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• Chapitre 19 : Espaces vectoriels
• Chapitre 20 : Applications linéaires et représentations matricielles

Démonstrations exigibles :

• L'image/image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel.
• $f \in \mathscr{L}(E,F)$ est injective ssi $\ker(f)=0$.
• $\varphi$ est inj/surj ssi $\varphi$ envoie une base sur une famille libre/génératrice.
• $p \in \mathscr{L}(E)$ est un projecteur ssi $p \circ p = p$.
• $s \in \mathscr{L}(E)$ est une symétrie ssi $s \circ s = \text{id}$.
• $H$ est un hyperplan de $E$ ssi $H$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle de $E$.

Savoir-faire importants :

• Calculer le noyau, l'image et le rang d'une application linéaire (potentiellement à l'aide d'arguments de dimension dans le cas de la dimension finie). 
• Utiliser la caractérisation des isomorphismes pour démontrer qu'une application linéaire est un isomorphisme.
• Calculer le rang d'une matrice comme le rang de la famille de ses colonnes.
• Calculer la matrice d'une application linéaire dans des bases.

• Chapitre 19 : Espaces vectoriels
• Chapitre 20 : Applications linéaires et représentations matricielles

Démonstrations exigibles :

• Une intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
• Une famille de polynômes de degrés échelonnés est libre.
• Si $(u_i)_{i \in I}$ est libre, alors $((u_i)_{i \in I}, v)$ est libre ssi $v \notin \text{Vect}(u_i)_{i \in I}$.
• Pour $F,G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$, la somme $F+G$ est un sous-espaces vectoriel de $E$.
• $\dim(E \times F)=\dim(E)+\dim(F)$
• Existence de supplémentaires en dimension finie.
• L'image/image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel.
• $f \in \mathscr{L}(E,F)$ est injective ssi $\ker(f)=0$.
• $\varphi$ est inj/surj ssi $\varphi$ envoie une base sur une famille libre/génératrice.

• Chapitre 19 : Espaces vectoriels

Méthodes et démonstrations :

• Déterminer si un sous-ensemble donné est un sev ou non.
• Démontrer qu'une famille est libre.
• Propriété sur les familles de polynômes de degrés échelonnés.
• Démontrer qu'une famille engendre un espace vectoriel.
• Trouver les coordonnées d'un vecteur dans une base.
• Démontrer qu'une famille est une base à l'aide d'un argument de dimension.