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• Chapitre 15 : Introduction à l'algèbre générale
• Chapitre 16 : Intégration sur un segment

Démonstrations exigibles :

• $\mathbb{U}$ et $\mathbb{U}_n$ sont des sous-groupes de $(\mathbb{C}^*, \times)$.
• L'image/l'image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-groupe.
• Un morphisme de groupes est injectif ssi son noyau est réduit à l'élément neutre.
• Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
• Inégalité triangulaire (dans $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$).
• Une fonction continue positive d'intégrale nulle est identiquement nulle.
• Théorème fondamental de l'analyse.
• Intégrale d'une fonction continue paire/impaire sur un segment centré en $0$.
• Intégrale d'une fonction continue $T$-périodique sur un segment de longueur $T$.
• Convergence de la méthode des rectangles/sommes de Riemann dans le cas d'une fonction lipschitzienne.

Remarque : Aucune technicité ne vous sera demandée sur la définition d'une intégrale.

• Chapitre 14 : Dérivabilité et convexité

Démonstrations exigibles :

• $f$ est dérivable en $a$ ssi $f(x)=f(a)+\ell(x-a)+(x-a)\varepsilon(x-a)$ avec $\ell \in \mathbb{R}$ et $\lim\limits_{h \to 0} \varepsilon(h)=0$
• Dérivée de somme/produit/quotient/composée/réciproque
• Théorème de Rolle
• $f \in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$ est constante ssi $f'=0$/$f \in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$ est croissante ssi $f' \ge 0$
• Théorème de la limite de la dérivée
• Inégalité de Jensen
• $f \in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$ est convexe ssi $f'$ est croissante

• Chapitre 15 : Introduction à l'algèbre générale

Démonstrations exigibles :

• $\mathbb{U}$ et $\mathbb{U}_n$ sont des sous-groupes de $(\mathbb{C}^*, \times)$.
• L'image/l'image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-groupe.
• Un morphisme de groupes est injectif ssi son noyau est réduit à l'élément neutre.

Remarque : L'exercice 1 portera sur une application directe d'une définition ou propriété de cours (montrer qu'une relation binaire est une relation d'équivalence ou d'ordre, vérifier qu'un ensemble est un sous-groupe, vérifier qu'une application est un morphisme de groupes).