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 Colles du 31/03 en Mathématiques (mise à jour)

Publication le 31/03 à 07h00 (publication initiale le 30/03 à 17h03)

TVI (et sa contraposée). Application : toute application continue et injective sur un intervalle est nécessairement injective.

Bolzano Weierstrass toujours.

Bornes atteintes. Application : norme infinie sur l'espace des applications continues de [a, b] dans R. Définition de norme sur un espace vectoriel. Exemple des normes 1, 2 (euclicienne) et infinie sur R2 et R3. Comparaison de ces normes.

Valeur moyenne d'une application sur un intervalle [a, b]. La valeur moyenne d'une application continue est réalisée en un point. Application : l'intégrale fonction de la bonre du haut d'une application continue est déivable et sa dérivée est l'application elle même.

Continuité à droite / à gauche en un point. Lien avec la continuité. Limite à droite / à gauche en un point (attention, pour prolonger par contunuité il faut encore que ces deux limites soient égales). Applications cçd-làg.

Applications lipschitziennes.

Deuxième inégalité triangulaire.

 CorrectionsExos23

Publication le 28/03 à 21h22

Document de 999 ko, dans Mathématiques/TD 2024

 SujetsExos23

Publication le 28/03 à 21h19

Document de 818 ko, dans Mathématiques/TD 2024

 Composition21

Publication le 28/03 à 19h50

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 Composition22

Publication le 28/03 à 19h49

Document de 362 ko, dans Mathématiques/IS du mercredi de 2024

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Publication le 23/03 à 16h51

Document de 685 ko, dans Mathématiques/TD 2024

 SujetsExos22

Publication le 23/03 à 16h50

Document de 408 ko, dans Mathématiques/TD 2024

 Colles du 24/03 en Mathématiques

Publication le 23/03 à 10h34

Suites adjacentes, segments emboités. Valeurs intermédiaires.

Extractions et sous-suites. Lemme d'xtraction "une extraction grimpe au moins aussi vite que l'identité". Sous-sous suites (vérifier le sens de composition toujours déroutant).

Théorème de Bolzano-Weierstrass (preuve par dichotomie, preuve par extraction de sous-suite monotone). Version complexe par "extraction en série". Application : toute suite de Cauchy dans R converge, idem dans C. Application : théorème du point fixe pour une application contractante. Application : théorème des bornes atteintes. L'image continue d'un segment est un segment. Norme infinie sur CO([a,b], R).

 Colles du 17/03 en Mathématiques

Publication le 16/03 à 17h39

Suites récurrentes homographiques. Suites arithmétiques, suites géométriques, suites arithméticogéométriques.

Bornes supérieures et inférieures. Caractérisation séquentielle. Notion de point adhérent à un ensemble. Adhérence d'un ensemble. Point d'accumulation.

Définition de "I est un intervalle"

Convergence d'une suite réelle croissante majorée vers son plus petit majorant.

Suites adjacentes. Segments emboités. Suites osicillantes (cas des suites un+1=f(un) avec f décroissante). Critère spécial des séries alternées.

Une suite converge si et seulement si les deux sous-suites (u2n) et (u2n+1) convergent vers la même limite.

Théorème des valeurs intermédiaires pour une applcation continue de I dans R. Preuve par dichotomie et preuve par borne supérieure.

 Composition20

Publication le 15/03 à 22h02

Document de 360 ko, dans Mathématiques/IS du mercredi de 2024

 Probleme07

Publication le 15/03 à 22h01

Document de 395 ko, dans Mathématiques/DS du vendredi de 2024

 SujetsExos21

Publication le 15/03 à 21h58

Document de 385 ko, dans Mathématiques/TD 2024

 CorrectionsExos21

Publication le 15/03 à 21h58

Document de 627 ko, dans Mathématiques/TD 2024

 Colles du 10/03 en Mathématiques

Publication le 09/03 à 16h30

Formule de Taylor avec reste intégrale.

Convergence des suites. Convergente implique bornée. Somme et produit de suites convergentes. Suites de Cauchy. Convergente implique de Cauchy.

Suites récurrentes homographiques. Suites arithmétiques, suites géométriques, suites arithméticogéométriques.

Borne supérieure d'une partie. Borne inférieure. Uncité en cas d'exitence.

Caractérisation séquentielle par "c'est un majorant adhérent à l'ensemble".

Notion de point adhérent à un ensemble (il existe une suite de points de A qui converge vers α<). Adhérence d'un ensemble. Point d'accumulation.

Définition de "I est un intervalle" (en fait une partie convexe, mais le mot n'est pas dans le cours). On admet que toute partie de R non vide majorée admet une borne supérieure.

Convergence d'une suite réelle croissante majorée vers son plus petit majorant.

 CorrectionsExos20

Publication le 07/03 à 17h11

Document de 663 ko, dans Mathématiques/TD 2024

 SujetsExos20 (mise à jour)

Publication le 07/03 à 17h10 (publication initiale le 05/03 à 21h33)

Document de 443 ko, dans Mathématiques/TD 2024

 Composition19

Publication le 05/03 à 21h33

Document de 355 ko, dans Mathématiques/IS du mercredi de 2024

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