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TVI (et sa contraposée). Application : toute application continue et injective sur un intervalle est nécessairement injective.

Bolzano Weierstrass toujours.

Bornes atteintes. Application : norme infinie sur l'espace des applications continues de [a, b] dans R. Définition de norme sur un espace vectoriel. Exemple des normes 1, 2 (euclicienne) et infinie sur R² et R³. Comparaison de ces normes.

Valeur moyenne d'une application sur un intervalle [a, b]. La valeur moyenne d'une application continue est réalisée en un point. Application : l'intégrale fonction de la bonre du haut d'une application continue est déivable et sa dérivée est l'application elle même.

Continuité à droite / à gauche en un point. Lien avec la continuité. Limite à droite / à gauche en un point (attention, pour prolonger par contunuité il faut encore que ces deux limites soient égales). Applications cçd-làg.

Applications lipschitziennes.

Deuxième inégalité triangulaire.

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Suites adjacentes, segments emboités. Valeurs intermédiaires.

Extractions et sous-suites. Lemme d'xtraction "une extraction grimpe au moins aussi vite que l'identité". Sous-sous suites (vérifier le sens de composition toujours déroutant).

Théorème de Bolzano-Weierstrass (preuve par dichotomie, preuve par extraction de sous-suite monotone). Version complexe par "extraction en série". Application : toute suite de Cauchy dans R converge, idem dans C. Application : théorème du point fixe pour une application contractante. Application : théorème des bornes atteintes. L'image continue d'un segment est un segment. Norme infinie sur C_O([a,b], R).

Suites récurrentes homographiques. Suites arithmétiques, suites géométriques, suites arithméticogéométriques.

Bornes supérieures et inférieures. Caractérisation séquentielle. Notion de point adhérent à un ensemble. Adhérence d'un ensemble. Point d'accumulation.

Définition de "I est un intervalle"

Convergence d'une suite réelle croissante majorée vers son plus petit majorant.

Suites adjacentes. Segments emboités. Suites osicillantes (cas des suites u_n+1=f(u_n) avec f décroissante). Critère spécial des séries alternées.

Une suite converge si et seulement si les deux sous-suites (u_2n) et (u_2n+1) convergent vers la même limite.

Théorème des valeurs intermédiaires pour une applcation continue de I dans R. Preuve par dichotomie et preuve par borne supérieure.

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Formule de Taylor avec reste intégrale.

Convergence des suites. Convergente implique bornée. Somme et produit de suites convergentes. Suites de Cauchy. Convergente implique de Cauchy.

Suites récurrentes homographiques. Suites arithmétiques, suites géométriques, suites arithméticogéométriques.

Borne supérieure d'une partie. Borne inférieure. Uncité en cas d'exitence.

Caractérisation séquentielle par "c'est un majorant adhérent à l'ensemble".

Notion de point adhérent à un ensemble (il existe une suite de points de A qui converge vers α<). Adhérence d'un ensemble. Point d'accumulation.

Définition de "I est un intervalle" (en fait une partie convexe, mais le mot n'est pas dans le cours). On admet que toute partie de R non vide majorée admet une borne supérieure.

Convergence d'une suite réelle croissante majorée vers son plus petit majorant.

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