une application linéaire (potentiellement à l'aide d'arguments de dimension dans le cas de la dimension finie). 
• Utiliser la caractérisation des isomorphismes pour démontrer qu'une application linéaire est un isomorphisme.
• Calculer le rang d'une matrice comme le rang de la famille de ses colonnes.
• Calculer la matrice d'une application linéaire dans des bases.